數學語言教學初探

楊立志,柏匯崧,范瑞杰

摘要:數學語言是一種特殊的語言。數學語言具有科學性、簡潔性、相通性,因此,對數學語言的研究必將對數學本身及數學教育的發展,乃至對人類文明都會起到積極的促進作用。

關鍵詞:數學符號;數學語言;科學;簡潔;相通

收稿日期:2009-11-05

作者簡介:楊立志(1983-),男,北京人,91746部隊助理工程師,學士學位;柏匯崧(1983-),男,上海人;軍事經濟學院襄樊分院基礎部助教,學士學位;范瑞杰(1983-),男,湖北襄樊人,軍事經濟學院襄樊分院基礎部助教,學士學位。

一、數學語言的特殊性

1.數學符號的科學性

數學符號是數學文字的主要形式,它是構成數學語言的基本成份。

1,2,3,4,5,6,7,8,9,0,這十個符號是全世界普遍采用的,它們表示了全部的數,書寫、運算都十分方便。這10個符號常被稱為阿拉伯數字,實際上卻是印度人創造的,只是經過阿拉伯傳到歐洲。這是印度對人類文明的一項重大貢獻,這一貢獻的意義也可能是今天的人們不易覺察的。但是,18世紀一位法國著名數學家曾說過:“用不多的記號表示全部的數的思想,賦予它的除了形式上的意義外,還有位置上的意義,它之如此絕妙非常,正是由于這種簡易得難以估量?！?sup>[1]

關于“位置上的意義”,指的是數字的進位表達。比如說724,它實際上是7×100+2×10+4,可是它只需簡寫成724就明白了。此外還有空位的問題,假若有個數字是7×1000+2×100+4,那該怎么寫呢?現在我們是很容易回答了,不就寫為7204嗎?可是,在最初的數字符號系統中是沒有0這個符號的。有的用一個點來表示:72.4;有的用一個方格來表示72□4;有的干脆就拉開一點寫,表示空一位;……但這些寫法的不準確、不方便是顯而易見的。直到使用了0這個符號,問題才得以解決。而0這個符號比其他符號的出現晚了好幾百年。如果再空再空一位看72004這個數字和7204的區別,我們能更清楚地體會到0這個符號的特殊意義。

數學符號有許多種,除了前面提到的數字符號外,還有代數的符號,通常用英文字母或希臘字母表示。在笛卡兒時代,以英文字母的開頭幾個表示已知數,如a、b、c、…,以英文字母的最后幾個代表未知數,如x、y、z,或以a、b、c、…代表常數,以x、y、z代表變數?，F在,這已不是固定的了,在某種約定之下,a、b、c、…也可代表未知數,也可以表變數,x、y、z也可以代表已知數,也可以代表常數。

數字研究的對象已不只限于數,還研究形,△表示三角形,□表示四邊形,○表示圓。數學研究的最一般對象是集合,而表示集合的符號常常用英文字母的斜體,如A、B、C、D、X、Y、Z等。某些特殊的集合又用特殊的符號表示,例如,用N表示自然數集,而實數集則用R表示,N與nature(自然)一詞有關,R與real(實的)有關。特定的集合組成空間,空間有時用S表示,S與space(空間)一詞有關,但也用其他字母表示空間。^[1]這些符號的運用使得數學語言變得簡練。

還有一類符號是表示關系的,通過種種關系起聯結作用。常用的如等號=,近似等號≈,全等號≌或恒等≡。還有不等號≠,<,>?！伪硎酒叫嘘P系,⊥表示垂直關系,∈與表示元素與集合之間的關系,急硎炯合與集合之間的關系等等。

還有一大類是關于運算的符號。+,-,×,÷是四則運算符號。是開方運算符號,sin, cos, tan是三角運算符號,lim是極限運算符號,d、∫是微積分運算符號?！票硎救舾身椖酥翢o窮項求和,∏表示連乘,!表示階乘,∪、∩是集合論中的運算符號。映射是比運算更普遍的概念,f,g,h等常被運用作映射符號。

微積分是英國人牛頓和德國人萊布尼茨彼此獨立發現的,牛頓和萊布尼茨使用的微分符號卻是不同的。相比之下,萊布尼茨的符號在這兩方面都比牛頓的符號更加科學合理,它反映了事物最內在的本質,減輕了想象的任務。而英國人卻以牛頓為自豪,這是無可厚非的,但是,由于他們長時間固守牛頓的符號,使英國數學的發展受到了嚴重的損害。^[2]由此可見,數學符號的科學性直接影響著數學語言的質量,影響著數學及數學教育的發展。

2.數學語言的簡潔性

數學語言非常簡潔精確,它具有獨特的價值,它是科學語言的基礎。

從宏觀來說,人們常以“成千上萬”來研究多,再多就是“百萬”、“千萬”了,更多則是“億萬”?？墒?數學能作出更簡潔也更明確、更有力的表示,比如說,102535622