閱讀中感悟 引導中生成 探究中提升——“閱讀·引導·提煉·探究”在高中數學教學中的實踐與認識

☉江蘇省南通市小海中學

江蘇省南通市曾榮名師工作室 曾 榮（特級教師）

荷蘭著名數學家弗蘭登塔爾曾說過：“沒有一種數學思想，以它被發現時的那個樣子發表出來.一個問題被解決以后，相應地發展成一種形式化的技巧，結果使得火熱的思考變成了冰冷的美麗.”數學教師的責任在于把數學的學術形態轉化為教育形態，使學生既能高效率地進行火熱的思考，又能比較容易接受，理解隱藏在“冰冷的美麗”背后的數學本質［1］.筆者在長期的課堂教學實踐中，嘗試以閱讀、探究等方式激發學生進行積極主動的思考，提升學生的學習能力，初步形成了“閱讀·引導·提煉·探究”的教學模式.本文結合課堂教學實踐闡述對該教學模式的認識.

一、“閱讀·引導·提煉·探究”教學模式的實踐

（一）“閱讀·引導·提煉·探究”教學模式的教學案例

為了能讓讀者對“閱讀·引導·提煉·探究”教學模式有整體認識，我們先來看一個具體的教學案例.

【案例】《數系的擴充》的教學過程設計［2］

1.自主閱讀，提出問題

【閱讀材料1】我們把一個數集連同相應的運算及結構叫做一個數系.在人類數的發展過程中，數集從自然數集擴充到實數集大致經歷了以下過程，如圖1所示：

圖1

問題1：閱讀以上材料，結合社會生活發展的需要思考數系的擴充過程，并在空格內填入適當的數集.

問題2：卡爾丹的解釋在實數集范圍內能成立嗎？為什么？

2.引導交流，數學活動

活動1：從數學內部發展的需要來看，每一次認知沖突的出現就帶來了一次新的數系擴充.你能結合數系的擴充過程總結數系的擴充需要遵循哪些原則嗎？

活動2：在我們的數學學習中，是否還存在與閱讀材料1相類似的認知沖突呢？

活動3：為了使數學家卡爾丹的解釋變得合理，你認為需要引入具有怎樣特征的數？

3.自主提煉，數學建構

（1）數系的擴充過程（如圖2）.

圖2

（2）復數的有關概念.

①虛數單位的引入：規定：（1）i2=-1；（2）實數可以與i進行四則運算，進行四則運算時，原有的加法、乘法運算律仍然成立.

②復數的定義：

形如a+bi（a，b∈R）的數稱為復數，通常用字母z表示，其中a叫做復數的實部，b叫做復數的虛部.

全體復數組成的集合叫復數集，通常用C表示，即C={a+bi|a，b∈R}.

③復數的分類：

復數z=a+bi（a，b∈R），當b=0時，z為實數；當b≠0時，z為虛數（特別地，當a=0時，z為純虛數）.

（3）復數相等的充要條件.

如果兩個復數的實部與虛部分別相等，則稱兩個復數相等.

即：a+bi=c+di?a=c且b=d.（a，b，c，d∈R）.

4.實踐探究，數學運用

（1）初步運用.

例1 指出下列復數的實部與虛部：

例2 實數m分別取什么值時，復數z=m（m-1）+（m-1）i是：

①實數？②虛數？③純虛數？④6+2i？

例3 已知復數z1=（x+y）+（x-2y）i，復數z2=（2x-5）+（3x+y）i，若z1=z2，求實數x，y的值.

（2）變式演練.

練習：設z1=（m2-2m-3）+（m2-4m+3）i，z2=5+3i，當m取何實數時，

①z1=0？②z1≠z2？

（3）深入探究.

下列結論從實數集擴充到復數集是否仍然成立？

①若a∈R，則a2≥0；若z∈C，則z2≥0.

②若a，b∈R，a2+b2=0，則a=b=0；若z1，z2∈C，z12+z22=0，則z1=z2=0.

③實數可以用數軸上的點來表示；復數可以用數軸上的點來表示.

5.回顧反思總結提升

（1）知識結構（如圖3）：

圖3

（2）探究途徑：閱讀、類比、猜想、化歸.

（3）探究拓展：

你能在今天所學知識基礎上進一步研究復數的運算及復數的幾何意義嗎？

6.課后作業（略）

（二）“閱讀·引導·提煉·探究”教學模式的操作流程

從上述案例可看出“閱讀·引導·提煉·探究”教學模式的基本流程如圖4［3］所示：

圖4

二、“閱讀·引導·提煉·探究”教學模式的理性認識

（一）自主閱讀，在閱讀中感悟

數學是一門科學，也是一種文化，更是一種語言，是描述科學的語言.前蘇聯數學教育學家斯托利亞爾認為“數學教學也是數學語言的教學”.從語言學習的角度講，數學學習離不開數學閱讀［4］.新課程教材編寫者為了培養學生的閱讀能力，在教科書許多章節后都安排了集知識性、科學性、趣味性、教育性于一體的“閱讀材料”.數學教師應充分利用好教材資源，或是根據需要編寫一些與所授內容相匹配的閱讀材料，讓學生進行閱讀.通過閱讀思考，感悟數學的發現之美、和諧之美、本真之美.

1.在閱讀中思考，體驗數學的發現之美

數學成果通常具有三種不同的形態.第一，數學家構建數學思想、發現數學定理時的原始形態.其次是公開發表，寫在論文里、教科書里的學術形態.最后，則是數學教師在課堂上向學生講課的教育形態.事實上，教科書里陳述的數學，往往是“冰冷的美麗”.在這“冰冷的美麗”背后隱藏的是發現數學定理時的原始形態，需要教師以合適的方法進行揭示.教師搜集整合有關背景材料，進一步加工成學生能讀、樂讀的閱讀材料，讓學生在閱讀中思考、在閱讀中發現，這無疑是一種有效的教學方式.

2.在閱讀中遷移，感悟數學的和諧之美

數學學習注重培養學生“舉一反三”的能力.這種能力很大程度上表現為一種類比遷移的能力.類比，是指由兩個對象具有某些相同的性質，推出它們的其他性質也可能相同的思考方法.類比既是一種思想方法，也是一種教學方法.著名教育家波利亞曾形象地說過“類比是一個偉大的領路人”.教師在課堂教學中合理運用閱讀材料，創設遷移類比情境，尋根溯源，引導學生去比較、去發現，將有利于學生實現學習方式的轉變，從而提高課堂學習效率.

3.在閱讀中回歸，感悟數學的本真之美

設置閱讀材料，不是為了替代教材，而是為了更好地詮釋教材，通過閱讀材料滲透與教材知識相關的思想、方法，通過數學思想方法引領學生的學習，使學生的學習過程成為在教師引導下的“再創造”過程.為此，教師在編寫、運用閱讀材料時，應重視回歸，回歸思想、回歸方法、回歸教材，讓學生體驗數學的本真之美.

（二）引導交流，在引導中生成

在學生自主閱讀的基礎上，教師可以組織學生進行交流活動，圍繞閱讀材料中提出的問題相互評價，相互補充，相互答疑，及時解決交流過程中出現或提出的問題.教師應根據學生交流活動的開展情況進行相機引導.

著名特級教師李庾南老師認為，相機引導即教師運用點撥、解惑、提示、釋疑等方法發揮教師的引導作用.如創設合適的情境，生成課題，激發研究興趣，明確研究內容和研究方法；根據學生學習中出現的問題，或進行啟發性的描述，使學生得到仿效和借鑒，或對有關問題的前景進行生動的描述，使學生打開眼界，拓寬思路，或列舉一些矛盾現象，選編一些容易發生錯誤的習題，讓學生深入思考，總結經驗教訓等.通過教師引導，使學生學習有內驅力、有內容、有方法，使議論有序、有激情、有見地、有深度，最終使課堂學習達到預期目標.引導是教師在課堂教學中發揮主體作用的重要標志，正確地發揮教師對學生的引導是自主學習、合作學習取得預期效果的保證.常用的引導方法有示范性引導、例證性引導、展望性引導、邏輯性引導、反駁性引導、誘惑性引導、探究性引導等［5］.

（三）自主提煉，在提煉中建構

通過學生的自主閱讀、獨立思考、合作交流以及教師的相機引導，學生對本節課所學知識產生的背景、發展的主線有了一定的了解，但理解還不夠深入，細節研究還不夠充分，表達也不夠規范.此時，教師應鼓勵學生自主提煉，進行數學建構活動.對于概念教學，教師應讓學生嘗試自己給概念下定義，并不斷修正概念的表達方式.同時提煉概念的關鍵詞，圍繞關鍵詞將概念的研究進一步深入；對于習題教學，教師在與學生合作解答的基礎上讓學生自主提煉解題的流程、方法、思想，以達到舉一反三的目的；對于單元復習課，應通過回顧、梳理，讓學生自主提煉本單元的知識結構，以達到整體建構的目的.

（四）實踐探究，在探究中提升

歐洲教育界流行著我們的先哲——孔子的三句話：If you tell me and I shall forget（如果你講給我聽，我將會忘記）；If you show me and I shall remember（如果你做給我看，我將會記?。?；If you involve me and I shall understand（如果你帶我一起做，我將會理解），并將其演化為探究式教學的哲學指導和思想依據之一［6］.數學探究式教學是指教師在數學教學過程中，為學生提供充分的自由表達、質疑、探究、討論問題的機會，引導學生自主地參與教學，促進學生加深對知識的體驗，幫助學生逐步形成研究數學的積極態度，掌握研究數學的基本方法，發展數學研究能力的一種教學方式［7］.

1.探究活動應貫穿數學教學的始終

很多人常將數學探究理解為新知的運用，是利用新知解難題，數學探究的過程就是難題解決的過程.實則不然，數學探究活動并不僅僅停留在數學運用層面，“閱讀·引導·提煉·探究”教學模式的各個環節都可能伴隨探究活動的發生.例如，在閱讀過程中，學生采取主動式閱讀的方法去歸納、綜合、概括、發現、探索，實際上就是一次極具價值的探究活動.在提煉階段，數學概念本身也是在探究活動中逐漸生成、廓清和發展的，與科學探究有著“天生而必然”的聯系，探究過程就是實現概念意義建構最適宜的學習情境.

2.探究活動應重視探究方法的養成

探究活動應重視以數學方法論為指導，教給學生掌握發現和探究問題的方法.數學常用的探究方法有歸納、演繹探究，比較、類比探究，觀察、實踐探究，假設、猜想探究，證明、反駁探究，直覺思維探究，逆向思維探究，弱抽象探究等.通過經常性的探究活動，幫助學生形成科學的探究意識和探究方法［8］.

3.探究活動應重視意志品質的培養

在重視學生學習結果的同時，更應注重學生的探究過程以及學生在探究過程中的感受和體驗.著名數學教育家弗賴登塔爾指出：從教學認識過程的任務來看，其根本目的不在于僅僅獲得和驗證真知，更主要的是為了在一定知識經驗之上構建學生主體的新的認知活動結構和實踐行為能力，學生主體在認知過程中的建構活動本身即是一種創造的過程.教師要根據教學目標，按照學生的認知結構，圍繞教學內容設計出階梯式的問題系列，從而創設一定的思維環境，把學生的思維帶到最近發展區內，激發學生的內驅力，使學生盡快進入學習狀態.通過營造這一種氛圍，使學生積極主動地、自由地去思考、想象、探索，從而解決問題或發現規律，并獲得一種積極的情感體驗.通過問題解決，對學生進行認知開發，促進學生能力的發展和素質的提高，并促進智力結構與非智力結構（動機、興趣、信念、意志等）同步和諧發展.

“閱讀·引導·提煉·探究”教學模式相對其他教學模式而言，更注重閱讀活動、探究活動的開展，有利于學生自主學習能力和探究能力的培養.但作為一種固定的模式，卻也存在操作機械、融合度欠缺等問題.能否更好地將閱讀、引導、提煉、探究融合為一個整體，使其從一種教學模式發展成為一種教學范式，這將是一個值得長期研究的課題.

1.張奠宙.微積分教學：從冰冷的美麗到火熱的思考［J］.高等數學研究，2006（2）.

2.曾榮.基于數學史滲透的教學設計：數系的擴充［J］.高中數學教與學（人大復印資料），2012（7）.

3.曾榮.高中數學“閱讀·引導·提煉·探究”教學模式探析［J］.數學教學研究，2011（7）.

4.曾榮.例談課堂閱讀材料編寫的原則［J］.中國數學教育，2011（12）.

5.李庾南.數學自學·議論·引導教學法［M］.北京：人民教育出版社，2004.

6.陸真.新課程實施背景下對科學探究的再認識與思考［J］.課程·教材·教法，2005（9）.

7.曾榮.數學探究式教學：培養主動發展的人［J］.數學教學通訊，2010（7）.