知行合一 學生先行

李鑫娟

教師應該是一個有思想的行動者，優秀教師與眾不同的“研究”方式，加速了他們的專業成長.其中，最為突出的特點就是他們在“知行合一”中提高專業水平.“知行合一”強調“知”和“行”的同步交互與“悟性自足”——在“行”中“知”、“行”和“知”齊頭并進，注重主體悟性的發揮和行為的同步跟進，也就是在課堂拼搏中學會教學，在問題的驅動下提高自身的水平以適應學生的需求.筆者有幸參加2014年寧波市教壇新秀評比，現就課堂評比“兩直線的交點坐標和距離公式”，探討一下在“知行合一”理念下，如何在一個個問題的驅動中，優化課堂教學設計，提高課堂實效，促進師生共同成長.

陳永明教授在《評議數學課》中曾說：“導入知識不應該馬馬虎虎，馬虎了，學生就不知道知識的來龍去脈了.”可見導入知識的重要性.源于本節是高二復習課，為了課堂自然流暢，應注重回歸本源，凸顯本真數學教學，關注課堂生成，解決“學生獨自面對數學問題時能想能做”這一根本問題.本節課分為以下幾個環節.

一、問題驅動 引發思維

提出問題 我們知道點P（x0，y0）到直線l：Ax+By+C=0（A2+B2≠0）的距離公式是d=，那么怎樣推導呢？請從幾何、函數、向量和不等式的角度進行研究.

設計意圖 點到直線的距離公式是解析幾何的“核心內容“，其結果很重要，推導過程本身也很重要.問題的提示是一種情境的創設，為學生指出可能的探究方向.用不同的方法推導，可以促進學生對知識的理解，加強知識的融合和綜合，可以培養學生思維的靈活性、發散性和深刻性.

學生探究 要求學生獨立思考，以小組為單位，給出推導過程，教師巡視和指導，查看研究結果.

推導過程1（幾何法） 過P作PM∥y軸交直線l于點M，過P作PN∥x軸交直線l于點N，過P作PQ⊥l于點Q，線段PQ即為點P到直線l的距離.（如圖1）.

教師點評 這種解法借助幾何圖形的數量關系，利用面積公式和直線交點坐標求法等相關知識，在知識的應用過程中促進了知識的融合和創新，形象直觀，過程簡潔，此種方法應該值得大家借鑒.

推導過程2（函數法） 點P到直線l上任意一點的距離的最小值就是點到直線的距離.在l上取任意點Q（x，y），點P到直線l的距離即為PQ的最小值.

用兩點的距離公式可求PQ，但在計算中學生化簡難度比較大，教師在巡視過程中提示，對運算過程和方法進行優化.為了利用條件Ax+By+C=0可對其變形為A（x-x0）+B（y-y0）=-（Ax0+By0+C），

PQ2=（x-x0）2+（y-y0）2=（x-x0）2+

=

可以轉化為關于x-x0的二次函數求最值問題

當x-x0=-時，[PQ2][min]=

所以最小值就是d=.

教師點評 本解法是解析幾何的基本方法即通法. 能否進行過程和方法的優化，要有盯住目標的意識和不斷優化的意識，這是重要的數學素養. 經常反思的同學才可以掌握此方法.此時學生并沒有因為算不出而沮喪，反而群情激昂，越挫越勇.在這個愉悅、和諧的教學情境中，學生思維的積極性被充分調動起來.而在解法的探究過程中，我啟發學生給他們作了幾個鋪墊，使探究的過程更自然一些，這樣使學生的思維最大程度得到“釋放”，思維過程也更自然.

推導過程3（柯西不等式） 點P（x0，y0）到直線 l上任意一點Q（x，y）的距離的最小值就是點P到直線l的距離.由柯西不等式，得

（A2+B2）[（x-x0）2+（y-y0）2]≥[A（x-x0）+B（y-y0）]2

=（Ax0+By0+C）2. ∵Ax+By+C=0，∴≥，當且僅當A（y-y0）=B（x-x0）時取等號，所以最小值就是d=.

進一步創設情境，對于方程A（x-x0）+B（y-y0）=-（Ax0+By0+C），你能從向量的數量積角度解釋這個等式并得出相關結果嗎？這個問題充分調動了學生的積極性，經過思考、交流、討論，有個小組給出了如下解答.

推導過程4（向量法） 設直線l：Ax+By+C=0（A2+B2≠0）的一個法向量n=（1，），設M（x，y）為直線l上任意一點，則=（x-x0，y-y0），從而點P到直線l的距離為d===，∵點M在直線l上，∴Ax+By+C=0，從而d=.

復習課對基礎知識的引入，我摒棄了常規的復習引入，而是從公式的推導入手，將本節課的知識點都融入到知識的推導過程中，讓學生自由體驗、創新、比較.面對問題，學生經過獨立思考，自由調用包括幾何、三角、函數、向量和不等式等知識解決問題，有許多的方法和知識都涉及領會、探究層次.在交流的過程中，使學生經歷了方法的不斷優化過程，有嘗試、有比較、有反思，可以更好地促進知識的同化和順應，促進知識的理解和融合，因為應用就是最好的理解.

二、再次設疑 激活思維

例題 已知直線l1：ax-y-4a=0，l2：x+y-2=0，l3：2x-y-10=0，若三條直線不能構成三角形，求a的值.

這是學生作業中的一道題，大家不陌生，入口較寬，反應也很迅速，可以說是一步到位，順利完成.

學生探究 學生分類討論可知，本題有三種情況：

①直線l1∥l2時，a=-1；

②直線l1∥l3時，a=2；

③直線l1經過l2，l3的交點（4，-2）時，a無解.

綜上可知滿足條件的a的值是-1或2.

本題考查直線和直線關系的判定，兩直線交點坐標的求法，分類討論思想，是一道值得探究的好題，探究是數學課堂教學的生命線.充分利用此題，深入探討，達到一題可破萬題山的境界.

三、變式探究 優化思維

變式1：若三條直線l1，l2，l3能圍成三角形，求a的取值范圍.endprint

生1：本題可以采取補集思想，利用例題的結論，輕松解決.滿足條件的a的取值范圍是{[a] a≠-1且a≠2}.

變式2：若三條直線l1，l2，l3能圍成三角形，且圍成三角形的面積為，求a的值.

設計意圖 學生不難發現三條直線中，l2，l3固定，l1是過定點（4，0）的動直線，l1的轉動，引發三角形形狀的變化，l1的轉動正是因為a的變化，從而a的變化引發三角形面積的變化.在三角形面積的計算中，重點考查了兩點間距離和點到直線的距離公式，是解析幾何中的常見問題，適合對通行通法的提煉.章建躍先生在編后漫筆中指出在解題中注重通性通法的提煉，才是追求數學教學的“長期效益”.

學生易求得交點B

，

，C

，，BC==，設d為A到l1的距離，則d=，S==，即a=或a=. 大家進一步提煉得到以下優化解法. S=ADxB-xC=xB-xC=

-

=.

利用圖象簡化計算，化二維運算降為一維運算，簡化運算是解析幾何中的一項基本技能.

變式3：若0

設計意圖 解析幾何中最值問題中常用的解題思想就是函數思想，精選變量，構造目標函數，轉化為函數最值問題，使學生“夠得到”，符合他們的“最近發展區”.

生2：S==-=≥.（0

變式4：若三條直線l1，l2，l3能圍成三角形，此三角形的面積有無最值？若有，請求出最值；若沒有，請添加適當條件，保證三角形面積有最值.

設計意圖 開放性問題更能調動學生學習的熱情，催動a，從而引發三角形形狀的變化，利用數形結合思想，根據待求量的幾何意義使三角形的面積最值問題得以解決.同時，幾何畫板的應用，使靜態的推敲變成動態的演示，更加簡單、直觀，體現數學的嚴密性和幾何的直觀性.（如圖2、3、4）

數學中的一些題目可以進一步探究、延伸與拓展，有利于學生將這一類問題整體把握.引導學生對命題作推廣，可將條件和結論作相似變換，由特殊到一般，由靜態推廣到動態.這種對知識的延伸和拓展，有利于學生思維的變異和發散.將問題定位在學生思維的“最近發展區”，使問題的變式、知識的遷移和學生思維的自然延展相吻合，遵循自然之道.在變中出彩，在變中提升課堂實效.

四、有效小結 升華思維

師：請大家歸納一下本節課的主要內容.

生3：（1）三種距離：兩點間的距離、點到直線的距離、兩條平行直線間的距離.

（2）三種位置關系：平行、相交、重合.

（3）三類題型：①直線與直線位置關系的判定；②參數值的方程求法；③最值問題求解.

（4）三種思想：①數形結合思想；②分類討論思想；③函數和方程思想.

師：大家總結的這些思想方法引導我們進行解題，快捷地尋找解題突破口，形成解題思路.

設計意圖 總結與反思是學生思維升華的關鍵，引導學生對本節課所學的內容包括例題、變式的解題思路和方法等進行反思和總結，并站在一定的學科高度上加以審視地看，從中看清問題的本質，領悟數學思想方法的內涵，學會用理性思維去思考數學問題.

對復習課教學的啟示 復習課的解題教學中常蘊含三部曲：選題、講題、變題.選題就是要在準確把握考試范圍和要求的基礎上，緊緊圍繞本節課的教學目標，緊扣考試重點、熱點的題型進行選題，并不是難度越大越好，一道好題之所以可以引起大家的共鳴，不是因為其獨特的解題技巧，而是其中蘊含的數學思想.講題一定要注重解題思路的分析，充分暴露思維過程，并把“通性通法”放在首位.教師不僅要從自己的角度研究給出的題目，還要從學生的角度去思考題目，更要從命題的角度去審視題目.而變題，就是變式教學，就是改變題目的設問方式或對題目進行拓展延伸，歸納出一類問題的本質解法，從而達到舉一反三，融會貫通的目的.在教學的實施過程中要有一定的探索性、師生的互動性、學生的主動參與性，從而可以看出只有教師不斷地提升自己的教學，才可以適應學生的不同需求.

課程改革的關鍵是課堂改革，課堂改革的根本目的是構建高效課堂，構建高效課堂則更多地需要教師的智慧.教師和學生的“課堂對話”是促進學生有效學習、構建高效課堂和提升學生思維能力的必然要求.數學教學是師生互動的過程，每一節課都是師生的激情與智慧互動生成的過程.在教學過程中，師生間、學生間進行動態的平等對話與交流，實現課堂中的師生互動.在對話與交流中，教師與學生討論與補充，表達與傾聽，爭論與溝通，在交流中分享探索的喜悅，共享思維的成果，學生的智慧在對話交流和思維共振中生成.教師應敏銳地捕捉課堂互動信息，形成充滿活力和智慧的數學教學.在課堂上，只有教師問出水平，學生才能答出精彩，只有教師不斷提升課堂效率，學生才能在數學學習上有“會當凌絕頂，一覽眾山小”的實力和氣魄！