數學的眼光：指向“三會”素養目標的數學抽象思想

鄭義富，黃甫全

數學的眼光：指向“三會”素養目標的數學抽象思想

鄭義富1，2，黃甫全2

（1．中山市西區中心小學，廣東 中山 528400；2．華南師范大學，廣東 廣州 510631）

“數學的眼光”是人類理性認識手段的必然選擇，是科學思維的最實用的一般方法，是數學教育價值的核心體現．“數學的眼光”不僅可引導人們如何看待世界、認識世界，更重要的是能形成主體的認識取向或價值觀念．中小學教學中，教師首先要深刻認識“數學抽象”的本質，并要能準確把握“數學抽象”的一般特征，還要精準掌握數學抽象的基本方法，從而有的放矢地開展思維能力的提升、抽象思想的培育，并逐步使學生形成“數學的眼光”．

數學眼光；抽象思想；抽象方法；抽象特征；理性精神

1 問題提出

2022年新修訂的《義務教育數學課程標準（2022年版）》中明確把數學學科培養學生核心素養的目標定位為“會用數學的眼光觀察現實世界，會用數學的思維思考現實世界，會用數學的語言表達現實世界”．史寧中認為“三會”的概述基于數學抽象、數學邏輯、數學建模這三大數學基本思想，又高于這些數學思想[1]．

“三會”作為高度精煉概括的數學學科育人總目標，對中小學一線教師來講尚顯“新穎”且“神秘”，迫切需要更為深入地探究．特別是對“數學的眼光”，也就是“數學抽象思想”更應多角度、多層面深入剖析．教育部中小學教材審定委員會委員孫曉天在解釋用“數學的眼光”而不是“抽象思想”表達核心素養目標的原因時，這樣闡述：數學的眼光可以看作數學抽象的門檻，更接近一種從數學出發看問題的角度，用“眼光”而不用“數學抽象”這種人人都理解的說法，比較容易讓學習者產生親近感，有利于引導教師站在學習者的立場思考教學問題，也能啟發教材編寫者認真對待內容題材的真實性問題．用“數學的眼光”作為未來公民的“社會責任、必備品格和關鍵能力”，完全滿足核心素養的要求，也容易被大眾接受[2]．這一“用詞”風格的轉換，體現出課標修訂組專家面向中小學教師群體，以生為本的“良苦用心”．

“新課標”進一步明確：（學生）通過數學的眼光，可以從現實世界的客觀現象中發現數量關系與空間形式，提出有意義的數學問題；能夠抽象出數學的研究對象及其屬性，形成概念、關系與結構；能夠理解自然現象背后的數學原理，感悟數學的審美價值；形成對數學的好奇心與想象力，主動參與數學探究活動，發展創新意識．課標修訂后，數學眼光實際上成為一個“硬”杠杠，也就是每一個學生都要有“剝離”或“去掉”真實對象中的“真實”，發現抽象數量關系和空間形式的經歷[2]．這就亟待在基礎教育中加強“抽象思想的培育”，包括抽象意識的培養、抽象能力的提升、抽象觀念的形成等，雖然在不同的學段培養任務重點不同，但指向終點一致．其核心的作用就是增強學生數學學力．史寧中認為：“在基礎教育階段，一個好的數學教育，應當更多地傾向于培養學生數學思維的習慣，（通過數學教育使學生）會在錯綜復雜的事物中把握本質，進而增強抽象能力．”[3]“數學眼光”作為核心素養目標，有助于彌補中國數學教育長期以來的弱項，這個弱項就是抽象．數學課程的內容一般與3個要素相關：抽象、推理和模型．它們通常以具體的定義、方法和技能的形式存在，推理和模型有規律可循，通過訓練能迅速提高，已成為中國學生的強項．相比之下，抽象則是中國學生明顯的弱項[2]．

“數學抽象”既是數學閃亮的寶藏，又是數學教育價值核心體現．然而不可否認的是，數學一直以來被人詬病的一點恰恰也是“抽象性”過強，因此數學教育的難點和痛點就必然聚焦于對數學抽象“過程”的認識和理解．中小學教學中，教師首先要深刻認識“數學抽象”的本質，并能準確把握“數學抽象”的一般特征，還要精準掌握數學抽象的基本方法，從而才可以有的放矢地開展思維能力的提升、抽象思想的培育，并逐步使學生形成“數學的眼光”．

2 “數學的眼光”的本質——“抽象”的理性認識

2.1 抽象

對“抽象”這一概念進行界定，恐怕會如同其內涵本身一樣顯得很“抽象”．當人們把“抽象”作為形容詞使用時，它與直觀和形象相對，表示客觀事物很難直接感悟領會．有學者這樣描述：“抽象即以其抽象性而與具體事物的具體性相對立．”[4]當抽象作為動詞時則指向思維運動的形式，屬于基本智力操作之一，是在思想上把各種對象或現象的共同屬性、本質特征抽取出來，舍棄其它屬性的過程．《實用百科全書》中定義：抽象有肯定與否定兩個方面，所肯定的是從各種事物中抽取出來的共同屬性，這種肯定是通過概括實現的，是在思想上把抽象出來的各種對象或現象的共同屬性、本質特征結合起來；初級形式是把對象或現象的共同屬性按照其偶然的共同特點聯合起來的過程；高級形式則是把對象或現象的次要特征與非本質特征舍棄，而確定其共同本質特征的過程．所否定的是事物的具體特征．人們通過抽象，可以從具體中把握一般，從個性中把握共性，透過現象把握本質[5]．

在科學發展進程中，“抽象”則作為一種認識手段，也即從感性認識飛躍到理性認識的一種方法．主要指在思維中拋開客體的個別的、表面的、非本質的方面而抽取出一般的、內部的、本質的方面的過程．這是以感性直觀為基礎的一種高級的、創造性的思維認識過程，是達到思維具體，即在思維中從整體上再現客體的必經階段．科學抽象在人類認識過程中具有重大的作用，人們只有運用科學抽象，才能創立并不斷地豐富和發展各門科學理論，以有效地指導改造世界的實踐活動[5]．列寧說：“物質的抽象，自然規律的抽象，價值的抽象及其它等，一句話，那一切科學的（正確的、鄭重的、不是荒唐的）抽象，都更深刻、更正確、更完全地反映著自然．”[6]

2.2 數學抽象

人們一提到“數學”，總是會自然而然地關聯到“抽象”．的確，數學所呈現出來的、以及數學所要研究的無一不是“抽象”了的東西．徐利治認為：凡“數學事物”（如數量關系、空間形式以及與之關聯的數學公理、概念、命題、公式、方法等），都是符合科學抽象規律的經由人腦對實在關系的反映形式[7]．數學的發展所依賴的最重要的基本思想也是抽象．孫曉天在接受浙江教學月刊社訪談時指出：“數學并不以真實為研究對象，而是以真實世界里并不存在的抽象的數量關系和空間形式為研究對象．數學通過一種間接的方式，達到認識真實世界、解決真實問題的目的．”[2]

若說“數學即抽象”可能并十分不準確，但“抽象”對于數學來講具有其它任何詞匯無法比擬的意義．馬克思就講過，全部所謂純數學都是研究抽象的，它的一切數量嚴格來說都是想象的數量[8]．鄭毓信等也曾斷言：一切數學對象都是抽象思維的產物，數學抽象就是由具體事物中抽取其量的方面、屬性或關系[4]．亞歷山大洛夫說：“數學的第一特征就是它的抽象性，全部數學都具有抽象的特征，數學本身幾乎完全周旋于抽象概念和它們的相互關系的圈子之中．”[9]

在數學教育以及數學研究中，人們通常將數學抽象與抽象思維等同使用．這是從思維形式或認知心理活動角度對數學抽象的一種概括．《實用百科全書》對“抽象思維”的定義是：指與形象思維相對的抽象思維，是運用概念進行判斷、推理的思維活動．這種思維需要遵循邏輯規律，故又稱為邏輯思維，這是人類所特有的高度發達的思維．抽象思維的特點包括：以概念為思維活動的首要因素，所提出的任務具有理論性，解決任務必須依賴抽象概念與理論知識．抽象思維在人們認識事物的本質和規律的過程中起著特別重要的作用，發展規律、形成科學假設等是抽象思維的高級形式[5]．

“抽象”在數學中到底是怎樣體現的呢？著名數學家亞歷山大洛夫認為：“抽象性在簡單的計算中就已經表現出來，我們運用抽象的數字，卻并不打算每次都把它們同具體的對象聯系起來，我們在學校中學的是抽象的數字乘法表，而不是蘋果的數目相乘，或者蘋果的數目乘上蘋果的價錢等．”“同樣地，在幾何中研究的是直線，而不是拉緊了的繩子，并且在幾何線的概念中舍棄了所有性質，只留下在一定方向上可延伸的屬性．”[9]數學抽象的特點在于：第一，在數學的抽象中首先保留量的關系和空間形式而舍棄了其它一切；第二，數學的抽象是經過一系列階段而產生的，它們達到的抽象程度大大超過了自然科學中一般的抽象[9]．從數學抽象的對象來看，既有對數量與數量關系的抽象，也有對圖形與圖形關系的抽象；從數學抽象的形式來看，既有概括定義形式的抽象，也有邏輯論證形式的抽象，還有關系模型形式的抽象．

當然，作為數學的眼光的抽象并不僅為數學所特有，但是沒有哪一個學科如數學這樣是從始至終都依賴于抽象的建構．抽象是數學的靈魂．其它科學感興趣的首先是自己的抽象公式同某個完全確定的現象領域的對應問題，研究已經形成的概念系統對給定現象領域的運用界限問題和所采用的抽象系統的相應更換問題，并把這些作為最重要的任務之一．而數學則完全舍棄了具體現象去研究一般性質，在抽象的共性中考察這些抽象系統本身，而不管它們對個別具體現象的應用界限，可以說，數學抽象的這樣絕對化才是數學所特有的[9]．

3 “數學的眼光”的特征——“抽象”的基本特征（性）

3.1 一般化特征

克萊因在闡述“數學精神的誕生”時講到：“顯然，思考抽象事物要比思考具體事物困難得多，但可以獲得一個最突出的優點——獲得了一般性．”這促使人們追求最普遍和最永恒的東西，而不是個別的轉瞬即逝的東西[10]．數學抽象活動的目的絕不是對事物個體的摹寫，也不是為了某個個例問題的解決，而是為了一類事物的本質的概括，為了一類問題的解決，甚至是為了有可能與此相關的它者的或未來的那些事物的探究和問題的解決．所以，所有抽象活動以及抽象活動的結果都具有一般化的特征．正因為此，人類探索自然的能力得到充分的激發，觀察世界、認識世界的手段和途徑前所未有地變得高效，使得人類智慧得到超乎想象的升華．數學抽象的一般化既有數學概念的一般化，又有數學定理、法則的一般化，還包括數學模型、數學分支學科的一般化等．

3.2 理想化特征

數學的眼光——即“數學抽象”的對象來源于感性具體，但抽象不是對具體的原樣復制，而是經過簡化、剝離、調整等活動，使得抽象對象對于接下來的抽象進程來講非常的“理想”，這就是數學抽象的理想化特征．比如現實世界中的“正午太陽、十五的月亮、葉片上的水滴、水中的漣漪”等都有著類似的“圓”的形狀，人們就把對這些事物的感知以“一中同長”的“理想化”的圓形作為抽象的圖形代表所有圓狀物的空間形式，盡管現實中根本不可能存在絕對的圓，但是這并不影響人們進一步地以“數學的眼光”進行探究，這就是“理性化”給“抽象認識”帶來的便利．所以，數學中的很多概念、定理和模型都是理想化的，特別是幾乎所有幾何概念都是理想化的產物．如沒有長短、不占空間的幾何端點，只有長度、沒有寬度的直線、曲線，以及永不相交的平行線……

3.3 模式化特征

“數學的眼光”視閾中的世界不是雜亂無章的，而是要按照數學的樣子以各種抽象的模式存在．平面幾何、立體幾何、解析幾何，函數、導數、微分、方程……所見的任一數學知識、方法或思想，都是以某種“模式”呈現．這是因為數學家在探索世界時無一例外地要以“模式”作為最終的結論呈現方式．數學抽象的這種“模式化”的傾向，則要歸功于“模式化”的高度概括、精準表達、簡捷高效等特性．徐利治等認為：“在純粹數學的研究中，應當借助于明確的定義去構造出相應的量化模式，并以此為直接對象從事純形式的研究；也正因為此，作為數學抽象物的量化模式在概念意義上就應具有一定層次上的普遍性和概括性，在表述形式上則應具有無歧義的邏輯精確性和簡潔性．”[4]

3.4 廣泛應用性

“數學的眼光”始終都要面向實踐與應用，否則無論建立了多么美輪美奐的數學大廈，都將因為沒有實踐和應用的滋養而枯萎消亡．林夏水認為：“各種其它科學也存在抽象性和理想性，但是在那里沒有給它們以獨立自在的意義，它們是始終離不開現實的．而數學的抽象是無條件的；它的概念，一經產生和定義之后，就穩定下來并且被看作是已知的，它們與現實的比較不是數學本身，而是它的應用問題．數學的威力就在于它的抽象性，越撇開內容，就越有廣泛應用的可能．”[11]歸根到底，數學生命力的源泉在于它的概念和結論盡管極為抽象，但卻如人們所堅信的那樣，它們是從現實中來的，并且在其它科學中、在技術中、在全部生活實踐中都有廣泛的應用；這一點，對于了解數學是最主要的[9]．

4 “數學的眼光”的方式——“抽象”的基本方法

“數學的眼光”可不是感性層面的“觀察”．作為數學的眼光的核心——“數學抽象”，其運行的方式實質是人類心智的一種運算．應該說“抽象”是迄今為止人類所擁有的最有用的思考方式．這種思考方式最高要求和最突出的作用就是“理性”，為了實現理性，就要形成一系列的良好的思維機制或思考習慣．人是依靠什么來達到這個目的呢？就是一種穩定的神經回路，也即心智計算模塊系統．數學抽象則是人類心智計算系統中最為簡約高效的一種運算功能．“心智”不是大腦，而是大腦所做的事情．“心智”是指向人類基因繁殖的自然選擇的結果．心智系統的“原件”大部分區別不是很大，這些心智系統組塊來自于基因圖譜．數學抽象的發生過程是否有跡可循？沒有暢通無阻適用一切的“抽象大法”，但可概括梳理基本的“抽象”方法，作為“數學的眼光”的一般方式．

4.1 剝離與簡化——數學抽象運行前的準備

數學研究的對象并非是直接的客觀世界實體，而是經過抽絲剝繭式的解構與取舍．剝離、去掉并簡化客觀實體的“眾多屬性”，找到并留取與數學研究相關的、客觀事物所屬的本質性的東西，構成數學的研究對象．這“對象”不是憑空產生的，它必然建立在對客觀事物的觀察并產生直觀經驗的基礎上，由直觀表象轉化為“抽象”的對象，這一過程就是“剝離與簡化”，如果沒有“抽絲剝繭”的這一過程，人腦將無法應對客觀現實紛繁復雜的海量信息．

“剝離與簡化”還可以是對紛繁復雜的信息進行分離和精簡，摒棄那些與問題解決無關的或非主要關聯的信息，保留關鍵的信息．針對問題解決的思考過程亦是由“剝離與簡化”開啟抽象思考的進程．如客觀世界中含有“3個的量”的屬性的事物千千萬萬，3個人、3只羊、3個蘋果……但為了計量，就要把所有非必要的屬性都剝離，并簡化到只用一個數字“3”來解釋這些事物共同的“量”的本質的屬性．同樣地，自然世界中具有“三角形”這一特性的事物俯拾皆是，但如果要研究形狀與空間的問題，那就將所有的顏色、質地等非必要的屬性，剝離簡化到用“三條邊首尾相連”這一本質屬性來表征這一類物體的性質．再如小學數學“沏茶問題”的解決策略探究中，面對“問題情境”中諸如“人物、事件、條件、問題”等眾多的信息，首先要把非“數學”的信息剝離掉．比如，來的客人是誰、為什么來、什么時候來、要喝什么茶等．留下什么呢？與問題解決息息相關的信息，如喝茶的工序、每道工序的時間、具體的問題等．這些都是與問題解決相關的信息，接下來還要再對這些“相關”的信息進行篩選，根據解決問題的方向和思路選取有用的信息進行整理．這一步就是數學問題解決的“抽象”的發端．

腦科學研究表明，人的“抽象”活動是大腦神經細胞集群對數量以及空間信息的選擇性、簡約化的激活反應．通常情況下，人們會將“剝離與簡化”這一“激活反應”直接等同為“抽象”全過程，然而這只是抽象的準備，真正體現抽象神奇作用的還在于這之后的一系列心智操作．

4.2 符號與命名——為數學抽象高效運行蓄力

任何事物在進入人的頭腦中參與思維運作前都會被“命名”，對任一事物命名的行為基本上都屬于抽象化，只不過這一抽象的過程往往是自動化了的，極易忽略．但若沒有“命名”，接下來的思維就無法實現．若要使“抽象”高效運行，必須對這些“信息”進行概括性地命名，并以“符號”的形式進行表達，以便在語言的運載下進行思維，這是“抽象”繼續運轉起來的前提，也是抽象的鮮明特征之一，是抽象發生的較早期的行為．在此意義上，幾乎所有數學詞匯和符號都是抽象進程中“符號與命名”的產物，如“和、差、倍、比”以及“5、0.5、＋、－、×、÷、m3、cos、∈、Δ”等．同樣地，任何圖形的命名也都毫無例外是抽象了的產物．就如“圓形”，生活中并沒有叫做“圓形”的實物存在，它只是一類有著共同幾何意義上的特性的抽象概念．有學者指出：命名是不可或缺的步驟和條件，科學的獨特工作就是建立在這種明確限定的行為基礎之上[12]．“命名”是數學想象與創造性的體現，充分地展現了思考的自由．在思維的進程中“命名”，是為思維高效運行蓄力，也是為后續深入抽象中的概括與定義奠定基礎．

4.3 一一對應——開啟數學抽象認識的大門

丹齊克在《數——科學的語言》一書中描述：“我們走進會堂，面前兩個集合，一個是會堂的座位，一個是出席的人．我們不用計數，就可以知道兩個集合是否相等，以及哪個大些．這種能力就是從一個支配著全部數學的稱為一一對應的方法推演而來．”[13]實際上，人類原初數覺之所以比鳥類的最多3個或4個的數覺要多一些，也是得益于人類有比“3”“4”的量多的10個手指，而這種原始的數覺依靠的就是手指集合與所要計數集合的一一對應，并由此建立起數概念．在隨后的千百年數學演化史中，“一一對應”也是數學思維活動的基本保障，一方面使得思考具有確定性，另一方面也成功實現了具象與抽象的“同構”及轉換．一一對應幾乎在每一處數學知識或數學活動中都能找到影子，有些思維活動已經成為心智自動化的部分，而更多的則是確定無疑的思考過程，甚至依然需要明確地表達出來．

其實早在洞穴中生活的古人類就已經會使用抽象的幾何圖形來記事和傳遞信息．一種圖形與其所記錄的事件和傳遞的信息應是一一對應的，絕不能是混亂的、不確定的，否則這一“創造”就不會存續．時至今日，任一圖形或幾何概念依然都有其確定的含義與之一一對應．如歐幾里得關于二維圖形點、線、面的定義：“點”是不可再分為部分的圖形；“線”是只有長度而沒有寬度的圖形，“面”是只有長度和寬度的圖形．

掌握“一一對應”方法對于人類自身抽象能力的獲得與心智發展的重要意義也許遠超人們現在的認知．正是因為在自然選擇的進化中，人類獲得了以10個手指或用石子畫出的線條來一一地對應各種所需計數的物品，還可用圖形來對應不同的物品，從而把這種“對應”從無數次“計數”中剝離出來，成為恒定的“參照”，進而開始了漫長而無窮無盡的“抽象”歷程，抽象以及由此建立的數學大廈便一點一點搭建起來了．可以說，一一對應既是“抽象”活動的發端，亦是數學史的序幕．

不同于集合運算中的“一一映射”，兒童所要建立起的“一一對應”意識是能將觀察到的客觀事物與其抽象后的形式對應起來，從而開啟初步的數學化的思考，這種思考顯然不是混沌的，也不是高度綜合的或者是系統化的，但卻是開啟有條理的理性認識大門的關鍵一環．皮亞杰曾指出：“最基本的心理學觀察揭示一一對應是一種最原始的運算．”[14]

4.4 有序排列——數學抽象精密化的手段

數學的發展實在應歸功于人類知道了數的一一對應原則與數的有序原則的可統一性．根據“對應原則”產生了基數概念，基于“有序原則”生成了“序數”概念．序數原則實際上是一種抽象的假定，即假定總是可以由一個數數到它的后繼數，這個假定就是序數概念的本質．丹齊克認為：“若不是我們能夠將事物排列成有順序的次第，進步就是不大可能的．”

有序排列在圖形研究中體現為構成圖形元素的有序性．希爾伯特提出的幾大幾何公理都反映了圖形的有序性，如“順序公理”就規定了直線上點的位置順序關系，“關聯公理”規定了概念范疇的順序關系，“合同公理”核心就是概念的相等（順序）關系．史寧中認為：幾乎在現代數學的各個分支中，順序關系（包括大小關系、前后關系）都是非常重要的，這是數學研究對象的一個根本性的關系[15]．

對應和序列，這兩大原理已經深深滲透進全部數學．不只是數學，實際上已然進入精密思想的全部領域之中，交錯地編織在數系的錦繡天衣之上[13]．“次序化和序列化思維”或者稱之為“有序思考”，是優秀思維品質必不可少的要素．抽象思維之所以能充分體現出全面性、嚴謹性，與序列化的處理信息以及有序思考的思維習慣密切相關．皮亞杰認為：“在兒童思維中有一種非常原始的關于次序的結構——序列化結構，它像分類結構一樣原始．”[14]

4.5 比較與分類——數學抽象深化的關鍵環節

“比較”是“抽象”過程中必不可少的一環，通過比較才能找出“異同”，才能認識到“共性”，才有抽取共同性質后發現的“本質”特征的可能，“抽象”也就因此而有了“意義”．在比較之后進行的區分其實就是“分類”，有學者認為：“邏輯分組和分類是數學的核心組成部分．”分類也是“集合”思維的基礎，集合又是最基本的數學結構之一．分類的依據則是抽象集合的物體所共有的性質．皮亞杰認為：“分類既為邏輯概念也為數學概念的發展提供了基礎．”“一個類不能由知覺構造而只能由邏輯構造，因為必須以一系列抽象和概括為前提，類的意義才從哲學抽象和概括中得出．”[16]

比較與分類是抽象的進程得以深化的保障，無論是對數量的研究，還是對圖形的研究，沒有比較與分類的這一關鍵環節，深度的抽象將寸步難行．事實上，很多兒童之所以對數學難以有“感覺”，甚至經常深陷困境，大部分是緣于他們頭腦中始終無法清晰地進行分類，難以發現事物之間的共性與區別．因此，作為“抽象”的重要環節，教師還是應該適時提醒學生有意識地進行“比較與分類”的數學抽象化思考，從而強化“抽象”意識與能力．

4.6 數量刻畫——數學抽象的獨特標簽

數學抽象思想最為鮮明的特征就是對客觀事物或直觀表象進行“數量刻畫”．將具體的事物用相應的“數據”或“數量”進行抽象的表達，繼而進行符號化、形式化的分析，以便更進一步進行邏輯推理．即包括用“數”來刻畫具體對象的量的多少，如3米、4噸、5升、6公頃等；也包括用“數”來刻畫“圖形”的長短與大?。纭皥A的直徑長度是半徑的2倍”“三角形內角和是180度”，又如用勾股定理刻畫直角三角形三邊關系等．笛卡兒和費馬創造性地以數量刻畫的形式對圖形進行研究，從而發明了解析幾何，開啟了近代數學研究的神圣之門，這其中“數量刻畫”功不可沒．

以上“方法”既是抽象的基本方法，又是抽象的一般運行過程．當然，“抽象”的各種方法不是嚴格區分開來的，也并非一成不變地按步驟進行的，有時可能是多種方法交替或同時運行，對此大腦是完全可以輕松應對并操作的．在上面“六道工序”之后，抽象也并沒有停止，只不過進入到更具推理意義和模型意義的深度抽象之中．如將抽象出來的各種對象或現象的共同屬性、本質特征結合起來，歸納提煉并形成概念、定義；通過對數學研究對象之間關系的“抽象”，并以表示邏輯關系的術語得到科學合理的結論，形成相關的判斷、定義、法則、定理等；通過構造“模型”將高度綜合的“抽象對象”進行具體化運用……可以想見，對于完整的“抽象”活動而言，數學模型才應該是一段數學抽象旅程的終點和歸宿．

“會用數學的眼光觀察世界”是數學抽象思想所承載的學生素養發展的主旨、內涵和目標．“數學的眼光”是人類理性認識手段的必然選擇，是科學思維的最實用的一般方法，是數學教育價值的核心體現．正如鄭毓信所指出的：無論是數學教育或是其它各科的教育，都是整個教育事業的組成成分，應很好地落實“立德樹人”這一教育的根本任務，也即應當“通過核心素養來落實立德樹人根本任務”[17]．“數學的眼光”所“擔負”的立德樹人使命，不僅在于可引導人們如何看待世界、認識世界，更重要的是能形成主體的認識取向或價值觀念[18-21]．“數學的眼光”的涵育促進學生抽象思維的發展，增強思維的清晰性、合理性、有效性、深刻性、嚴密性，甚至還可增強靈活性、綜合性與創新性等，而最重要的則是逐步樹立起理性精神．

[1] 洪燕君．基于義務教育數學課程標準的核心素養的理解與實施——訪談史寧中教授[J]．數學教育學報，2023，32（3）：64-67．

[2] 孫曉天，刑佳立．中國義務教育：基于核心素養的數學課程目標體系[J]．小學數學教與學，2022（5）：20-22．

[3] 史寧中．數學基本思想18講[M]．北京：北京師范大學出版社，2016：12．

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[5] 王瑞蓀，喬際平．實用百科全書[M]．北京：開明出版社，1991：10，12，1?040．

[6] 柳樹滋，林可濟，郭金彬．重要的思維法則——從抽象上升到具體[M]．北京：北京出版社，1986：15．

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[10] 莫里斯·克萊因．西方文化中的數學[J]．張祖貴，譯．北京：商務印書館，2013：45．

[11] 林夏水．數學哲學譯文集[M]．北京：知識出版社，1986：5-7．

[12] 恩斯特·卡西爾．人文科學的邏輯[M]．沉暉，海平，葉舟，譯．北京：中國人民大學出版社，2004：1．

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[14] 皮亞杰．發生認識論[M]．紐約：哥倫比亞大學出版社，1970：13，28．

[15] 史寧中．數學思想概論——圖形與圖形關系的抽象[M]．長春：東北師范大學出版社，2015：108．

[16] 柯普蘭．兒童怎樣學習數學——皮亞杰研究的教育含義[M]．李其維，唐請鑣，譯．上海：上海教育出版社，1985：61-64．

[17] 鄭毓信．《義務教育數學課程標準（2022年版）》的理論審思[J]．數學教育學報，2022，31（6）：1-5．

[18] 黃秦安．后現代：一個觀照數學哲學的新視閾——數學哲學的范式分期與“后現代數學”的數學教育前瞻[J]．數學教育學報，2023，32（1）：1-6．

[19] 張輝蓉，唐佳欣．三年級學生“數學問題提出能力”“態度”與“學業水平”關系研究[J]．數學教育學報，2023，32（1）：31-37．

[20] 拉毛草，董連春，何偉．少數民族數學文化融入小學數學教學的實踐與探索——以藏族數學文化為例[J]．數學教育學報，2023，32（1）：38-46．

[21] 張莉，伊曉美．新世紀以來小學數學教科書中“分數”習題難度分析——以3套人教版為例[J]．數學教育學報，2023，32（1）：47-54．

Mathematical Vision: Mathematical Abstract thought Pointing to the Goal of “Three Learn”

ZHENG Yi-fu1, 2, HUANG Pu-quan2

(1. West District of ZhongshanCentral Primary School, Guangdong Zhongshan 528400, China;2. South China Normal University, Guangdong Guangzhou 510631, China)

“Mathematical vision” is the inevitable choice of human rational understanding means, the most practical general method of scientific thinking, and the core embodiment of the value of mathematics education. “Mathematical vision” can not only guide people how to view the world and understand the world, but more importantly, it can form the subject’s cognitive orientation or values. Mathematical teaching in Primary and secondary schools, teachers must first deeply understand the nature of “mathematical abstract”, and be able to accurately grasp the general characteristics of “mathematical abstract”, and accurately master the basic methods of mathematical abstract, so as to carry out targeted improvement of thinking ability, the cultivation of abstract thoughts, and gradually enable the students to form a “mathematical vision”.

mathematical vision; abstract thought; abstract method; abstract characteristics; rational spirit

G623.5

A

1004–9894（2024）01–0059–05

鄭義富，黃甫全．數學的眼光：指向“三會”素養目標的數學抽象思想[J]．數學教育學報，2024，33（1）：59-63．

2023–10–01

2022年廣東省哲學社會科學規劃一般項目——新唯物主義智能化學習技術代理主體論（GD22CJY13）

鄭義富（1974—），男，山東棗莊人，正高級教師，中山市西區中心小學校長，華南師范大學博士生，主要從事數學教育研究．

[責任編校：陳漢君、張楠]