關于教材例題教學的一些思考

☉廣東省東莞市常平中學 劉麗娟

例題的教學是課堂教學過程中極其重要的一環，它對一堂課的成敗有著直接的關系，因此教師從例題的挑選、組織到例題的分析、講解都要非常慎重、認真.教學中教師一般都會根據具體情況或多或少自編或從課外選擇一些認為有價值的例題加強教學，而教材中的例題，在各種因素的影響下正充當著各種不同的角色.在新課標大力倡導“積極主動、勇于探索”學習方式的背景下，在高考命題日益體現學生能力的形勢下，我們應該如何正確處理教材中的例題，下面我根據自己的教學實踐談談對這個問題的看法.

一、教材例題處理的誤區

1．不屑一顧

教師在教學中對教材中的例題常常一帶而過，甚至全盤否定，完全另選全新的例題.他們認為教材中的例題太簡單，不能體現自己的教學水平，而且常常選用給人以照本宣科之嫌，而自選例題可以設計出更符合學生實際的課，更好地體現自己的教學特色.然而教材是眾多專家經過多重思考與仔細推敲后編寫的，編選的例題雖然不能說最好，但具有科學性、示范性、典型性和導向性.長期對教材例題輕描淡寫或擱置不用，首先不能發揮教材例題應有的作用，其次自選例題還有可能無形中超出課程標準要求，加重師生負擔，使學生產生畏難情緒，更重要的是易使學生產生輕視課本的不良心理.

2．照本宣科

教師教學時對教材中的例題一題不落，道道“過關”，但不作深入的研究，不求一題多解與一題多變，書上怎么寫就怎么講，講完做練習或講補充例題，這至少體現出教師沒有真正的理解教材，對教材的駕馭能力不強，長此以往，必將使學生對數學的興趣下降，思想僵化，從而抑制學生的創造思維，阻礙學生思維能力的發展.

二、教材例題的處理

對教材中的例題，不屑一顧或照本宣科都不是正確的態度，我們應該合理選用，充分挖掘其潛在的功能.

1.對課本例題的合理設計，激發學生的參與意識

課本例題，是數學教學中傳授知識、展示數學思想方法、培養學生能力的重要載體.學生解題，仍然較依賴例題的教學模式、思路和步驟，力圖實現解題的類化，對學生解題具有積極的指導作用.教師在挖掘例題潛力時要對課本例題的設計、解法反復研究.

對解題方法進行深入挖掘和研究，做到一題多變，培養學生思維的開闊性和靈活性.同一個題目從不同的角度去分析研究，可以得到不同的啟迪，因而可用不同的解法，進而延伸解題的思維觸角，也激發了學生的學習興趣，培養學生的創新意識和創新思維能力.

例1 如圖1，已知OPQ是半徑為1，圓心角為60度的扇形，C是扇形弧上的動點，ABCD是扇形的內接矩形.記∠COP＝α，求當角α取何值時，矩形ABCD的面積最大？并求出這個最大面積.

圖1

圖2

圖3

變式訓練：若例1中的條件去掉“記∠COP＝α”，結論改成“求矩形ABCD的最大面積”，還有其他的解決方法嗎？

引申訓練1：如圖2，已知OPQ是半徑為1，圓心角為60°的扇形，A、B是扇形弧上的動點，AB平行PQ，ABCD是扇形的內接矩形.求矩形ABCD的面積最大.

引申訓練2：如圖3，四邊形ABCD是一個邊長為100m的正方形地皮，其中ATPS是半徑為90m的扇形小山，其余部分都是平地，P是弧TS上一點，現有一位開發商想在平地上建造一個兩邊落在BC與CD上的矩形停車場PQCR.求矩形停車場PQCR面積的最值.

本例題是讓學生了解三角函數在實際問題中的應用，培養學生自主探究，獨立思考的數學品質，掌握解決應用問題的思路和方法，學會思考問題、分析問題和解決問題.不斷通過變換圖形，利用函數、三角函數、不等式等知識，探究扇形和圓的內接三角形、內接四邊形等圖形的面積問題.通過變式和引申的訓練，培養學生的應用意識及發散思維，激發學生的參與意識，提高學生靈活解題的能力，培養學生數學建模的能力，進一步熟悉三角函數在實際問題中的應用.

2.對例題運用變式教學，培養學生數學思維的靈活性

在教材例題教學中，教師還可對某些例題進行適當改編、推廣或引申，讓學生在不同角度和背景下重新認識，以開拓學生的視野，激活學生的思維，培養探索精神和創新意識.

（1）運用變式，促進學生對概念、定理、公式的進一步理解和掌握

在鞏固練習和階段復習時，精心設計一些有坡度、有聯系的題組，溝通知識間的聯系，有利于擴展學生原有認知結構，形成知識網絡.

在學習完等差、等比數列的通項公式后，需要根據遞推關系求通項，我們往往會通過等差數列的遞推公式和等比數列的通項公式進行變式.

例2在數列{an}中滿足a1=2，an+1=an+3（n≥1），求數列通項公式.

接下來通過變式：

變式1：數列{an}滿足a1=2，an+1=an+n（n∈N*）求通項公式.

目的：為了引入累加法求通項.

變式2：數列{an}滿足a1=2，an+1=2an+3（n∈N*）求通項公式.

目的：為了引入構造新數列求通項.

變式3：數列{an}滿足a1=2，an+1=an+3n（n∈N*）求通項公式.

目的：一讓學生現學現用累加法；二為下面的變式做鋪墊.

變式4：數列{an}滿足a1=2，an+1=3an+3n（n∈N*）求通項公式.

目的：讓學生活用構造新數列的方法.

這樣，對新的概念、定理、公式的進一步理解和掌握.最后根據上面的四個變式，就得到了這些遞推公式的統一形式：數列{an}滿足：首項為a1，an+1=pan+q（p是常數，q可以是常數，也可以是一個表達式）.對于這個統一的表達式，就可以根據剛才四個變式而得到四種不同的題型.

（2）利用變式，培養學生的觀察、分析和概括能力

在新知識教學中，精心設計一連串的變式題組，由淺入深，既體現在知識、思維上的鋪墊，又展示知識的發生過程，找準新知識的生長點，讓學生利用已有的知識結構來同化新知識，實現知識的遷移.如：學習完解一元二次不等式后，將要學習解分式不等式，而解分式不等式的關鍵是轉化為一元二次不等式，所以針對教材上解一元二次不等式的例題，可以設計這樣一組變式題型.

例3 解不等式（x+4）（x-1）＜0.

不少教師認為該題太簡單，因而一帶而過，甚至視而不見.其實在教學中若能積極加以引導，合理變式，學生將有很大的收獲.

有了上面的鋪墊，學生應能想到用分類討論手段解決變式5.

這組變式題組是圍繞解分式不等式的教學目標，由易到難、由舊知到新知逐步過渡，層層深入，還有為“學有余力”的學生專門設置的綜合提升題變式5，以解決他們“吃不飽”的問題.這樣學生通過自己分析、概括，參與問題設計，使得對拋物線標準方程的理解將更透徹、更深入.

（3）利用變式，培養學生聯想、轉化、探索的思維能力

在變式時，對變式所達成的目標應該清晰，而不能含混不清，它表達了教師改造習題的意愿.

目的：讓學生知道基本不等式應用中，首先應該滿足“一正”.

目的：使得學生懂得基本不等式的應用中應該滿足“三等”的真正含義

目的：使得學生能真正理解基本不等式中的“二定”

由上面的實踐經驗發現可以通過變式明確公式定理的條件，結論和適用范圍，注意事項等關鍵之處，讓學生深入理解定理公式的本質，從而培養學生嚴密的邏輯推理能力和正確演算能力.強化了定理公式的條件和適用范圍，培養嚴謹思維.這樣通過從已有問題中歸納、分析得出結論，有助于發展學生的聯想、轉化、探索思維能力.

3.總結反思，開發學生數學學習的潛能

為防止學生的學習停留在例題表層，在教材例題講解后，我們應該及時引導學生進行總結反思，以達到舉一反三、觸類旁通的效果.

（1）總結解題思路和方法

教材的例題往往反映的是本堂課的基本知識，因此其解法也一般局限于本節或者是本章的知識點，而其實解決問題的思路和方法可能遠不止這些，另外教材例題給出的解法也可能存在一定的局限性，因此，在例題教學后教師應及時引導學生反思本題是否還有其他解法，哪種解法較為簡捷，哪種解法具有一般性，以此拓寬學生的解題思路，掌握解題規律.這有利于克服學生的思維定勢，訓練思維的變通性.

在講某個例題的時候，發現這個題目的知識點與其他某個知識點很相像，為了使學生不容易混為一談，應通過例題的變式，變為其他的知識點，使學生能加以區別.

對任意性，學生都比較熟練，馬上可以得到結論fmax（x）≤gmin（x）.而容易混在一起的是存在性問題，是學生的難點.為了使學生能把這兩種題型區別開來，我們可以對例題進行適當的反思變式.

通過這兩個反思，使得學生能夠區別存在性與任意性的不同，雖然都是與最值有關的，但最值的關系是相反的，通過2個反思就達到了觸類旁通的效果，而不會使問題獨立化.

（2）反思解題失誤

在例題教學中，對問題的解答，一般都有一個學生思考或師生共同探討的過程，因此出現某些解題障礙是必然的，甚至為了讓學生有更深的印象，教師有時也要有意識地故意設置解題失誤.教師若能以此為契機，反思失誤的原因、過程以及解決的方法，及時總結，就能激發學生的學習興趣，鍛煉學生的學習意志.

例6已知函數f（x）=2+log3x，（1≤x≤9），求函數g（x）=f2（x）+f（x2）的值域.

錯解：g（x）=log32x+6log3x+6，由1≤x≤9，得0≤log3x≤2，故g（x）的值域［6，22］.

上述錯解因為忽視定義域導致誤求值域，從中可以得出如下結論，在研究與函數有關的各種問題時，必須樹立“定義域優先的觀念.”這種問題是學生剛學習函數時容易出現的，若教師在教學中能有針對性地設置錯誤，并仔細分析，學生應該學得更加輕松.

三、幾點感悟

1.要尊重課本，用好課本

課本是經過教學實踐“千錘百煉”、反復打磨出來的精品課程資源.其文字語言、數學表述都是經過反復推敲；情景創設、問題探究幾乎都是經典范例；每副插圖、每道例題、習題都是具有其特定的教育功能，都蘊含著某些數學思想和方法.課本的基本功能、所蘊含的本質內涵和其折射出的深遠意義等靈魂性的東西，在教學時教師要予以尊重，不可無視課本的存在.如何改造課本、如何使用課本，是教師必須要深思的問題.在改造和重組時不能改變課本的意圖和所承載的目標.否則，將會使教學反饋大打折扣，使課本的育人功能大大降低.

2.要充分領會教材的編寫意圖

教師要理清課本中每一個教學內容的編排線索，了解這一教學內容被安排在幾個模塊中，每個模塊的主要教學任務和要求都是什么，在例題、習題的改編過程中，教師要站在整個高中階段的數學體系中來審視和把握它的地位和作用.這樣才能做到全局考慮.同時也要思考課本中編寫了什么，為什么要這樣編寫.只有準確把握課本的知識點、生長點、重難點，教學時才能做到有的放矢.

3.要注重對課本的改編和再加工

對課本的改編和再加工，是在充分領會課本的意圖、把握教學思路前提下的一種教學行為.這種教學行為的目的是結合學生的實際情況，使例題、習題的設計最符合學生的要求.課本的改編和再加工的關鍵是對數學學習素材的選擇.它不僅關乎學生對數學的學習興趣、動機以及對數學的理解，而且直接影響學生數學學習潛能的開發，決定著學習活動是否生動有效.

總之，課本中每一個例題、習題的設置都有其目的和作用，體現著本節知識應達到的能力要求.我們不僅要緊扣課本，認識到認真鉆研課本的重要性，突出課本基礎知識的作用，突出課本例題中數學思想方法的挖掘和應用，也要重視課本習題潛在功能的挖掘與利用.指導學生回歸課本，挖掘課本的潛在功能，對課本典型問題進行引申、推廣、改編和再開發，發揮其應有作用.