具有Dirichlet邊界條件的非等熵MHD方程組的小馬赫數極限

徐自立，孫振營，王 術

（1．北京工業大學應用數理學院，北京100124；2．中州大學信息工程學院，河南鄭州450044）

具有Dirichlet邊界條件的非等熵MHD方程組的小馬赫數極限

徐自立1，2，孫振營2，王 術1

（1．北京工業大學應用數理學院，北京100124；2．中州大學信息工程學院，河南鄭州450044）

研究了在半平面上速度場和磁場都具有Dirichlet條件的非等熵的MHD方程組的不可壓極限．在具有好始值的前提下，在小時間區間上建立了不依賴于小馬赫數ε∈（0，1）的一致估計，其中也包括了在邊界上法線方向上的速度的高階導數的估計．

小馬赫數；Dirichlet條件；非等熵；MHD方程組

在描述流體在磁場中運動的狀態的磁流體力學偏微分方程組（簡稱MHD方程組）中，當小馬赫數趨于0時，從物理意義上看，這時攜帶著流體中勢能部分的高速聲波就能夠產生．如果是周期流體，這些聲波將會一直存在并且頻率不斷增加．而從數學的角度來看，這就意味著可壓的MHD方程組的解收斂到不可壓的MHD方程組的解．小馬赫數問題因其物理背景的重要性、復雜性、其數學方面的挑戰性，吸引了許多知名數學家的研究興趣，同時也取得了很多好的結果［1－4］．

當κ＝0時，MHD方程組在全空間上的局部光滑解的小馬赫數極限問題被Fan［5］等嚴格證明，Jiang［6－7］等研究了具有熱傳導系數時在全空間或者環上的局部光滑解的小馬赫極限，但是都沒有涉及有邊界的情況．而具有物理意義的邊界問題，Dou和Ju［8］證明了速度場具有非光滑邊界條件而磁場具有物理上完美傳導邊界條件的等熵MHD方程組的小馬赫數極限問題．

本文研究的是在二維半平面上速度場和磁場都具有Dirichlet邊界條件的情形時小馬赫數極限．實際上本文作者［9］已經證明MHD方程組光滑解的整體存在性和唯一性，并證明了在速度場滿足Navier光滑邊界條件且具有好始值時的小馬赫數極限．與文獻［9］中速度場滿足Navier光滑邊界而磁場滿足完美傳導邊界條件的情形相比較，本文的能量一致性估計將變得更加復雜．特別地，對于邊界上的估計將要分為切線和法線兩個方向的估計才能獲得．

1 主要結果

令p＝1＋q，重寫MHD方程組的模型如下：

其中ρ，u和H分別表示流體的密度、速度和磁場，p：＝（γ－1）ρe表示壓力．

方程組（5）～（8）的初值條件為：

邊值條件為：

curlH＝?1H2－?2H1，邊界?Ω＝（x1，0）的外法向量記作n：＝（n1，n2）＝（0，－1）．

本文的主要結果如下：

定理1．1 已知Ω?R R2是一個具有邊界｛（x1，x2）｜x2＝0｝的上半平面，且ν＝μ＋λ≥0．如果存在一個不依賴ε∈（0，1］的正常數C0，并且在（5）中的初始值

則初邊值問題（1）～（6）在C（［0，T0］；H2（Ω））中存在一個唯一解（ρε，uε，qε，Hε），其中T0也是一個不依賴ε∈（0，1］的正常數．此外，（ρε，uε，qε，Hε）滿足

這里C＝C（δ0，C0）是一個不依賴ε∈（0，1］的正常數．另外，當ε→0時，（ρε，uε，Hε）在Sobolev空間收斂到（ρ，u，H），且存在一個函數P（x，t），使得在C（0，T0；H2（Ω）3×H1（Ω））中，（ρ，u，P，H）為下面非齊次不可壓具有初邊值問題的MHD方程組的解：

（ρ0，u0，H0）在Ω內，這里（ρ0，u0，H0）為在H2（Ω）中的弱極限，同時在Ω中幾乎處處有

這里先給出定理，后面將給出證明．

2 “線性化”及其定理

由于問題（1）～（6）是非線性的，我們給定一個確定的v滿足和u相同的初邊值條件，通過下面的方程（7）可以解出密度ρ，而通過方程（10）可以解出磁場H，所以此時方程（8）表面上不是線性的，但由于解出密度ρ和磁場H后，本質上是線性，故我們稱之為“本質線性化”；下面我們將方程組（1）～（6）“本質線性化”為：

在這里我們利用等式

這樣，為了證明定理1．1，我們要先給出下面的定理：

則對于某個T＞0，初邊值問題（7）～（12）具有唯一解

在Ω×（0，T）中滿足ρε＞0和下面的正則性：

下面的命題對于證明定理1．1．和定理2．1非常重要：

命題2．1 如果初始值（ρ0，u0，q0，H0）對于某個不依賴于ε∈（0，1］的正常數C0，G0≤C0，并且假設（ρ，u，q，H）是定理2．1的唯一局部解．則這里存在不依賴ε∈（0，1］的正常數T0（G），C（C0）和G，使得

此外，如果G是固定的，則T0＝T，這里的C依賴于G和ρ．

為了證明命題2．1，我們有下面一些引理來分別對k≥2，H和（u，q）的低階和高階導數來分別進行先驗估計．

3 先驗估計

3．1 ρ的估計

對于任意的整數k≥2，我們對式（7）兩邊乘以－ρ－k并且分部積分，得出

這里存在的C不依賴于k．然后利用Gronwall不等式并讓k→＋∞，我們能得到

然后再得出ρ的H2估計，最后我們有下面的定理：

引理3．1 存在一個正的連續函數F（·，·），正常數T1：＝min（T，（1＋G2）－1）和C，對于任意的t∈［0，T1］和0≤ε≤1，使得

以后的Fi（·，·）（i＝1，2，…）是不依賴ε和正常數η，δ的連續函數．

3．2 對H的估計

由于在邊界上H＝0，我們只能得出H的低階估計，而其高階估計將和速度場u的高階估計放在一起用相同的方法進行估計．

引理3．2 存在一個正常數T1和C，使得對于任意的t∈［0，T1］，有

此外，對任意t∈［0，T］和正的連續函數F（·，·）有，

證明 首先，對方程（10）兩邊點乘H并在Ω上積分，能得到

利用條件（12），Young不等式以及插值不等式，能得到

對于t∈［0，T2］，這里

T2：＝min（T，（1＋G4）－1）．下面，記curlH為φ，由（10）容易知道φ滿足下面的方程

在上式兩邊同乘以φ然后在區域Ω上積分，利用邊界條件（12），得出

對式（17）兩邊同乘以Ht并積分，能得到

再利用Gronwall不等式和定義2．1和（13）得出

3．3 （u，q）的L2估計

我們很容易得出（u，q）的L2估計：

引理3．3 存在一個連續函數F0（·），是的對于任意t∈［0，T2］，這里的T2：＝min（T，（1＋G4）－1），有

此外，存在一個正的連續函數F（·，·），是的對于任意的t∈［0，T2］，將F0（G0）更換成F2（G0，G）上面的估計照樣成立．

3．4 對（u，q，H）的高階估計

下面分別進行估計K1，K2，K3，最后得出，對于任意的t∈（0，T2］和ε∈（0，1］，有

然后，又能得到，對于任意的t∈（0，T3］和ε∈（0，1］，有

這里的T3：＝min（T，（1＋G34）－1）．

首先要估計低階項．采用常規的穩定的Stokes問題的估計方法［10］（參見Galdi書中第4章內容）、利用Sobolev嵌入定理以及引理3．2，對于特定的函數F2（G0）＞1和任意的t∈（0，T3］，能夠得出

類似的，我們得（u，q）到的高階導數的估計：

然后結合式（21），對于某個特定的函數F2（G0）＞1和任意的t∈（0，T3］，推出

然后結合式（18）、（19）、（20）和（23），得出下面的引理：

引理3．4 存在一個正常數C1和T3（G），使得對于任意的t∈（0，T3］和ε∈（0，1］，有

我們將采用Valli的思想［11－12］和Jiang［13］的方法，分別對區域的內部和邊界進行估計．

（1）區域內部估計

下面先給出內部估計，為了方便，我們采用愛因斯坦求和約定，，并且令χ0是函數，對式（8）作用?jk，然后和作內積，得

對式（9）作以上類似的處理，經過仔細計算，導出：

（2）區域邊界上切線方向上導數的估計

由于在?Ω上，χ0?1u＝0，χ0?11u＝0，其中的?1，?11都是邊界切線方向上的導數，同樣的，χ0?1v＝0， χ0?11v＝0，這樣，對式（8）作用?11，再乘以，然后積分，經過計算得出

對于任意的t∈（0，T3］和ε∈（0，1］，有

（3）區域邊界上法線方向上導數的估計

首先對式（8）作用?1，然后兩邊同乘以（divu），最后積分．接著對式（9）作用?12，然后兩邊同乘以，最后積分．結合上面兩次積分后的式子，得出：

對于任意的t∈（0，T3］和ε∈（0，1］，有

為了封閉對divu的估計，對式（8）作用?2，兩邊同乘以然后積分．對式（9）作用?22，兩邊同乘以然后積分．結合上面兩次積分后的式子，得出：

對于任意的t∈（0，T3］和ε∈（0，1］，有

為了估計三階的法向量，繼續利用上面的Galerkin問題導出：

綜合上面的關于邊界的估計，我們得出下面的引理：

引理3．5 存在一個正函數F8，正常數C和T3（G），使得對于任意的t∈（0，T3］和ε∈（0，1］，有

綜合引理3．1至引理3．5，我們再得出下面的引理：

引理3．6 存在一個正函數F9和T3（G），使得對于任意的t∈（0，T3］和ε∈（0，1］，有

4 命題2．1的證明

取F10（G0）：＝F1（G0）＋F9（G0），這里的F1（·）與F9（·）分別是由引理3．1和引理3．6定義的，利用選擇的G和T0，我們有

對于任意的0＜ε≤1，能得到

這樣用常規的方法就能得到命題2．1的證明．接著運用Galerkin方法和正則性定理能建立“線性方程組”（7）～（12）的解的局部存在性和整體存在性．

5 定理的證明

基于局部存在性定理和整體存在性定理，我們再運用用經典的連續定理和命題2．1中的一致估計就能證明出定理2．1．

最后，利用不動點定理，“本質線性”方程組解的整體存在性定理，以及命題2．1中的一致估計，我們能容易地證明出定理1．1．

本文解決的是半平面上的Direchlet條件的MHD方程組的不可壓極限問題，情況相對簡單，如果是有界區域上的Direchlet邊值問題，我們將不得不采用坐標變換的方法處理邊界，情況會更見復雜．

另外，我們還可以考慮三維的情形．

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［責任編輯：王景周］

Low mach number limit of the non-isentropic magnetohydrodynamic equations with the Dirichlet bounded conditions

XU Zili，SUN Zhengying，WANG Shu
（1．College of Applied Sciences，Beijing University of Technology，Beijing 100124；2．College of Information Engineering，Zhong Zhou University，Zhengzhou 450044，China）

The incompressible limit of the non-isentropic magnetohydrodynamic equations with the Dirichlet bounded conditions for velocity and for magnetic field in the half plane was studied．Under the premise of the initial data that is well-prepared，the uniform estimates，which exclude the estimate of high-order derivatives of the velocity in the normal directions to the boundary，are estimated within a short time interval independent of Mach number ε∈（0，1）．

Low Mach number limit；Dirichlet conditions；Non-isentropic；MHD equations

O175．29

A

1000－9965（2015）01－0081－08

10．11778／j．jdxb．2015．01．015

2014－09－21

國家自然科學基金資助項目（11371042）；北京市自然科學基金資助項目（1132006）

徐自立（1974－），博士研究生，副教授，研究方向：流體力學中的偏微分方程方面的研究，Mobile：13783443852，E-mail：xuzili102647＠sina．com