☉上海市松江二中 衛福山
2008年南京大學自主招生不等式試題如下:
問題:設a,b,c∈R+且a+b+c=1,求證:
對于以上問題,文[1]給出了三種證明方法,主要用到函數的凸凹性及均值不等式,文[2]指出文[1]的三種證明方法都屬于“超綱”方法,并給出了一種不超綱的初等方法.特別地,文[2]給出了以上問題推廣的三個命題:
讀者對于命題2、3可采用類似的角度去理解,因此問題及三個命題實際上也可以認為是函數的凸凹性及Jesen不等式在具體函數上的應用而已.順著這樣的思路下去,我們可以提出很多貌似新穎的問題.
角度1:問題中字母a,b,c輪換能得到什么不等式?
問題1:設a,b,c∈R+且a+b+c=1,
角度2:將問題1從系數上加以推廣
(參見文[3]定理1)
分析:在文[3]中楊學枝老師利用赫爾德(Holder)不等式給出了問題2的證明,實際上問題2只是在系數上對問題1加以推廣,證明方法完全類似.
問題3:設a,b,c∈R+且a+b+c=1,
分析:以上不等式的證明可以在很多文獻中找到,如文[4]~[7],其證明方法有五種,下面給出其中用凸凹性的較簡單的證明.
去掉對數符號即得證.
角度4:將問題3中字母a,b,c輪換能得到什么不等式?
問題4:設a,b,c∈R+且a+b+c=1,
證明:對于a,b,c∈R+,有如下幾個常用不等式:
在以上不等式及條件a+b+c=1下,有
讀者可以在問題4的基礎上繼續研究,如研究其各種形式的推廣等,這里從略.
角度5:將條件“a+b+c=1”改成“abc=1”,有哪些結論?
問題5:設a,b,c∈R+且abc=1,
問題4稍加變化,便得到2007年烏克蘭數學競賽不等式試題:
設a,b,c∈R+且abc≥1,
關于其證明,讀者可以參閱文獻[8].
問題6:設a,b,c∈R+且abc=1,
讀者可以將研究繼續進行下去,從中我們或許能產生很多新穎的不等式.
1.時寶軍,李淑蓮,于瑞廣.一道自主招生數學試題的解法探究與評析[J].數學通訊(下半月),2010(2):56-57.
2.趙思林,李興貴.一道自主招生不等式試題的初等解法探究[J].數學通訊(下半月),2010(10):49.
3.楊學枝.兩個代數不等式猜想的推廣[J].數學通訊(下半月),2010(10):38-39.
4.楊先義.一個不等式的推廣[J].數學通訊,2002(19):29.
5.梁麗平,安振平.一個代數不等式的兩種初等證法[J].中學數學研究,2003(3):41-42.
6.馬占山,薛衛華.一個不等式的簡單初等證明[J].數學通訊(下半月),2010(5):33.
7.李歆.也談一個不等式的簡單初等證明[J].數學通訊(下半月),2010(9):29.
8.鄒守文.一道2007年烏克蘭競賽題的簡證[J].中學數學,2007(8):25.