應用導數求函數參數范圍

王學成

作為高中數學函數模塊補充和延伸的導數，不僅豐富了很多初等函數的解題方法與途徑，而且從更高力度上加深了學生對函數知識的認知.利用導數去處理的函數類問題是高考題中的熱點問題，能夠全面地考查學生對函數的認知程度與應用知識的能力，應用導數討論一些函數中參數的取值范圍是這類問題中的一種典型問題.本文結合一些例題來討論這類問題的求解方法與一般規律.

一、導數與函數單調性結合確定參數范圍

例1設函數f（x）=lnx-ax，g（x）=ex-ax，其中a為實數.（1）若f（x）在（1，+∞）上是單調減函數，且g（x）在（1，+∞）上有最小值，求a的取值范圍；（2）若g（x）在（1，+∞）上是單調增函數，試求f（x）的零點個數，并證明你的結論.

解析（1）由f ′（x）=1x-a≤0，即1x≤a對x∈（1，+∞）恒成立，所以a≥|1x|max.

而由x∈（1，+∞）知1x<1，所以a≥1.

由g′（x）=ex-a，令g′（g）=0，則x=lna.

當xlna時，g′（x）>0.

因為g（x）在（1，+∞）上有最小值，

所以lna>1，所以a>e.

綜上所述：a的取值范圍為（e，+∞）.

（2）當a≤0時，g（x）必為單調增函數；

當a>0時，令g′（x）=ex-a>0，解得alna.

因為g（x）在（-1，+∞）上是單調增函數，類似（1）有lna≤-1，即0

結合上述兩種情況，有a≤e-1.

點評先對f（x）=lnx-ax求導，利用條件f（x）在（1，+∞）上是單調減函數求出a的范圍，再利用g（x）在（1，+∞）上有最小值求出a的范圍，兩者取交集.函數單調性與導數法則的掌握是解題的關鍵，利用導數對函數單調性討論是解題的關鍵，函數方程與不等式間的相互轉化是解題的技巧.

例2已知函數f（x）=ex-2x+a有零點，則a的取值范圍是.

解析f ′（x）=ex-2.令f ′（x）=0，解得x=ln2.

當x∈（-∞，ln2）時，f ′（x）<0，

當x∈（ln2，+∞）時f ′（x）>0.

所以函數f（x）在x=ln2處取得極小值，

所以f（x）min=f（ln2）=2-2ln2+a，

因為函數f（x）=3x-2x+a有零點，

所以2-2ln2+a≤0，即a≤2ln2-2.

所以a的取值范圍是（-∞，2ln2-2].

點評先求出f（x）的導函數，令導函數等于0可解除其極值，經過分析發現其有最小值，而函數又有零點，零點時令f（x）=0的方程的解，亦可看做函數圖象x軸交點的橫坐標，此時不難發現其函數圖象與x軸有交點，只需令最小值位于x軸上或其下方即可.此題同例1一樣，要把握住關鍵點，掌握相應解題技巧.也可用下述方法解決此類問題.

二、導數與圖象結合求解參數范圍

例2已知函數f（x）=-x2+2x，x≤0，

ln（x+1），x>0，若|f（x）|≥ax，則a的取值范圍是

A.（-∞，0]B.（-∞，1]C.[-2，1]D.[-2，0]

解析選D.畫出函數y=|f（x）|的圖象如圖1所示.

當x≤0時，g（x）=|f（x）|=x2-2x，

g′（x）=2x-2，g′（0）=-2，故a≥-2.

當x>0時，

g（x）=|f（x）|=ln（x+1），

g′（x）=1x+1.

由于g（x）上任意點的切線斜率都要大于a，所以a≤0.

綜上-2≤a≤0.

點評先結合函數畫出函數y=|f（x）|的圖象，利用y=|f（x）|在（0，0）處的切線為制定參數的標準.根據函數畫出函數圖象是解題的基礎，利用導數確定函數圖象上各點切線的斜率是解題的關鍵，通過對圖象特征分析找到解題的突破口.

三、構造函數借助導數求解參數范圍

例3設函數f（x）=exx2-k（2x+lnx） （其中k為常數，e=2.71828…是自然對數的底數）.（1）當k≤0時，求函數f（x）的單調區間；（2）若函數f（x）在（0，2）內存在兩個極值點，求k的取值范圍.

解析（1）f ′（x）=ex·x2-2xexx4-k（-2x2+1x）

=（x-2）（ex-kx）x3 （x>0）.

當k≤0時，kx≤0，所以ex-kx>0.

令f ′（0）=0，得x=2.函數在（0，2）上單調遞減，在（2，+∞）上單調遞增.

（2）令g（x）=ex-kx，則g′（x）=ex-k.

令ex-k=0，得x=lnk.

由于g′（0）=1-k<0，g（0）=1>0，g′（2）=e2-k>0，g（2）=e2-2k>0，所以k1，所以k>e.綜上知k的取值范圍是（e，e22）.

點評先求函數的導函數，極值點的定義及題意得出函數的單調性.觀察導函數式子的特點，構造函數，利用導數研究極值，從而確定函數參數范圍.由熟練的應用導數確定函數的單調性是解題的基礎，構造出函數找到討論的途徑是解題的關鍵，應用零點定理就能找到解題的突破口.

四、參變分離求解參數范圍

例4已知函數f（x）=x-ax-lnx，a>0.若f（x）>x-x2在[1，+∞）恒成立，求實數a的取值范圍.

解析f（x）>x-x2，即x2-ax-lnx>0.

因為x∈（1，+∞），所以a

令g（x）=x3-xlnx，

則h（x）=g′（x）=3x2-lnx-1.

h′（x）=6x-1x=6x2-1x.

在[1，+∞）上，h′（x）>0，得h（x）>h（1）=2，

即g′（x）>0.

故g（x）=x3-xlnx在[1，+∞）為增函數，

g（x）≥g（1）=1，所以a的取值范圍是（0，1].

點評該題考查導數的應用、性質等基礎知識，但是參變分離后對右式要進行二次求導，又考查了學生的邏輯思維能力，綜合性較高，要具備良好的數學素質.但是把握住參變分離這個大框架，就確定了問題的解題方向，借助導數基礎知識逐步解決問題.