洞悉誤因 對癥下藥——一道易錯題思維誤區的調查與分析

☉江蘇省華羅庚中學 席國金

一、問題的提出

一道好的練習題可以反映出學生在知識理解上的不足以及思維上的誤區.只要發現學生的問題，我們對癥下藥，就能做到有的放矢.更好的研究學情，可使我們平時命題工作更有針對性，提高命題的質量，以至為我們今后的教育教學工作提供正確的向導.筆者對一道組合問題進行了調查研究，發現了學生容易走入的幾個思維誤區，進而反思我們課堂教學中的不足與缺陷，并提出一些改進措施.

二、研究過程

1.調查對象

江蘇省華羅庚中學的120名在校高二理科學生.

2.調查方法

采用試卷調查法和訪談法.收集試卷115份，選擇其中20名學生進行訪談.

三、研究結果與分析

1.試題呈現

題目 把8個相同的球放入4個不同的盒子，有多少種不同放法？

本題是相同元素的分配問題，是關于組合知識應用的一道經典問題，也是隔板法的應用模型.考查化歸轉化、分類討論的數學思想，著力于考察學生的綜合應用能力.

本題的正確率并不高，只有10%的同學解得答案，還有4.1%的學生沒有解答，可能是由于思維受阻或是根本就沒有認真做導致的.

2.誤區分析

經過統計發現，主要有以下幾個思維的誤區，誤區類型調查結果如下表.

從表中可以看出，學生對此問題的解答錯誤率很高，對此我們分析學生走入思維誤區的原因.

誤區類型 誤區1 誤區2 誤區3百分比 19.1% 50.3% 16.5%

誤區1：錯誤的看成是不同元素的分組、分配問題而致錯

19.1%的學生錯誤地將問題看作是不同元素的分組、分配問題而導致問題的錯誤解答，主要原因：一是由于學生根本沒有理解不同元素的分組、分配問題和相同元素的分組、分配問題，對二者不能夠區分而混為一談；二是由于審題不清，粗枝大葉所致.

誤區2：錯誤的看成是原始問題而致錯

原始問題：將n個相同元素放入m（m≤n）個不同的盒子中，每個盒子中至少放一個元素，共有C種放法.

誤區3：分類不全面而致錯

3.問題分析

從學生的解答來看，做對的學生都是應用了求方程非負整數解的問題模型，將上述問題等效為：求x1+x2+x3+x4=8的非負整數解的組數.

解法1：用a1，a2，a3，a4中ai=xi+1（i=1，2，3，4）（ai為正整數）做代換，有

進而轉化為求a的正整數解的組數，由隔板法知，有組解.

從本解法來看，這些學生對隔板法已經熟練掌握，不但明確隔板法適用的范圍，而且還能類比非負整數解解決此問題.當然這些學生不但基礎好，而且學習習慣也好，在學習中能夠自主探究和歸納總結.

解法2：對上述誤區3的學生的解法進行分析和完善，我們就對x1+x2+x3+x4=8的非負整數解的組數展開討論即可.對此問題解的情況可以分為4類：

因此，我們就得到了下面的結論：

解法3：（不盡相異元素的全排列的應用）求x1+x2+x3+x4=8的非負整數解的組數，由上可知，就是求a1+a2+a3+a4=12的正整數解的組數.根據解情況分類：

④（2～2～2～6、2～2～3～5、2～2～4～4、2～3～3～4）有

⑤（3～3～3～3）有1種.

綜上可知，x1+x2+x3+x4=8的正整數解的組數為165=.

解法1應用了化歸轉化的數學思想，將原問題轉化為非負整數解的問題，再應用隔板法優化了思維過程；解法2、解法3不但應用了化歸轉化的數學思想，而且應用了分類討論的數學思想，分類要做到不重不漏，才能走出思維的誤區，達到正確解題的目的.通過方法2的探究，我們還得到上述一個結論.

四、結論與建議

1.結論

通過調查，筆者發現學生的思維誤區最多的是缺少同類問題概念的辨析、審題不清、偷換概念等帶來的誤區；其次是知識本身不理解而走入的誤區，對于高中生來說，數學思維能力是有限的，而數學思維能力的培養是一項工程.相對而言，考慮問題不全面而帶來的思維誤區就少了，主要是因為本題難度較大，數學能力的要求很高所致，這也說明學生綜合應用知識的能力有限，對于數學思想方法的掌握欠佳.

2.建議

（1）加強概念性教學

為防止學生出現偷換概念而走入思維誤區，教學中必須認真備課鉆研教材，加強概念性教學，對概念進行辨析、歸類，對方法進行總結及模型化，使學生牢固的掌握基本概念、正確運用方法等.

（2）重視數學能力的發展

高考以能力立意，全面考查體現數學學科特點的七個能力，即空間想象能力、抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力、數據處理能力、數學建模能力、創新意識.良好的思維能力是需要經過多次反復從實踐中鍛煉出來的.這樣通過發散思維訓練，突破了固定的思維模式，提高了思維的靈活性.

（3）注重數學思想方法的滲透

高中階段主要掌握七大數學思想方法，即函數與方程的數學思想、數形結合的數學思想、分類與整合的數學思想、化歸與轉化的數學思想、特殊與一般的數學思想、有限與無限的數學思想、或然與必然的數學思想，其中在高考中，函數與方程的數學思想方法、數形結合的數學思想方法、化歸與轉化的數學思想方法體現得最為突出．因此，在平時的教學中要注重滲透數學思想方法，從而優化解題思路，找到合理的突破口，減少解題思維誤區的發生.

（4）用正確的方法糾錯

認真分析思維誤區的形成，針對不同的思維誤區，進行易錯題歸類、總結成題集，以便于學生對知識的再認識.

（5）培養良好的非智力因素

學生的許多思維誤區與非智力因素也是離不開的，應在糾正不良的心理品質上下功夫.如：要求學生上課時注意力要集中；要有克服困難的精神，不能知難而退；克服馬虎、粗心、不認真檢查的毛??；并教育學生樹立學習的信心，有助于提高成績.

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3.徐群飛，李俊.中小學生估算意識及策略的調查研究［J］.數學教育學報，2006（3）.

4.涂榮豹.新編數學教學論［J］.華東師范大學出版社.2008年2月出版.