函數單調性的應用

蔡平

函數的單調性是函數的一條重要性質，反映了函數值的變化規律. 在高考中歷考彌新，考查的深度遠遠高于課本.

在討論函數單調性時必須在其定義域內進行，因此要研究函數的單調性就必須先求函數的定義域，函數的單調區間是定義域的子集. 接下來就來談談函數單調性的應用.

例1試討論函數f（x）=xx2+1的單調性.

分析可采用定義法或導數法判斷.

解法一f（x）的定義域為R，在定義域內任取x1

都有f（x1）-f（x2）=x1x21+1-x2x22+1=（x1-x2）（1-x1x2）（x21+1）（x22+1），

其中x1-x2<0，x21+1>0，x22+1>0.

①當x1，x2∈（-1，1）時，即|x1|<1，|x2|<1，

所以|x1x2|<1，

則x1x2<1，1-x1x2>0，f（x1）-f（x2）<0，f（x1）

②當x1，x2∈（-∞，-1]或[1，+∞）時，

1-x1x2<0，f（x1）>f（x2），所以f（x）為減函數.

綜上所述，f（x）在[-1，1]上是增函數，在（-∞，-1]和[1，+∞）上是減函數.

解法二因為f ′（x）=（xx2+1）′=x2+1-x（x2+1）′（x2+1）2

=x2+1-2x2（x2+1）2=1-x2（x2+1）2，

所以由f ′（x）>0解得-1

由f ′（x）<0解得x<-1或x>1，

所以f（x）在[-1，1]上是增函數，在（-∞，-1]和[1，+∞）上是減函數.

方法總結判斷（或證明）函數單調性的主要方法有：（1）函數單調性的定義；（2）觀察函數的圖象；（3）利用函數和、差、積、商和復合函數單調性的判斷法則；（4）利用函數的導數等.

例2討論函數f（x）=axx-1（a≠0）在（-1，1）上的單調性.

解設-1

f（x）=a（x-1+1x-1）=a（1+1x-1），

f（x1）-f（x2）=a（1+1x1-1）-a（1+1x2-1）

=a（x2-x1）（x1-1）（x2-1）.

當a>0時，f（x1）-f（x2）>0，

即f（x1）>f（x2），函數f（x）在（-1，1）上遞減；

當a<0時，f（x1）-f（x2）<0，

即f（x1）

例3已知函數f（x）=x2+ax （a>0）在（2，+∞）上遞增，求實數a的取值范圍.

分析 求參數的范圍轉化為不等式恒成立時要注意轉化的等價性.

解法一設2

f（x1）-f（x2）=x21+ax1-x22+ax2=（x1-x2）+a（x2-x1）x1x2

=（x1-x2）x1x2-ax1x2<0

恒成立.即當2a恒成立.

又x1x2>4，則0

解法二f（x）=x+ax，f ′（x）=1-ax2>0，

得f（x）的遞增區間是（-∞，-a），（a，+∞），根據已知條件a≤2，解得0

方法總結已知函數的解析式，能夠判斷函數的單調性，確定函數的單調區間，反之已知函數的單調區間可確定函數解析式中參數的值或范圍，可通過列不等式或解決不等式恒成立問題進行求解.

例4函數y=x-5x-a-2在（-1，+∞）上單調遞增，則a的取值范圍是

A.a=-3B.a<3C.a≤-3D.a≥-3

解析y=x-5x-a-2=1+a-3x-a+2，

需a-3<0，

a+2≤-1，即a<3，

a≤-3，

所以a≤-3.故選C.

例5已知函數f（x）對于任意x，y∈R，總有f（x）+f（y）=f（x+y），且當x>0時，f（x）<0，f（1）=-23.

（1）求證：f（x）在R上是減函數；

（2）求f（x）在[-3，3]上的最大值和最小值.

審題視點抽象函數單調性的判斷，仍須緊扣定義，結合題目作適當變形.

解（1）證法一：因為函數f（x）對于任意x，y∈R總有f（x）+f（y）=f（x+y），

所以令x=y=0，得f（0）=0.

再令y=-x，得f（-x）=-f（x）.

在R上任取x1>x2，則x1-x2>0，

f（x1）-f（x2）=f（x1）+f（-x2）=f（x1-x2）.

又因為x>0時，f（x）<0，

而x1-x2>0，所以f（x1-x2）<0，即f（x1）

因此f（x）在R上是減函數.

證法二：設x1>x2，則

f（x1）-f（x2）=f（x1-x2+x2）-f（x2）

=f（x1-x2）+f（x2）-f（x2）=f（x1-x2）.

又因為x>0時，f（x）<0，而x1-x2>0，

所以f（x1-x2）<0，即f（x1）

所以f（x）在R上為減函數.

（2）因為f（x）在R上是減函數，所以f（x）在[-3，3]上