類比在初一教學中的應用

章敏

【摘 要】類比思想在初中數學教學中應用廣泛，類比的魅力在于它可以使數學學習更容易、更生動、更形象，有利于學生自主探索與創新思維的培養。本文主要列舉了初一教材中關于類比思想的應用，闡述了類比在初中學習的重要地位以及通過類比更加容易的學習新的知識。通過概念的類比，理解概念的本質；通過知識結構的類比，構建起知識的網絡；通過思維的類比，突破學生學習思維難點，培養學生的創新意識。鍛煉學生解決問題的能力，提高初中數學學習的有效性。本文的最后也點出了該思想方法容易進入的誤區，體現本學科的嚴謹。

【關鍵詞】類比 有理數 整式 立方根 不等式 應用 有效性

1 引言

著名教育家玻利亞曾形象地說過：“類比是一個偉大的領路人?！痹诔踔袛祵W學習中，類比思想是理解概念，鍛煉思維，構建知識網絡的重要手段。類比法是初中重要的教學方法，數學中的許多概念、定理、法則等是通過類比得到的，在數學教學中，恰當地應用新舊知識的類比，不僅有利于理解、掌握新知識，還能使舊知識得到鞏固，同時拓寬視野，突出問題的本質，更有利于培養學生的創造性思維，提高解決問題的能力。在解題中尋找問題的線索，往往也借助于類比方法，從而達到啟發思路的目的。

2 數學類比的定義

數學上的類比是指依據兩類數學對象的相似性，有可能將已知的一類數學對象的性質遷移到另一類未知的對象上去的一種合情推理。它能夠解決一些看似復雜困難的問題。從遷移過程看，有些類比十分明顯、直接，比較簡單，而有些類比需建立在抽象分析的基礎上才能實現。

類比的作用機制可以用如下的框圖來表示：

類比包括目標問題和原問題兩個部分。目標問題是需要解決的問題，原問題是已經解決的，并且是已經掌握的、比較常見、比較熟悉、比較形象具體、比較容易明白的問題。原問題與目標問題之間是平行關系，類比原問題解決目標問題，通過類比學會目標問題。下面根據自己的教學實踐，談談在初一教材中幾點運用類比的例子。

3 類比在初一教材中的應用

3.1 有理數加減混合運算

有理數的加法是有理數運算的開始，是進一步學習有理數減法的基礎，也是今后學習實數運算，代數運算，解方程以及函數知識的基礎，是初中數學“數與代數”領域中必須掌握的基礎知識和技能，學生能否接受和形成在有理數范圍內進行的各種運算的思維方式，本節課的學習尤為重要，因此我類比了正負數的概念來引入，通過類比使學生更加容易接受新知識。具體方法如下：

例1：計算：-7+3-2-4。

分析：先將負數放在一起，正數放在一起。

得：-7-2-4+3

然后類比生活中水位變化的實例，同時展示電腦課件。我們把水位上升1米記為+1，水 位下降1米記為-1。問：

師：-7表示

生：水位下降了7米。

師：-2表示

生：水位下降了2米。

師：-4表示

生：水位下降了4米。

師：+3表示

生：水位上升了3米。

師：-7-2-4+3表示水位先下降了 米，又上升了

米，那么水位一共 了 米

在這里我類比了“有理數的乘法”一開始引入的水位變化的實例。水位的變化在生活中很常見，學生理解、想象起來不難，再借助電腦課件直觀的動畫演示，生動形象地反應出水位變化的情況。這樣既加深了學生的印象，有助于學生理解，又能提高學生學習的動力和喚起學生強烈的求知欲。通過這樣的嘗試，學生反饋上來的情況就好得太多，達到了預期的教學目標。

3.2 有理數乘法法則的探究

有理數的乘法運算不是一類新的運算，只是參與運算的數在原來有理數的基礎上添加了負數，所以通過類比前面非負數的乘法得出負數乘法的相關結論。

例2：

通過對上式進行類比得到下面的式子

通過上一組式子類比得到如下式子

上述通過兩次類比得到了有理數乘法法則，并歸納出兩數相乘符號確定的方法，為后面有理數的除法奠定了基礎。其實有理數的除法同樣可以類比加減法之間的轉化，從而想到變除為乘。

3.3 整式中的類比

在整式這一章有很多用到了類比這一重要的數學思想。例如：確定多項式的系數與次數，通過類比有理數的加減法得到整式的加減法，通過類比有理數去括號法則得到整式去括號的法則。

例3：3+2=5 類比 3a+2a=5a 類比 3a+2a+3b+2b=5a+5b

3.4 合并同類項中的類比

在“合并同類項”一課中創設了如下情景：

（1）實物歸類

教師把學習用品、玩具、零食（形狀有圓、方、三角形）混在一起，讓學生按照自己的標準進行分類，要求學生回答以下問題：①你的分類的標準是什么？②假如分類標準一樣，則分類是否唯一？③你有幾種分類方法？

（2）多項式中項的歸類

觀察多項式-2x+8y–4z+x–y回答下列問題：①你想把哪些項歸為一類？②你是根據什么特征來分類的？那么3a2b–4ab2–3+5a2b+2ab2+2ab–6ab+8

（學生分小組進行討論，并由代表集中發言，其他組進行補充完善）

實物歸類的主要目的是讓學生感受生活中存在分類現象，并且通過實物分類，讓學生明確分類的標準與方法，事實上學生通過準確的實物分類理解了分類的意義與標準。再出示多項式，讓學生進行分類，學生一定會與實物分類進行類比，也會有不同的分類方法，比如對于-2x+8y–4z+x–y，有的學生利用系數的正負來進行分類，而同類項只是分類中的一種特殊情況。

數學學習要充分利用學生所熟悉的生活背景，把數學知識的學習融入到學生的生活中，通過“由表及里”類比，獲得數學本質和模型。象上面生活中的分類方法與標準是原問題，是學生所熟悉的、了解的，由實物分類類比到數學分類，學生覺得數學并不是那樣的神秘與抽象，離學生的生活是那樣接近，把日常生活中普實的方法移植到比較抽象的數學中，從而更容易、更切實地理解數學思維，提高了學生學習的興趣，降低了數學學習的難度，加強了數學與實際的聯系。

3.5 立方根中的類比

著名的學習理論家奧蘇貝爾指出：要進行有意義的學習必須知道學生已經知道了什么。在教學人教版七年級下冊第六章實數立方根時，考慮到“平方根”與“立方根”兩節在內容與知識展開順序上是平行的，內容主要是研究立方根的概念和求法，知識展開順序是先從具體的計算出發類比給出立方根的概念，然后研究立方根的特征。而在本課中，平方根的概念、表示方法等都是學生原有的知識。為了建立立方根的概念，充分“借用”平方根的有關概念的產生過程進行類比，新舊知識通過類比聯系，既有利于復習鞏固平方根，又有利于立方根概念的理解和掌握。具體教學過程如下：

先列表復習平方根的有關知識，然后魔方展示：抽象出立方體。

（1）若魔方的體積是8cm3，則棱長是多少cm？為什么？

∵ 23=8，∴ 棱長是2cm。（為將要學習的立方根與立方運算是互逆運算作鋪墊）

（2）若魔方的體積是80cm3，則棱長是多少cm？為什么？a3=80

（3）這里的2和a我們能否把它取個名？ 生：立方根。

（4）你為什么取這個名呢？ 生：根據平方根的定義猜想得到的。

（5）那么什么是立方根呢？生：……

（6）一個數a的平方根你怎樣表示？生：

（7）一個數a的立方根你又想怎樣去表示呢？生1： 生2：糾錯

生3：改正

教師通過問題串，把立方根的定義、表示方法與平方根定義、表示方法聯系在一起，采用類比的數學思想，自主學習立方根的定義與表示方法，學得自然、輕松。數學概念是數學知識的基礎。學生對數學概念的形成過程、同化過程，就決定了對數學概念掌握的程度。只有理解數學概念、剖析概念，抓住概念的本質，才能舉一反三，觸類旁通。

3.6 解一元一次不等式與解一元一次方程類比

在講解“一元一次不等式”時，學生由于剛剛接觸不等式，對不等式本來就不是很熟悉，對不等式的解法也就感到陌生。如果照著書上的例題直接講解，學生可能會感到有點模糊，不那么得心應手，不知道為什么要這樣來解題，就會照著按部就班的做題，以至于沒有掌握解題的方法，思維會有點混亂。為了讓學生一開始就能從根本上弄清楚一元一次不等式的解法，能明白每一步的算理，真正地掌握一種學習的方法，在講授這節內容時，我類比了解一元一次方程的方法，這樣的講解學生接受起來就容易多了。

例4：解一元一次方程：2x+6=3-x

解：移項得：2x+x=3-6

合并同類項得：3x=-3

系數化為1得：x=-1

解一元一次不等式：2x+6<3-x

解：移項得：2x+x<3-6

合并同類項得：3x<-3

兩邊都除以3得：x<-1

學生只要注意最后一步：系數化為1時，不等式的兩邊如果都乘以或除以同一個負數時，不等號的方向改變即可。通過這種類比，學生掌握起來就容易得多了。

4 類比的效果

4.1 類比方法是培養學生創新意識的重要途徑

運用數學類比思維可以把陌生的對象和熟悉的對象進行對比，把未知的東西和已知的東西相對比，特別是在資料少，還不足以進行歸納推理和演繹思維的情況下，類比可以啟發思路，提供線索。類比法具有兩個特征。一是適用范圍廣，可以跨越各個種類進行不同類事物的類比，既可以比較本質的屬性，又可以比較非本質的特征。二是具有較強的探索性和預測性，可見，在數學教學中，根據教材的特點，運用類比方法，引導學生去探索和發現問題，是培養學生創新意識的有效途徑。

4.2 深入研究教材 挖掘類比素材

教材中的概念、公式和規律都蘊涵著豐富的數學思想和方法。作為數學教師，必須深入研究教材，挖掘它的思想性，并在教學中給予充分利用。利用類比的方法是數學教學中一種行之有效的教學方法。在數學教學中借助于類比方法，有利于啟發學生思路，使學生順利而全面地形成數學概念和掌握數學規律、方法。在教學中，用類比的方法將概念中的本質屬性用最明確的形式表達出來，使人一目了然。

5 結論

類比是一種從特殊到特殊的推理。它的前提和結論是或然的，是一種不嚴格的推理。因此推理的不嚴格性是它的特點之一。這個特點既是它的所長也是它的所短。因為在科學研究和生產實踐活動中需要嚴格的推理，沒有嚴格的推理科學的理論大廈就不可能建立正常嚴肅的生活秩序就不會建立。演繹推理的嚴格性正好與類比推理的不嚴格性相互補充共同促進科學的發展。從亞里士多德的完備的三段論到現代數理邏輯的發展和完善演繹推理成為一種嚴密的強有力的推理和證明工具成為思維活動中的一個重要的組成部分。但是科學要進一步發展要解決科學研究中出現的矛盾不斷進行理論擴充嚴格的推理只能使科學被限制在一定的框架之內循規蹈距地前進。類比推理的不嚴格性可以誘發人的創造性思考它可以觸類旁通啟發思路。正如康德所指出的那樣每當理智缺乏可靠論證思路時，類比這個方法往往能指引我們前進。

反思教學過程，進行類比教學時，不但要多找對象的相同點，而且應找本質的相同點，既要注意問題的共性，又要注意問題的個性。對學生在類比過程產生的想法，能確定正誤的要及時評價，不能確定的要給予方法的指導，要求學生重新去研究。同時也要善待錯誤、用好錯誤，要反思錯誤、變錯為寶，提高思維的深刻性。

為培養高素質的人才，除了使學生能“學會”之外，更重要的還應當使學生“會學”，掌握科學的學習方法，類比就是這樣一種學生能掌握的重要的學習與思維的方法。類比思維方法的運用能培養學生的自主學習能力，有利于創造性思維能力的培養，有利于學習效率的提高。

參考文獻

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