整體思想方法在三角問題中的獨特妙用

劉利紅

新課程標準要求注重學習方法的培養，“授人以魚，不如授人以漁”.解答某些三角題采用整體的思想方法求解，往往能起到出奇制勝的效果.本文通過實例，介紹幾種整體思想在解三角題中的應用，供大家參考.

一、高瞻遠矚，把握公式

例1已知cos（α+β）=12，cos（α-β）=13，求tanα tanβ的值.

解由cos（α+β）=12，

cos（α-β）=13，

即cosαcosβ-sinαsinβ=12，

cosαcosβ+sinαsinβ=13.

解得cosαcosβ=512，sinαsinβ=-112.

所以tanα tanβ=sinαsinβcosαcosβ=-112×125=-15.

小結把兩角和與差的正弦、余弦公式中的sinαcosβ，cosαsinβ，cosαcosβ，sinαsinβ，sinαcosβ+cosαsinβ，sinαcosβ-cosαsinβ，cosαcosβ+sinαsinβ，cosαcosβ-sinαsinβ看成整體求解.

例2已知方程mx2+（2m-3）x+（m-2）=0有兩根tanα，tanβ，求tan（α+β）的最小值.

解因為mx2+（2m-3）x+（m-2）=0有兩根tanα，tanβ，

所以Δ=（2m-3）2-4m（m-2）≥0，

m≠0.

解得m≤94且m≠0.

由一元二次方程的根與系數關系得

tanα+tanβ=3-2mm，tanαtanβ=m-2m.

所以tan（α+β）=tanα+tanβ1-tanαtanβ=3-2m2=32-m

≥32-94=-34.

故tan（α+β）的最小值為-34.

小結在三角函數的求值和化簡過程中，靈活使用兩角和與差的正弦、余弦、正切公式中的整體思想，對解題思路展開大有益處.

二、整體代入，直奔終點

例3化簡：sin（x+π3）+2sin（x-π3）-3cos（2π3-x）.

解原式=sin（x+π3）+3cos（x+π3）+2sin（x-π3）

=2[sin（x+π3）×12+cos（x+π3）×32]+2sin（x-π3）

=2sin（x+2π3）+2sin（x-π3）

=2sin[π+（x-π3）]+2sin（x-π3）

=-2sin（x-π3）+2sin（x-π3）=0.

小結逆用和角或差角公式將其合并成一個三角函數來處理可以簡化運算.

例4 已知cos（ + ）= ，cos（ - ）=- ， < + < ， < - < ，求cos 與cos 的值.解：因為 < + < ，cos（ + ）= ，所以sin（ + ）=- .又 < - < ，cos（ - ）=- ，所以sin（ - ）= .所以cos2 =cos[（ + ）+（ - ）]= cos（ + ）cos（ - ）-sin（ + ）sin（ - ）=- .同理cos2 =cos[（ + ）-（ - ）]=-1.小結：研究題中角與角之間的關系發現2 =（ + ）+（ - ），2 =（ + ）-（ - ），實施角變換.例5 的值等于（ ）.（A）2+ （B） （C）2- （D） 解： = = =tan15°=tan（45°-30°）= =2- .小結：觀察被求式子中角的特點，實施角變換.三、整體聯想，建對偶式

例4求sin220°+cos280°+3sin20°cos80°的值.

解令M=sin220°+cos280°+3sin20°cos80°，

則其對偶式為

N=cos220°+sin280°+3cos20°·sin80°.

因為M+N =（sin220°+cos220°）+（cos280°+sin280°）+3（sin20°cos80°+cos20°sin80°）=2+3sin100°，（1）

M-N=（sin220°-cos220°）+（cos280°-sin280°）+3（sin20°cos80°-cos20°sin80°）=-cos40°+cos160°-3sin60°=-2sin100°sin60°-32=-3sin100°-32，（2）

所以（1）+（2）得2M=12，M=14，

即sin220°+cos220°+3sin20°·cos80°=14.

小結在上式中，把各角的弦值轉化為同角互余的弦值，從而構造出一個對偶式，并通過對原式和對偶式進行和差或積的運算，可使問題得到巧妙的解決.

四、內在聯系，整體代換

例5求函數γ=（sinx+a）（cosx+a）的最值（0

解γ=sinxcosx+a（sinx+cosx）+a2.

令sinx+cosx=t∈[-2，2]，

且有sinx·cosx=t2-12，故γ=12（t+a）2+a2-12.

當t=2時，γmax=a2+2a+12.

小結遇到sinx+cosx，sinx-cosx，sinx·cosx相關的問題，常采用換元法.但要注意范圍的確定.

例6已知函數f（x）=asin（πx+α）+bcos（πx+β），其中a、b、α、β都是非零實數，又知f（2003）=-1，求f（2004）的值.

解f（2003）=asin（2003π+α）+bcos（2003π+β）

=asin（2002π+π+α）+bcos（2002π+π+β）

=asin（π+α）+bcos（π+β）=-asinα-bcosβ

=-（asinα+bcosβ）.

因為f（2003）=-1，所以asinα+bcosβ=1.

所以f（2004）=asin（2004π+α）+bcos（2004π+β）

=asinα+bcosβ=1.

小結尋找聯系是解決問題的關鍵.

從以上例題可以發現，在進行三角函數的化簡，求職變換中，一定要本著先整體再局部的基本原則，先整體分析三角函數的特點，如果符合上述某些關系，則整體變形，否則進行局部變換.