導數在初等數學中的應用

◆汪 圭

(甘肅省會寧縣高級職業中學)

導數在初等數學中的應用

◆汪 圭

(甘肅省會寧縣高級職業中學)

導數是微積分的一部分,是微積分中的一個重要概念,是以極限為基礎的。在初等數學中給出了極限、導數的概念和一些相關的結論,但并沒有用系統的理論知識推導及證明。但導數在初等數學中確實處于一中特殊的地位,也可以說是一種解決某些問題的重要工具。本文就是利用導數的基本知識來解決初等數學中不等式證明方面的幾個問題。

導數 函數 不等式 初等數學 應用

許多人認為,大學學習的數學分析對今后我們的從教無任何幫助,而事實上數學分析中的觀點思想可以加深對中學數學課本中概念的理解,可以提高教師自身水平。在微積分這一章中,可以透徹地學習導數的由來、概念、幾何意義。導數在初等數學里內容雖然不多,但應用廣泛,涉及到了函數方面、不等式證明方面、恒等式證明方面、數列方面等實際問題中的應用。下面就主要探討一下導數在初等數學不等式證明方面具體的一些應用。

利用導數證明不等式,就是利用不等式與函數之間的聯系,將不等式的部分或者全部投射到函數上。直接或等價變形后,結合不等式的結構特征,構造相應的函數。通過導數運算判斷出函數的單調性或利用導數運算來求出函數的最值,將不等式的證明轉化為函數問題。即轉化為比較函數值的大小,或者函數值在給定的區間上恒成立等。

一、求解不等式

在中學里我們學習了不等式的解法,在求解的過程中有的計算起來比較麻煩,不容易求解。但如果我們從函數的思想出發,將不等式問題轉化成函數問題,進一步利用導數來求解,問題將大大簡化。

二、證明不等式

在中學里學習的不等式證明方法有換元法、分析法、歸納法等基本方法。但對于部分不等式的證明,從函數的角度出發,通過研究其函數值的大小或其導函數值的大小將不等式轉化成函數問題進行證明。

三、求解不等式中參數的范圍

總之,導數在初等數學中確實處于一種特殊的地位,也可以說是一種解決某些問題的重要工具。

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