二元函數的最值引發的教學思考

吳雷雷

本文結合高考中經常出現的二元函數的最值問題，闡述了求解的常用方法，即基本不等式、整體換元和數形結合法.高三學生學得辛苦，但由于缺乏對數學問題本質的認識，常常事倍功半，在重復與茫然的訓練中效率不高.而我們教師可以通過自身的研究與探索，使得數學知識拎起來成一串、撒下去鋪一片，這樣就能讓學生舉一反三，讓學生在收獲的季節里，少些遺憾，多些欣慰！

下面是本人針對二元函數的最值及其相關問題，進行了適當的反思，以期拋磚引玉.

一、基本不等式法

基本不等式是求解二元函數最值的常用方法，運用其解決問題時要注意“一正二定三相等”，常常需要創設一個使用基本不等式的情景，思路有：變常數、變系數、拆項等.

例1設P（x，y）為函數y=x2-1 （x>3）圖象上一動點，記m=3x+y-5x-1+x+3y-7y-2，則當m最小值時，點P的坐標為.

分析由于點P（x，y）在函數圖象上，故可以化為一元函數，然后根據其特征，采用基本不等式求解.

略解m=3x+x2-6x-1+x+3x2-10x2-3

=6+x2-3x-1+x-1x2-3≥6+2x2-3x-1·x-1x2-3=8.

當且僅當x2-3x-1=x-1x2-3，即x=2時m取得最小，此時點P的坐標為（2，3）.

二、整體換元法

在數學問題中把某一個式子看成一個整體，用一個變量即所謂的“元”去替換它，把替換的變量重新構造成新的數學關系.在整體換元解題中，最為重要的就是構造元和設元，這是整體換元解題的關鍵，而經過換元后能夠和已知條件聯系得更加直觀，實現復雜問題簡單化、生疏問題熟悉化.

例2已知x，y為正數，則x2x+y+yx+2y的最大值為.

分析考慮到x，y為不相關的正數，

不妨令t=xy （t>0）.

略解設z=x2x+y+yx+2y=xy2（xy）+1=1xy+2，

令t=xy （t>0），則z（t）=t2t+1+1t+2，

z′（t）=（t2t+1+1t+2）′=-3t2+3（2t2+5t+2）2.

令z′（t）>0得0

三、數形結合法

若給定的目標函數是線性目標函數或者具有斜率、距離等幾何意義，則求此類二元函數的最值的基本思想是將“數”的問題，化為“形”的特征，利用幾何意義解決問題.

例3已知f（x）=2mx+m2+2，m≠0，m∈R，x∈R.若|x1|+|x2|=1，則 f（x1）f（x2）的取值范圍是.

分析從|x1|+|x2|=1看，可看成|x|+|y|=1構成的一個正方形，考慮運用數形結合，同時，不禁讓人想起求函數F（a，θ）=a2+2asinθ+2a2+2acosθ+2的最值.

略解k=m2+2+2mx1m2+2+2mx2=m2+1m-（-x1）m2+1m-（-x2）.設點P（m2+1m，m2+1m），Q（-x2，-x1），則 f（x1）f（x2）的取值范圍就是PQ的斜率范圍，點P是射線y=x（x≥2）上一點，點Q是|x|+|y|=1構成的正方形上一點.如圖1，直線P0Q1的斜率為1-22，直線P0Q2的斜率為2+2，則f（x1）f（x2）的取值范圍是[1-22，2+2].

二元函數是高等數學的基礎知識，高中階段，通常以較簡單的形式出現，重在培養學生的思維能力和探究意識，其求解過程是一種創造性的勞動，而方法又是多種多樣的，比如還有消元法，三角換元法等等，我們要有所側重地選擇常見的幾種方法與學生探究，使數學思想方法的滲透更為自然，這樣對激發學生的學習熱情和學習質量具有獨特的意義，能取得良好的效果，從而讓學生真正感受到美的數伴隨在他們左右，最終充分地發展學生的想象力.y=x的交點，則點B的橫坐標為x=1m-1，因為m>k>1，所以m-1>k-1>0，所以1m-1<1k-1，由圖象可知：在x∈（1m-1，+∞）時，函數y=f（x）的圖象恒在直線y=x的上方，所以f（1k-1）>1k-1恒成立.

師評：通過函數圖象分析，讓我們更加清晰地看出試題是如何命制，也讓我們將相對抽象的、復雜的數學關系直觀、清晰地展現出來，達到一幅圖勝過一千個文字說明.

【本文是福建省教育科學“十二五”規劃2015年度立項課題《高中數學試卷講評課教學策略實證研究》（課題立項批準號：FJJK15-464）】