淺談函數奇偶性的教學體會

◆陳舟帆

(汕頭高級技工學校)

淺談函數奇偶性的教學體會

◆陳舟帆

(汕頭高級技工學校)

函數的奇偶性是函數的重要性質之一。本文主要探討函數的奇偶性的定義、性質,函數按奇偶性的分類,奇偶函數的圖像特征以及幾個常見的判別函數的奇偶性的錯例分析。

奇函數 偶函數 函數奇偶性

一、深刻理解函數奇偶性的定義

函數的奇偶性的定義如下:

(1)一般地,如果對于函數 f(x)在定義域內的任一個 x,都有 f(-x)=f(x),那么函數 f(x)叫做偶函數。

(2)一般地,如果對于函數 f(x)在定義域內的任一個 x,都有 f(-x)=-f(x),那么函數 f(x)叫做奇函數。

學習這個定義要緊緊抓住兩個要點:(1)函數的定義中的 x是任一個值。(2)都有 f(-x)=f(x)(或 f(-x)=-f(x))

在講課中,我特別注意強調 x是任一個而不是某一個,而不少同學經常要用具體的某一個值來判斷函數的奇偶性,正是對定義缺乏深刻的理解。而定義中的都有 f(-x)=f(x)(或 f(-x)=-f(x)),表示對于任意的 x都成立,即上面的式子是一個恒等式,而不是對于部分 x成立。

應該特別注意的是,僅僅簡單地記住這個定義的兩個要點是遠遠不夠的,因為,函數的奇偶性的定義包含著更深刻的內涵:

(一)定義中涉及的求 f(x),f(-x),這里應該強調的是:f(x)與 f(-x)必須同時有意義。因此,可以得出下面的結論,函數 f(x)是奇函數 (或偶函數)的必要條件是函數的定義域必須是關于原點對稱的數集 (原點可在也可不在定義域內)。下面,讓我們總結一下常見的關于原點對稱和關于原點不對稱的數集。

在講課中,我通過對常見的關于原點對稱和關于原點不對稱的數集進行總結,使同學們很快就能根據數集的形式來判斷函數的定義域是否是關于原點對稱的數集,從而進一步判斷出函數的奇偶性。

(二)函數的奇偶性是整個定義域內的性質,僅在定義域內的一個真子集中討論函數的奇偶性是沒有意義的。這一點和研究函數的單調性的方法不同。

因此,只有深刻地理解函數的奇偶性的定義的內涵,才能正確地判斷函數的奇偶性。

二、關于函數奇偶性的幾個重要性質

根據函數的奇偶性的定義,我們可以系統地總結出函數的奇偶性的幾個重要性質:

(1)對稱性:奇(偶)函數的定義域關于原點對稱。

(2)整體性:函數的奇偶性是整體性質,對定義域內的任意一個 x都必須成立。

(3)可逆性:①f(-x)=f(x)? f(x)是奇函數

②f(-x)=-f(x)?f(x)是偶函數

(4)等價性:①f(-x)=f(x)? f(-x)-f(x)=0

②f(-x)=-f(-x)?f(-x)+f(x)=0

(5)圖像的對稱性:奇函數的圖像關于原點對稱。偶函數的圖像關于 y軸對稱。

三、如何判斷一個函數的奇偶性

根據函數的奇偶性的定義判斷函數的奇偶性有兩個步驟。首先應判斷函數的定義域是否是關于原點對稱的數集,其次是驗證 f(-x)=f(x)(或 f(-x)=-f(x))對于定義域中的任意 x是否成立。兩個條件中尤以第一個條件最為重要,因為如果不能滿足第一個條件,即使第二個條件成立也不能判斷函數的奇偶性。不少同學在判斷函數的奇偶性時經常只依據第二個條件是否成立來進行判斷,因而產生了錯誤。

根據判斷函數的奇偶性的兩個條件,我們可以把函數按奇偶性分為:(1)奇函數;(2)偶函數;(3)非奇非偶函數;(4)既是奇函數也是偶函數四種類型。下面,我們根據各種題型舉行舉例分析。

上述幾個例子都是根據判斷函數的奇偶性的兩個步驟來判斷函數的奇偶性的,它屬于比較簡單的題目,屬于基本的題型。但有的題目較復雜,例如:

由上面的例子可知,若函數的表達式較復雜時,一定要對式子的特點進行分析才得出恒等式是否成立的結論,必要時應對表達式先進行化簡,再根據定義進行判斷。

另外,判斷函數的奇偶性也可以根據它的圖像的對稱性進行判斷。如果函數的圖像關于原點對稱,則該函數一定是奇函數,如果函數的圖像關于 y軸對稱,則該函數一定是偶函數。反之,若函數的圖像關于原點或 y軸不對稱,則該函數一定是非奇非偶函數。

四、幾個判斷函數奇偶性例子的錯解分析

分析:上述解題結論正確,過程錯誤。因為 f(x)與 f(-x)不能同時有意義。因此,正確的解法是,只有判斷函數的定義域關于原點不對稱,就可以直接得出結論,而不用驗證 f(-x)=f(x)(或 f(-x)=-f(x))是否成立。

分析:上述解題過程是錯誤的。很明顯,解題過程中沒有考慮 f(x)的定義域是否是關于原點對稱的數集。實際上,f(x)的定義域是關于原點不對稱的數集,因此,f(x)=x2是非奇非偶函數。這道題也可以從它圖像的對稱性進行判斷。

總之,只要深刻地理解函數的奇偶性的定義,那么,判斷函數的奇偶性就不難了。

[1]陸利標.中學數學教與學.奇偶性的誤區——忽視定義域.2007.

[2]韓忠月.高中數學教與學.高一數學測試題,2007.

[3]全國中等職業技術學校通用教材.