基于應用型人才培養的“復變函數與積分變換”課程教學改革與探索

張坤 楊慧賢

摘? 要：課程改革關系到教學效率和質量，只有創新教學理念和方法才能滿足新形勢下的人才培養需求。本研究針對“復變函數與積分變換”課程的教學改革工作進行研究，采用文獻總結、實地調查、案例借鑒等方法，從“復變函數與積分變換”課程特點入手，指出該課程的教學現狀，結合教學改革案例及帶來的啟發，闡述了基于應用型人才培養的課程教學改革方法。研究結果表明，在“復變函數與積分變換”課程教學中，改革教學方式和評價體系，激發學生的興趣和熱情，培養學生的實踐操作能力，才能培養出應用型人才，提示教師加以關注。

關鍵詞：應用型人才；教學改革；實踐能力；考核評價

中圖分類號：G42? ?文獻標識碼：A? ? 文章編號：1673-7164（2024）08-0151-04

信息技術的發展與應用，在造福于人類的同時，也對工程類人才培養提出新的要求。在此背景下，“新工科”理念應運而生，具有多學科交叉的特征，更加注重人才的思維、實踐及創新能力的培養，為工程教育改革指明了方向。［1］“復變函數與積分變換”課程的實用性較強，但實際教學效果不理想，為了滿足應用型人才的培養需求，必須要對教學工作進行改革?，F有文獻中，多集中在教學模式的變革上，忽視了教學設計、教學評價等內容，整個教學改革體系不夠完善。鑒于此，下文結合實踐探討了該課程的教學改革方法，以供參考。

一、“復變函數與積分變換”課程特點

“復變函數與積分變換”是理工科專業的一門數學基礎課，介紹了單自變量復變函數的極限、連續、積分、級數、留數等基本概念，重點闡述了解析函數的理論和方法，以及傅里葉、拉普拉斯變換等內容。通過本課程的學習，為后續專業課程的學習打下基礎。

總結該課程的特點有兩個：一是應用領域廣泛，包括但不限于力學、通信工程、自動化、測控技術等，涉及多個領域如物理學、數學、計算機科學等。具體來看，在物理學領域，復變函數可描述物理系統中某種變化的速率，描述某類物理流程，提高模擬準確性；積分變換能展示出物理過程的內部機理，幫助人們更好地解決物理問題。在計算機科學領域，復變函數能幫助計算機解決復雜計算問題，快速找到符合特定條件的函數模型；積分變換能對物體運動進行模擬，對動力系統的性能進行優化；二是學習難度較高。該課程涉及較多的抽象概念，有很多重點、難點數學知識，不僅理論性強，應用實例少；學時短、任務重，學習效果不達預期。

二、“復變函數與積分變換”課程的教學現狀

以某高等院校為例，對“復變函數與積分變換”課程的教學工作進行實地調查，發現存在以下問題：

（一）學時安排不合理

復變函數課程部分是從實數領域的函數擴展到復數領域，不僅基本概念延伸，而且知識內容非常抽象，學生理解起來有一定困難。［2］積分變換課程部分是工程數學的基礎，其中的理論研究運用在工程實際中，學生一時間難以適應。從整個教學安排來看，該課程的知識點多、內容抽象，但是學時安排較少，留給學生理解、練習的時間有限。在實際教學中，采用灌輸式教學方法，導致教學效率和質量不高，學生的實際收獲有限。

（二）學生有畏難情緒

該課程既是一門數學基礎課，具有完善的知識體系，也是一個重要的解題工具，與電子、力學、控制等學科存在交叉，教學過程重點培養學生的計算、邏輯和抽象思維能力。由于該課程的基本概念多、計算公式多，與高等數學的關聯性強，部分學生具有畏難情緒，尤其是高等數學成績不好的學生。加之傳統教學模式下，整個課堂枯燥乏味，師生互動少，降低了學生的求知欲。

（三）實踐應用較少

其一，該課程本身的理論知識體系復雜，作為高等數學的后續課程，需要學生大量的推理推導、記憶公式，如拉普拉斯變換公式、柯西積分公式等。其二，知識應用背景不足、缺少實踐內容，只動腦卻不動手，削弱了學生的學習主動性。其三，實踐課程的開展，完全按照理論教學內容進行設計，技術和場景設置不夠新，甚至與實際應用相脫節，不利于培養學生的實踐創新能力。

（四）考評方法單一

考核評價也是教學工作的重要組成部分，既能了解學生的學習成果，又能發現教學問題和不足。在教學考評上，將期末考試和日常成績結合起來，兼顧學習過程和結果，能考察學生的知識和技巧掌握情況。［3］但是，這種考評方法較為單一，一方面考評主體單一，單純由教師對學生進行考評，難以避免主觀因素的影響。另一方面考評指標單一，無法評價學生的創新、問題解決、團隊協作等能力，不利于培養應用型人才。

三、教學改革案例分析及啟發

（一）案例一：翻轉課堂教學法

杭州電子科技大學自動化學院成立于2000年，設有2個系，6個本科專業，現有教職工226人，在校學生3400余人。在控制類專業教學中，對“復變函數與積分變換”課程采用翻轉課堂教學法，簡要介紹如下：

第一，設置課前任務。根據教學大綱和人才培養要求，教師合理設置學習任務單，在課前發放給學生，讓學生明確學習內容和目標，自主預習相關知識點，標記無法解決的問題。

第二，優化教學內容。對教材中的知識點進行梳理，一方面讓學生站在宏觀角度了解整個課程體系，認識到本節課程與其他專業課程之間的關聯。另一方面緊密結合專業特征，將基礎知識運用到實際案例中，提高知識的實用性。

第三，強化師生互動。將課堂歸還給學生，創造寬松、積極、活躍的課堂氛圍，加強教師與學生之間的交流互動。教學中忽視基本概念和簡單的知識點，重點關注學生無法解決的問題，通過合作探究的方式，一邊有效解決問題，一邊培養邏輯思維能力。［4］

第四，改變考核模式。將傳統的閉卷考試模式轉變為多種評價相結合的模式，提高考核結果的全面性和客觀性。例如在小組合作探究后展示研究成果，撰寫總結性的專題報告，設置應用型開放性考題，線上學習平臺智能化評價等。

第五，打造線上平臺。為了推進翻轉課堂教學法，學院在信息技術設施方面投入充足的資源，打造網絡教學平臺，形成智慧教學體系。例如教師將教學資源上傳至平臺，學生利用手機、電腦等終端就能查看并學習，在線完成問答和測試。在實操環節利用平臺的選人、搶答等功能，優化教學組織，學生的積極性顯著提升。

（二）案例二：“互聯網+”教學法

黑龍江工程學院始建于1952年，設有16個教學單位，56個本科專業，現有教職工1200余人，在校學生13000余人，享有“工程師的搖籃”美譽。專業教學中，對“復變函數與積分變換”課程采用“互聯網+”教學法，簡要介紹如下：

第一，利用慕課開展教學。為配合慕課的應用，教師成為教學活動的講授者和指導者。在專題討論環節，匯總不理解的知識點、難解決的問題，進行分組討論。在正式教學環節，教師根據大綱內容、學生學習特點和在線學習要求，設計慕課視頻課件，重點放在解題過程和技巧上。

第二，創新課后練習作業。在“復變函數與積分變換”課程學習中，練習是一個重要的環節，基于“互聯網+”背景下，對練習作業模式進行創新。一是交流型作業。課堂教學完成后，教師抽出一定時間提問，由小組代表發言，既能檢測學習效果，又能培養表達能力。［5］在此基礎上打造網上交流平臺，方便學生與教師口頭交流，分享教學資源，拉近師生之間的距離。二是閱讀式作業。讓學生仔細閱讀題目，厘清已知條件和未知條件，明確提問者的真實意圖，獲取更多的知識信息。為此，教師利用互聯網資源創建數學資源庫，將名人、典故、語言、應用案例等資料納入其中，方便學生根據自身要求查詢可利用的信息。三是拓展性作業。此類作業以圖片和視頻文件為主，例如習題賞析、科教片、紀錄片等，調動學生的多個感官，拓展課程知識體系范圍，讓學生愛上這門課程，培養獨立思考、自主探究、思維創新能力。

（三）啟發

翻轉課堂教學法提高了學生的自主學習意愿，增加了師生之間的互動?！盎ヂ摼W+”教學法為學生的學習帶來了便利，課程內容多樣化、生活化，打破了時間、空間的限制。從這兩個案例中得到的啟發：第一，教學改革要全面進行，思想觀念、教學內容、方式方法多管齊下，充分把握學情，激發學習興趣；第二，除了教學本身，還要對考核評價機制進行變革，從原本單一的評價方式轉變為多元化評價方式，提高評價結果的客觀性，才能為后續教學改進提供科學依據。

四、基于應用型人才培養的“復變函數與積分變換”課程教學改革方法

（一）優化設計教學內容

第一，合理安排學時。根據不同專業的教學任務和目標，對“復變函數與積分變換”課程資源進行整合，既保證知識體系的完整性，又能對教學模塊進行分解，達到去繁就簡，方便學生進行理解和學習。例如：復變函數部分，“柯西積分公式”和“高階導數公式”在第三章，“留數”在第五章，將這些內容整合起來講解，有助于學生從留數的角度對前兩個公式進行理解運用，提高教學效果。

第二，以學生為中心。教學設計要突出學生的主體地位，關注學生的需求動向，打造新型師生關系。［6］例如：“復變函數的極限和連續性”“初等函數”“原函數與不定積分”等內容，是實數領域知識的延伸，教學時可采用翻轉課堂，既能減輕學生的壓力，又能提高學習熱情，可以產生良好的教學效果。

（二）注重學科知識交叉

科學技術快速發展的一大特征是不同學科之間的關聯更為緊密，解決一個工程問題，往往需要應用多個學科知識?！皬妥兒瘮蹬c積分變換”作為一個重要的數學工具，在教學過程中也要注重學科知識交叉，培養學生的思維創新能力。具體操作上，教師為學生展示該課程在整個工程領域的應用框架，讓學生認識到該課程的重要性，尤其是對后續課程的作用。例如電力通信專業的學生，學習“信號與系統”課程時會用到積分變換知識，信號的處理就是分析信號的時域、頻域、變換域等參數，對應“復變函數與積分變換”課程中的“傅里葉變換”“拉普拉斯變換”“z變換”。自動化專業的學生，學習“自動控制原理”課程時會用到傳遞函數知識，該函數是控制系統的復數域模型，表示系統的動態特性，對應“復變函數與積分變換”課程中的“拉氏變換”，系統傳遞函數是響應狀態與激勵狀態的拉氏變換的比值。在教學中交叉不同的學科知識，能拓展學生的眼界和思路，既能豐富教學資源，又能為后續專業課程的學習打下基礎。

（三）培養實踐操作能力

第一，案例教學。案例教學是以工程實際問題為主線，將課程知識貫穿其中，學生通過獨立思考或合作探究解決問題，從而拉近理論與實踐的關系。在具體教學中，教師應選擇與課程內容相關的案例，課堂中設置若干問題，引導學生由淺及深地掌握知識，尋找問題解決方法，加深知識點的運用，培養實踐能力。例如“泰勒級數和洛朗級數”教學中，課前給出單邊信號的z變換，讓學生思考它的收斂域。在“拉氏變換”教學中，給出物體的運動方程，讓學生思考如何求解。

第二，可視化教學。將信息技術應用在教學中，為學生演示專業背景、公式推導過程，實現教學的可視化，方便學生理解相關知識點。以Matlab軟件為例，主要用于數據分析、深度學習、圖像與信號處理等，是三大數學軟件之一。［7］指數函數教學中，利用該軟件可繪制函數的四維圖像，具體程序：

z=5×cplxgrid（30）? ? ?cplxmap（z，xep（z））

figure；? ? ? ? ? ? ?colorbar（‘vert）

z=5×cplxgrid（30）? ? ? ?title（‘exp（z））

最終得到函數的四維圖像如圖1所示。其中，x軸表示自變量z的實部，y軸表示虛部；z軸表示復變函數w的實部，虛部則用不同顏色表示。觀察該圖像，學生容易發現函數的變化規律，以及指數函數的周期性特征。

（四）完善考核評價體系

第一，增加評價主體。常規考核評價體系下，由教師對學生的日常成績和期末考試成績進行綜合評價，由于評價主體單一，可能影響評價結果的客觀性和公正性。對此，今后的教學評價工作應增加評價主體，如學生自評，幫助學生認清自我，培養學習習慣，激發內在學習動力，并且和教師共同承擔評價責任。［8］學生互評，有助于學生之間交流信息，既能促進學生自主學習，又是培養合作精神、協作能力的有效途徑。學生評價教師，從學生角度尋找教學不足，實現教學工作的不斷改進。

第二，豐富考核指標。單純依據日常成績和期末考試成績，對學習效果的評價不夠全面和客觀，結合“復變函數與積分變換”課程特點，應進一步豐富考核指標，將課堂表現、作業情況、分組討論、期末考試、答辯展示等指標納入其中，建立綜合評價體系。隨著網絡授課平臺的廣泛應用，學生在線上學習過程中，系統會記錄學生的考勤情況，既方便師生之間互動，又提供了一種新型考核方法，即線上測試考核。

五、結語

綜上所述，“復變函數與積分變換”不僅是一門數學基礎課，也是一個重要的數學工具。針對目前高等院校教學工作中存在的問題，本研究結合成功的教學經驗，提出優化設計教學內容，注重學科知識交叉，培養實踐操作能力，完善考核評價體系，以提高教學效率和質量，更好地實現應用型人才培養的目標。

參考文獻：

［1］ 謝貴重，董云橋，鐘玉東，等. 基于坐標變換精確計算近奇異積分的雙向sinh變換法［J］. 計算力學學報，2021，38（02）：188-192.

［2］ 崔曉梅，茹靜. 新工科背景下《復變函數與積分變換》課程教學改革探索［J］. 吉林化工學院學報，2022，39（02）：9-12.

［3］ 吳延紅. 復變函數與積分變換課程教學與學習情況調研分析及對策研究［J］. 黑龍江科學，2021，12（17）：102-103.

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［5］ 柳輝，孫靜波. 高等數學在現代化工中的應用——評《高等化工數學》［J］. 塑料工業，2021，49（05）：173-174.

［6］ 齊永奇，張濤. 復變函數與積分變換課程教學方法嘗試與探討——以華北水利水電大學測控專業為例［J］. 河南教育：高等教育，2021（02）：64-66.

［7］ 張永利，胡少卿，王志. 在應用型本科建設的背景下學生創新能力培養的研究——以復變函數與積分變換課程教學為例［J］. 教育教學論壇，2020（07）：153-154.

［8］ 張海霞，謝秀峰，宋曉紅. 復變函數與積分變換課程的教學實踐與改革［J］. 教育教學論壇，2019（44）：160-161.

（薦稿人：翟文娟，滄州交通學院副教授）

（責任編輯：胡甜甜）