采用組合質量-彈簧模型的快堆臥式貯鈉罐晃動分析

李 楠，韓 治

（1.中國原子能科學研究院快堆研究設計所，北京 102413；2.環境保護部核與輻射安全中心，北京 100088）

采用組合質量-彈簧模型的快堆臥式貯鈉罐晃動分析

李 楠1，韓 治2，＊

（1.中國原子能科學研究院快堆研究設計所，北京 102413；2.環境保護部核與輻射安全中心，北京 100088）

在核電工程中廣泛使用各類形式的儲液容器，儲液容器的抗震分析必須考慮液體晃動的影響。針對矩形儲液容器，不同于傳統的單向質量-彈簧模型將液體晃動對容器側壁、底部的作用都等效為對側壁的作用，本文提出一種組合質量-彈簧模型及計算公式，模擬了液體晃動分別對容器的側壁、底部的作用。組合質量-彈簧模型在三維有限元模型上的加載位置更加合理，容器底部的應力結果更加真實。利用組合質量-彈簧模型對中國實驗快堆的臥式貯鈉罐進行橫向晃動有限元計算，算例表明了計算結果的可靠性。組合質量-彈簧模型為儲液容器的有限元抗震分析提供了一種有效的方法。

晃動；組合質量-彈簧模型；中國實驗快堆；貯鈉罐

核電廠采用的儲液容器大多為形狀規則的具有對稱性的殼體結構，且內部構件對液體晃動的影響可忽略不計。這種情況下，采用質量-彈簧模型來分析地震中儲液容器自由液面晃動問題是足夠滿足工程需要的。

1957年，Housner［1］建立了一種等效力學方法，在此基礎上許多學者針對工程中各種儲液容器的抗震問題，將Housner模型進一步發展，得到令人滿意的結果［2－7］。文獻［4，7］采用Housner模型，將質量-彈簧模型應用在三維有限元模型上，模擬地震中液體晃動對立式圓柱容器的影響，計算結果表明Housner模型應用在三維有限元模型上是可行的，且所得到的三維模型的應力結果更為直觀。

但傳統的單向質量-彈簧模型將液動壓力對容器底部的彎矩疊加到容器側壁上，使等效質量的加載高度可能超出了容器頂部，不利于加載，并且也無法在容器底部體現液體晃動的效應。為此，本文針對矩形容器給出一種組合質量-彈簧模型及計算公式，將液體晃動對容器的作用分別施加于側壁、底部，旨為考慮液體晃動的儲液容器抗震分析提供新的方法。

1 分析方法

儲液容器中液體晃動對容器產生的壓力可分為脈沖壓力和對流壓力。脈沖壓力與慣性力相關，且正比于容器壁的加速度；對流壓力是由液體振動所產生。Housner方法以此為基礎，發展了兩種壓力計算的近似方法，避開了求解拉普拉斯方程及無窮級數，解的形式簡單且相當精確。其理論假設液體為無黏、無旋、不可壓；僅考慮液體晃動的一階頻率；自由液面為平面；在垂直于晃動方向的水平方向上液體的運動可被忽略。

1.1 脈沖壓力的等效

首先，介紹文獻［2］第3章第4節作用于貯液構筑物上的液動壓力的簡化計算方法，針對矩形容器的質量-彈簧模型進行研究，如圖1所示，其中a為矩形容器的長度。在液面以下深度h（≤0.75a）內考慮脈沖壓力，超過此深度的液體被當作約束液體；而對流壓力隨深度衰減很快，在h內計算得到的對流壓力是足夠精確的。因此h為計算晃動的液體高度，ht為最大液位高度，hr＝ht－h為約束液體的高度。

圖1 單向質量-彈簧模型Fig.1 Single directional mass-spring model

其中：m為高度h的液體總質量；下標I表示該變量是對脈沖壓力的等效。

下面將分別考慮脈沖壓力對容器側壁、底部的作用。首先，在高度h′I建立mI與容器壁的剛性連接，以等效脈沖壓力對側壁的作用力、力矩；再構造如圖2所示的質量-彈簧模型（以下稱“圖2模型”）以等效對底部的作用：倒T形剛性梁在OI處簡支，可繞點OI轉動，m′I為圖2模型的等效質量。當水平加速度作用于m′I時，通過剛性梁在容器底部形成彎矩。

圖2 脈沖壓力對底部力矩的等效質量-彈簧模型Fig.2 Equivalent mass-spring model of moment over bottom due to impulse pressure

HI和LI為模型布置參數，可由分析者自行確定：HI為形成底部彎矩的力臂，應使剛性梁轉動角度α盡量小，α≈tanα；對LI的確定，應避開容器底部的支承位置，若彈簧單元設置在支承位置可能會導致應力集中，不利于分析計算結果。

在相同水平加速度下，圖2模型對底部的彎矩與圖1模型中mI對底部的彎矩相等：

將式（4）代入式（5），則有：

其中，ω1為容器在晃動方向的一階固有頻率。

為使彎矩均勻分布，不產生嚴重的應力集中，可布置多組（設有i組，其中i≥2）的對稱底部彈簧（圖2中虛線所示）。若單側單組彈簧剛度均為KI，距點OI為±LI，i，可得：

1.2 對流壓力的等效

理論推導可求得矩形容器液體晃動的一階自振頻率［2］為：

式中，下標c表示該變量是對對流壓力的等效。

圖1模型的等效對流質量mc［2］為：

下面將介紹一種等效對流壓力的組合質量-彈簧模型（圖3，以下稱“圖3模型”），將直觀地體現出對流壓力分別對容器側壁、底部的作用：倒T形剛性梁在Oc處簡支，可繞點Oc轉動，m′c為圖3模型的等效質量；當水平加速度作用于m′c時，通過水平彈簧在容器側壁上施加作用力，并通過剛性梁在容器底部形成彎矩。其中K1c為水平方向的彈簧總剛度，K2c為底部單側彈簧豎直方向總剛度，Hc和Lc是模型布置參數，可由分析者自行確定，確定的原則見上節HI和LI的確定。

圖3 等效對流壓力的組合質量-彈簧模型Fig.3 Equivalent combined mass-spring model of convective pressure

圖4 組合質量-彈簧模型在最大位移時的受力Fig.4 Force on combined mass-spring model at its maximum displacement

按照動靜法對Oc點力矩平衡，MO＝0，則：

令圖3模型與對流壓力對側壁的合力矩相等，可得［2］：

由式（11）和（13）可得：

圖3模型對側壁的彎矩及對底部的彎矩之比為：

將式（9）、（14）、（15）代入式（16）可得：

在相同加速度下，圖1模型、圖3模型對側壁的作用力相等，再結合式（17）可得：

將式（17）、（18）代入式（19）可得：

將式（20）代入式（17）可得：

力臂Lc，i應設為不同，以避免應力集中。

2 組合質量-彈簧模型在三維模型中的應用

首先計算一無蓋的長、寬、高為6.0 m× 5.0 m×2.0 m的矩形容器，最高液位為1.6 m；液體為純水，總質量為48 000 kg；底面四邊錨固在地面上，為固定約束。容器在寬度方向上受到加速度激勵產生晃動。

若采用圖1模型，可算得hc為2.189 m，已超出容器的頂部。采用組合質量-彈簧模型時，分別按1.1、1.2節提供的方法建立。將圖2模型（等效脈沖壓力對底部作用）的LI和圖3模型（等效對流壓力）的Lc設置為不同，避免產生嚴重的應力集中。

下面是在橫向加速度0.106g作用下的響應。圖5為采用單向模型和組合模型的第1主應力分布。由圖5可看出，組合質量-彈簧模型使液體晃動效應在容器側壁和底部均有體現，應力分布更為合理。

表1列出單向模型和組合模型的計算結果及相對誤差?？煽闯?，組合模型是精確可靠的，可滿足工程設計的需要。

圖5 采用單向模型和組合模型的第1主應力分布Fig.5 The 1st principle stress distributions resulting from single-directional model and combined model

3 快堆臥式貯鈉罐的橫向晃動分析

中國實驗快堆（CEFR）貯鈉罐是典型的臥式儲液容器，在對其進行抗震分析時液體晃動的影響不可忽略?？於训睦鋮s劑是液態金屬鈉，假定為無旋、無黏不可壓液體。

表1 單向模型和組合模型的計算結果及相對誤差Table 1 Results and relative errors of single-directional model and combined model

貯鈉罐總高為3.7 m，容器總長為8.9 m，容器壁厚為20 mm，其腐蝕裕量為0.4 mm，板厚負偏差為0.25 mm。整個容器由兩個鞍座支承，分別裝有4個地腳螺釘。不銹鋼密度取為7 900 kg／m3。不銹鋼泊松比取為0.31。溫度為420℃時，彈性模量取為166 170 MPa。

應用ANSYS程序對貯鈉罐在z向（罐體的橫向）加速度下的晃動進行分析：有限元模型有62 620個單元，容器采用8節點SHELL281單元，如圖6所示；分別采用COMBIN14、MASS21、BEAM188建立彈簧單元、等效質量單元和剛性梁單元。固定鞍座處的4個螺釘完全擰緊，為固定約束；而另一鞍座4個節點允許軸向伸展。

圖6 貯鈉罐的有限元模型Fig.6 FEM model of sodium storage tank

圖7 組合模型的有限元模型Fig.7 FEM model of combined model

圖8示出僅考慮對流壓力的第1主應力分布。由有限元計算得到的節點力與理論解的比較（表2）可知，組合質量-彈簧模型的計算結果精確可靠，可滿足工程需要。

圖8 考慮對流壓力的第1主應力分布Fig.8 The 1st principle stress distribution due to conductive pressure

表2 考慮對流壓力的貯鈉罐晃動計算結果Table 2 Transverse sloshing calculation result of sodium storage tank due to conductive pressure

4 結論

采用Housner方法進行儲液容器的液體晃動分析時，傳統的單向質量-彈簧模型將液動壓力對容器底部的作用疊加到容器側壁上，隨之帶來一些三維模型加載的困難，尤其對于底部較長的臥式容器。為此，本文針對矩形容器給出了一種組合質量-彈簧模型及計算公式，分別考慮Housner方法對容器側壁、底部的作用，不使側壁承擔應作用于底部的彎矩，使應力分布更為合理。算例采用組合質量-彈簧模型進行快堆臥式貯鈉罐的晃動分析，并將組合模型對容器的作用與相應的理論解進行比較，對比表明組合模型是精確可靠的，從而為考慮液體晃動的儲液容器抗震分析提供新的方法。

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Combined Mass-spring Model Used to Simulate Sloshing of Fluid in CEFR Sodium Storage Tank

LI Nan1，HAN Zhi2，＊
（1.China Institute of Atomic Energy，P.O.Box 275-34，Beijing 102413，China；2.Nuclear and Radiation Safety Center，Ministry of Environmental Protection，Beijing 100088，China）

A wide variety of liquid storage tanks are designed for nuclear facility.The sloshing analysis is an essential part in seismic analysis of liquid storage tanks.Unlike single-directional mass-spring model adding hydraulic loads over the bottom to those on the walls，a combined mass-spring model was proposed which separated the hydraulic loads on the side walls from those over the bottom and the formulas for rectangular containers were given.The combined model was convenient to build up in 3D FEM and produced more reasonable stress distribution over the bottom.According to numerical results of sloshing analysis for CEFR sodium storage tank，the combined model is reliable.The combined mass-spring model provides a new technique in seismic analysis of liquid storage tanks.

sloshing；combined mass-spring model；CEFR；sodium storage tank

TL425；TL93

：A

1000-6931（2015）09-1642-06

10.7538／yzk.2015.49.09.1642

2014-10-08；

2015-02-06

李 楠（1981—），女，遼寧丹東人，工程師，碩士，從事反應堆力學研究

＊通信作者：韓 治，E-mail：hanzhi＿nsc＠126.com