輔助線在解高中立體幾何問題中的作用

周賢才

立體幾何是高中數學的重點和難點，其解題思路多變，解法靈活，且很多時候需要學生繪制對應的輔助線才能順利求解.從長期的實踐教學來看，學生在輔助線的繪制上往往不得要領，多數憑借感覺，盲目繪制，致使解題效率低下.本文將從實際問題出發，對立體幾何求解中輔助線的作用進行討論.

一、空間問題平面化

例1在三棱錐O-ABC中，三條棱OA、OB、OC兩兩互相垂直，且OA=OB=OC，M是AB邊的中點，則OM與平面ABC所成角的大小是多少？

解析欲求直線與平面的夾角，學生們常會聯想到向量的解法.但從本題的題型來看，在三棱錐圖形中不宜繪制坐標系求解.若是能夠將線面夾角轉換成線線夾角，必然更容易求解.聯系三棱錐的性質，添加平面ABC的垂線OD，促使空間角轉換成了平面角.由垂線OD可得Rt△ODM、Rt△ODC，同時，也構造出了直線OM與平面ABC的夾角.此時，只需對Rt△ODM進行分析計算即可.

若設OA=OB=OC=a，則AB=AC=BC=2a.

利用三棱錐的體積計算公式，可以得到VO-ABC=16a3，

則OD=VO-ABC13S△ABC=33a.

在直角三角形OMD中，DM=13MC=36a.

由正切定義可知，直線OM與平面ABC所成角θ的大小滿足tanθ=ODDM=2，故二面角的大小是arctan2.

點評在立體幾何的求解中，切勿濫用空間向量解題.如在線面角、二面角、線面垂直、面面垂直時，不妨繪制垂線進行輔助，實現解題的簡化作用.

二、等效原則，化繁為簡

例2已知四邊形ABCD為平行四邊形，BC⊥平面ABE，F為CE的中點.求證：AE∥平面BDF.

解析欲證線面平行，可以由線線平行、面面平行證得.在本題中，學生需要將已知條件向線線與線面關系靠攏，尋求證明途徑.如圖2所示，過點E作直線BF的平行線.且在平面BCE內，延長CB到G，使BG=BC，最后連接GE、GA.因為B、F分別是CG、CE的中點，由中位線定理可知BF∥EB.且BF平面BDF，GE平面BDF，所以GE∥平面BDF.又因為平行四邊形ABCD，得到AD∥BC，所以有AD∥CG.又因為B為CG中點，可知BG=AD，所以四邊形AGBD為平行四邊形，得到GA∥BD.又因為BD平面BDF，GA平面BDF，所以GA∥平面BDF.又因為GA平面AEG，GE∩GA=G，所以有平面AEG∥平面BDF.最后，因為AE平面AEG，所以AE∥平面BDF，即得證.當然，輔助線的作法五花八門，只要能夠順利、簡捷的得到欲證結論即可.對于本題，過E點作直線DF的平行線，繼續利用面面平行的關系，依然可以得證.

點評立體幾何線面關系類型的證明題，往往不會直接給出證明條件，需要學生利用等價代換原則，對線線關系、線面關系及面面關系進行轉換.有時，利用常規方法或許也能實現證明求解，但可能會帶來較為復雜的解題步驟.對此，利用輔助線進行轉換證明，會給解題帶來簡化.

三、關聯因果，補充題設

例3在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G分別是AB、AD、C1D1的中點，求證：平面D1EF∥平面BDG.

解析欲證面面平行，首先必須繪制出對應的結論平面，即連接EF、BD、D1F、BG、DG.通常證明面面平行往往采用線面平行的方法，由E、F分別是AB、AD的中點，得到EF∥BD，進一步可得EF∥平面BDG.上述的線和面均在欲證結論之中，此時，需要繼續在平面D1EF上尋找另一條直線，并證明其與平面BDG平行.在四邊形D1GBE中，有D1G平行且等于BE，故可知四邊形D1GBE是平行四邊形.因此，便可以順利得到結論BG∥D1E.同時，EF、D1E為同一平面內的兩條相交直線，且都平行于平面BDG.故由該線面平行，可以證得平面D1EF平行于平面BDG.在本問題的求解中，首先連接對應點，聯系因果關系，利用輔助線來補充題設.從圖3中不難看出，在輔助線繪制后，相關圖形之間的關系變得清晰明了，對學生求解作用顯著.

點評在求解或證明空間幾何問題時，輔助線最主要的作用就是聯系因果，補充題設.在輔助線繪制上，必須聯系題設，從已知與問題入手，辨析查找突破口.見到中點，往往會聯想到中位線定理；見到三棱錐，往往會聯想到垂線定理.在輔助線的實際繪制過程中，還需要結合問題實際，進行靈活使用.

在實際解題過程中，這些方法往往不是單獨出現的，需要學生進行綜合性的分析使用.立體幾何問題的輔助線繪制是千變萬化的，不存在什么模板，不會一蹴而就，必須要進行足量練習，在長期的訓練過程中進行積累和升華.