關于不定方程χ3+8=103y2

孫浩娜

(西南大學數學與統計學院，重慶 400715)

關于不定方程χ3+8=103y2

孫浩娜

(西南大學數學與統計學院，重慶 400715)

利用同余式和遞歸數列的方法，證明了不定方程χ3+8=103y2無適合gcd(χ，y)=1的整數解.

不定方程;整數解;遞歸數列

不定方程

(其中D是無平方因子的正整數)是一類基本而重要的不定方程，對它已有不少的研究工作．柯召和孫琦［1］證明了當D不能被3或6k+1形的素因數整除，且D≡0，1，2(mod 4)時，方程(1)無整數解(χ，y)．曹玉書［2］證明了當D是奇素數時，若D=3，則方程(1)僅有整數解(χ，y)=(11，±21);如果D≡5(mod 6)，則方程(1)無整數解．顯然，對于D含有6k+1形的素因數的情況需要進一步討論．羅明［3］證明了不定方程χ3+8=7y2僅有整數解(χ，y)=(-2，0)，(-1，±1)，(10，±12)，不定方程χ3-8=7y2僅有整數解(χ，y)=(2，0)．近些年，對于該類方程也有一些相關研究［4-7］．而當D=103時，此類方程的解還未解決．此處在此基礎上，利用同余式的性質和遞歸數列的方法，證明了當D=103時，方程(1)無解．

定理 不定方程

無整數解．

證明 若χ≡0(mod 2)，則由式(2)有y≡0(mod 4)．這與(χ，y)=1矛盾，所以χ≡1(mod 2)．

現設χ≡1(mod 2)，此時(χ+2，χ2-2χ+4)=1或3，故式(2)有4種可能的分解:

情形1 χ+2=103a2，χ2-2χ+4=b2，y=ab．

情形2 χ+2=a2，χ2-2χ+4=103b2，y=ab．

情形3 χ+2=3a2，χ2-2χ+4=309b2，y=3ab．

情形4 χ+2=309a2，χ2-2χ+4=3b2，y=3ab．

以下分別討論這4種情形下式(2)的整數解．

情形1 由第二式得χ=0，2，代入第一式都不成立，故該情形沒有式(2)的整數解．

情形2 第二式化為(χ-1)2-103b2=-3，將第一式代入(χ-1)2-103b2=-3，得(a2-3)2-103b2=-3．由于方程X2-103Y2=-3有兩個結合類解［8］，其基本解是，故全部解(X，Y)由式(3)(4)給出

容易驗證式(5)-(8)成立．

因為χ≡1(mod 2)，所以a≡1(mod 2)，所以χn≡0(mod 2)．由式(7)知，n≡0(mod 2)．

對χn的遞歸關系式(7)取模103，得χn≡10(mod 103)，若a2=-χn+3，則有a2≡-χn+3≡-7≡96(mod 103)，于是，矛盾．所以a2=χn+3且n≡0(mod 2)．

對式(7)取模7，得到周期為4的剩余序列．當n≡0(mod 4)時，χn≡3(mod 7)，有a2=6(mod 7)，這不可能．所以n≡2(mod 4)．

對式(7)取模17，得到周期為4的剩余序列．當n≡2(mod 4)時，χn≡7(mod 17)，有a2=10(mod 17)，于是，矛盾．故情形2無解．

情形3 由第一式知χ≡1(mod 8)，代入第二式得5b2≡3(mod 8)，這不可能．故情形3無解．

情形4 將第二式化為(χ-1)2-3b2=-3，再第一式代入得b2-3(103a2-1)2=1，因此有

因為χ≡1(mod 2)，所以a≡1(mod 2)，所以χn≡0(mod 2)．由式(9)知，n≡0(mod 2)．

對式(9)取模8，得到周期為4的剩余序列，當n≡0(mod 4)時，sn≡0(mod 8)，有7a2=1(mod 8)，此不可能．當n≡2(mod 4)時，sn≡4(mod 8)，有7a2=5(mod 8)，這也不可能．故情形4無解．

綜合上述情形的討論可知，不定方程χ3+8=103y2，χ，y∈Z，gcd(χ，y)=1無整數解．

［1］柯召，孫琦.關于不定方程χ3±8=Dy2和χ3±8=3Dy2［J］.四川大學學報:自然科學版，1981，33(2):1-5

［2］曹玉書.關于不定方程χ3±8=3Dy2［J］.黑龍江大學學報:自然科學版，1992，19(2):1-3

［3］羅明.關于不定方程χ3±8=7y2［J］.重慶師范學院學報:自然科學版，1995，12(3):29-31

［4］樂茂華.關于Diophantine方程χ3-8=py2［J］.煙臺師范學院學報:自然科學版，2004，20(3):171-173

［5］黃永慶，廖江東.關于不定方程χ3±8=35y2［J］.重慶工商大學學報:自然科學版，2006，23(5):462-464

［6］谷楊華.關于不定方程χ3+1=266y2和不定方程χ3+8=133y2［J］.云南民族大學學報:自然科學版，2009，18(4):305-309

［7］梁艷華，李鑫.關于不定方程χ3+8=Dy2［J］.四川理工學院學報:自然科學版，2009，22(1):26-29

［8］柯召，孫琦.談談不定方程［M］.上海:上海教育出版社，1980

On Diophantine Equation χ3+8=103y2

SUN Hao-na
(School of Mathematics and Statistics，Southwest University，Chongqing 400715，China)

Congruence method and recurrent sequence are used to prove that Diophantine equation χ3+8= 103y2has no integer solution with gcd(χ，y)=1.

Diophantine equation;integer solution;recurrent sequence

O156.2

A

1672-058X(2014)01-0014-02

責任編輯:李翠薇

2013-09-04;

2013-09-28.

孫浩娜(1988-)，女，河南鄭州人，碩士研究生，從事代數數論研究.