連續梁振動調整的快速解析

李 彤， 李銀山， 霍樹浩， 韋炳威

(1. 華東理工大學 承壓系統與安全教育部重點實驗室，上海 200237；2. 河北工業大學 機械工程學院，天津 300130；3. 太原科技大學 機械工程學院，山西 太原 030024)

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·實驗技術·

連續梁振動調整的快速解析

李 彤1， 李銀山2， 霍樹浩3， 韋炳威2

(1. 華東理工大學 承壓系統與安全教育部重點實驗室，上海 200237；2. 河北工業大學 機械工程學院，天津 300130；3. 太原科技大學 機械工程學院，山西 太原 030024)

采用連續分段獨立一體化積分法求解了連續梁自振角頻率的解析表達式。首先采用彎曲-振動比擬法建立具有四階導數的撓度微分方程，獨立積分4次，得到撓度的通解。利用邊界條件和連續性條件確定積分常數，得到撓度的解析表達式；然后根據最小能量原理得到了自振角頻率的一次近似解析解；根據漸近法求解精確的振動微分方程得到更精確的撓度解析函數表達式，利用最小能量原理求得自振角頻率的精確表達式。按照振動結構的同步失效準則和最優化準則對連續梁支座位置進行調整，得到了結構的固有角頻率最優解的解析表達式。繪制了固有角頻率隨位置的變化曲線。工程實例表明，連續分段獨立一體化積分法編程程式化，可以得到自振角頻率最優的解析解。

振動調整； 自振角頻率； 快速解析法； 最小能量原理； 漸近法

0 引 言

隨著科學技術的發展，結構振動的快速解析計算與計算機仿真研究越來越重要[1-9]。自振角頻率的調整是一個彈性桿件體系動力學的基本問題，它歸結為用各種方法調整彈性體系的剛度或改變對應的位移。在強迫振動時是調整動力和位移的問題，它的計算常與隔振器和減震器的設置，改變作用在結構上的動力傳播簡圖，選擇動力作用激振器的工作等有關。振動調整的目的是從調平的條件用方程式的形式表達。通常，總的未知數等于反映與限制目的所要聯合求解的方程式數目。但是，由于這些方程的系數部分是位移，所以在一般情況下，這些方程組是非線性的，常用的方法無法求得解析解。

李銀山[10]提出的連續分段獨立一體化積分法是一種快速求解梁彎曲變形問題的解析方法，文獻[11]中利用該方法求解了復雜載荷作用下等截面靜定梁的解析解；文獻[12-13]中求解了復雜載荷作用下等截面超靜定梁的解析解；文獻[14]中求解了復雜載荷作用下變截面梁的解析解；文獻[15]中求解了桿件體系穩定性問題的解析解。本文利用連續分段獨立一體化積分法求解了連續梁振動固有角頻率的解析解。

1 支座位置調整連續梁振動固有角頻率設計

1.1 問題描述

質量m均勻分布的連續梁(見圖1)在怎樣的比值l1/L時，它的最低自振角頻率最大？已知E，I，L，ρ，A。求ωn，l1。

(a) 中間有1個可調支座

(b) 中間有2個可調支座

圖1 可調整中間支座的連續梁

1.2 優化準則

1.2.1 振動設計準則

在電子計算機出現之前，結構優化設計的研究受到計算手段的限制，不能設想全面展開，但是人們還是在構件的優化設計方面做了許多工作，它們大都出自于“同步失效”的概念，也就是構件的各個組成部分同時抵達容許強度或失穩安全限度，由此得出一組聯立方程，它們的解析解就提供了構件截面的優化尺寸。用“同步失效”作為優化準則，通?？梢缘玫綐嫾淖钶p設計，所以在飛機設計多被采用。對于一根薄壁組合構件來說，它同時有強度、局部穩定和整體穩定問題，采用這種同步失效準則提供的設計公式既方便又有效。對于桁架結構的拉桿或壓桿來說，則更為簡單，構件優化就是滿應力狀態，當然要注意壓桿的容許應力并不像拉桿的那樣是個常數，而是隨桿件的細長比而變化的。推而廣之，讓桁架的每根桿件都成為滿應力，這就成為“滿應力”準則設計了。對于靜定結構來說，由于內力分布不受桿件截面變化的影響，滿應力設計就是最輕設計。從直覺出發，人們很自然地把這道理同樣也應用于超靜定結構。但是在沒有電子計算機的時代，要對一個比較復雜的超靜定結構在多種工況下完成一個滿應力設計也是不容易的。因為要通過多次的迭代才行，而每一次迭代就要進行一次重新分析，計算工作量是非常繁重的，所以過去只得進行一二次迭代得到一個比較輕的設計就滿足了。20世紀60年代初，引用數學規劃嚴格地證明了滿應力設計和最輕設計并不總是等價的，而且滿應力解的存在與收斂也是有條件的。這些條件跟結構本身的構造和荷載情況(工況數目)都有關系。為此，人們做過很多研究，直到現在還沒有既十分確切又易于實用的判別方法。但是滿應力設計在實際應用中還是很有價值而受到歡迎的。它有下列幾個優點：

(1) 有了電子計算機之后，在只有應力約束的問題中這是最簡單易行而且通常收斂很快的方法；在兼有變位、頻率等其他約束時，也可以作為近似手段配合其它約束組成優化方法。

(2) 滿足應力設計雖然在理論上并不一定是最輕設計，但是實踐表明兩者在很多場合常常是相等或者很接近的。

(3) 在優化過程中，每走一滿應力步后，緊接著走一射線步(或稱比例步)把設計點引到可行域邊界上，如此交替進行，就可以把滿應力準則跟目標函數聯系起來得到最輕解；這就是所謂改進滿應力法，或稱滿應力齒行法。它給出的結果已不是滿應力解，實際上它是一種數學規劃結合力學特點的搜索法。因為它一是利用滿應力條件來決定搜索方向和步長，二是利用射線步把設計點拉回可行區的邊界；這兩者都是利用了結構力學方面的特點。這種搜索法比之經典的梯度投影法等似乎來得更有效。這方法效果好，概念也易于為工程人員所接受。

振動設計準則一(同步失效準則):整體結構的最低自振角頻率最大值等于各部分結構的最低自振角頻率最大值。

振動設計準則二(最優準則): 整體結構的最低自振角頻率最大值等于整體結構最低自振角頻率對各設計參數函數取最大值。

1.2.2 振動設計的定性判斷法

與精確求解的力法和位移法不同，定性判斷是未知內力的預測值，要求預測精度越高越好。為了能夠定性判斷，必須把復雜結構簡化成“靜定結構”。

確定對應于最低自振角頻率的每一單跨梁的振動形式，求出中間零點的位置。就是所求的中間支座放置的位置。

確定附加支座位置，使每跨最低自振角頻率數值相等。連續梁的最低自振角頻率ωn的數值經常是在每一跨最低自振角頻率數值之間，令ωn,1=ωn,2=…。

情況一:兩端簡支，中間有1個可調整支座連續梁，假定反向振動模態，把原來結構分解成兩根簡支單跨梁(見圖2)。

(1)

解得

(a)

(b)

(c)

圖2 兩端簡支中間有1個可調整支座連續梁

情況二: 兩端簡支，中間有2個可調整支座連續梁，假定反向振動模態， 把原來結構分解成3根簡支單跨梁(見圖3)。

(2)解得:

(a)

(b)

(c)

(d)

圖3 兩端簡支中間有2個可調整支座連續梁

推論：兩端簡支，中間有m個可調整支座連續梁，當各段長度相等時，連續梁具有最低模態固有角頻率:

情況三: 兩端簡支，中間有1個可調整支座連續梁，假定同向振動模態，把原來結構分解成兩根一端簡支另一端固定單跨梁(見圖4)。

(3)

解得:

(a)

(b)

(c)

圖4 中間有1個可調整支座

與情況一比較，顯然，同向振動模態的固有角頻率大于反向振動模態的固有角頻率。以下求最低固有角頻率采用反向振動模態。

2 有可調支座簡支梁固有角頻率的快速解析計算

2.1 有1個可調支座時固有角頻率的快速解析計算

2.1.1 采用連續分段獨立一體化積分法確定最低模態初函數

利用連續分段獨立積分法求解步驟(見圖5)：

(1) 本題分為兩段(n=2)，各段的撓曲線近似微分方程如下:

(4)

(2) 對式(4)各段的撓曲線近似微分方程分別積分4次，得到撓度的通解。在通解中，包含有8個積分常數Ci(i=1,2,…,8)。

圖5 兩端簡支有1個可調支座連續梁

(振動最低模態初撓度函數采用彎曲-振動比擬)

(3) 利用如下的位移邊界條件、力邊界條件和連續性條件:

(5)

聯立解方程組(5)，得出8個積分常數Ci。

(4) 將Ci代入撓度的通解，得到撓度的解析表達式

(6)

2.1.2 采用最小能量原理確定最低自振角頻率一階近似值

將式(6)確定的初撓度函數代入下式:

(7)得到最小自振角頻率關于l1的函數表達式:

連續梁最小自振角頻率函數：

梁跨一、跨二最小自振角頻率函數分別為：

按振動設計準則一，列方程：

(8)

解得一階近似同步失效解：

按振動設計準則二，取駐點：

(9)

解得一階近似最優解：

由圖6可見，當l1=l2時，橫向自振角頻率是最大的；按定性判斷法、最小能量法準則一和最小能量法準則二3種解法結果非常接近。

圖6 有1個可調支座簡支梁固有角頻率

…定性判斷法，—能量法

2.2 有2個可調支座時固有角頻率的快速解析計算

2.2.1 采用連續分段獨立一體化積分法確定最低模態初函數

利用連續分段獨立積分法求解步驟為(見圖7)：

圖7 兩端簡支有2個可調支座連續梁

(振動最低模態初撓度函數采用彎曲-振動比擬)

(1) 本題分為3段(n=3)，各段的撓曲線近似微分方程如下：

(10)

(2) 對式(10)各段的撓曲線近似微分方程分別積分4次，得到撓度的通解。在通解中，包含有12個積分常數Ci(i=1,2,…,12)。

(3) 利用如下的位移邊界條件、力邊界條件和連續性條件：

(11)

聯立解方程組式(11)，得出12個積分常數Ci。

(4) 將Ci代入撓度的通解，得到撓度的解析表達式：

(12)

2.2.2 采用最小能量原理確定最低固有角頻率一階近似值

將式(12)確定的初撓度函數代入下式：

(13)

按穩定性設計準則一，列方程：

(14)

解得一階近似同步失效解：

按振動設計準則二，取駐點：

(15)

解得一階近似最優解：

由圖8可見，當l1=l2時，橫向自振角頻率是最大的；按定性判斷法、最小能量法準則一和最小能量法準則二3種解法結果非常接近。

圖8 2個可調支座簡支梁固有角頻率

3 一端簡支一端固定可調中間支座連續梁的最低固有角頻率

3.1 最低固有角頻率的一階近似解析解

3.1.1 連續分段獨立一體化積分法確定最低振動模態函數

利用連續分段獨立積分法求解步驟為(見圖9)：

(1) 本題分為兩段(n=2)，各段的撓曲線近似微分方程如下：

圖9 一端簡支另一端固定有1個可調支座連續梁

(振動最低模態初撓度函數采用彎曲-振動比擬)

(16)

(2) 對式(16)各段的撓曲線近似微分方程分別積分4次，得到撓度的通解。通解中，包含有8個積分常數Ci(i=1,2,…,8)。

(3) 利用如下的位移邊界條件、力邊界條件和連續性條件：

(17)

聯立解方程組(17)，得出8個積分常數Ci。

(4) 將Ci代入撓度的通解得到撓度的解析表達式：

(18)

3.1.2 采用最小能量原理確定最低固有角頻率一階近似解析解

將式(18)確定的初撓度函數代入式(7)，得到最低固有角頻率關于l1的函數表達式：

按振動設計準則一，列方程：

(19)

解得一階近似同步失效解：

按振動設計準則二，取駐點：

(20)

解得一階近似最優解：

結果表明：采用最小能量法計算按同步失效準則和最優化準則得到的最低固有角頻率結果不一致，但比較接近。

3.2 最低自振角頻率的精確解析解

3.2.1 漸近法確定最低振動模態函數

將振動中性平衡的微分方程式：

(21)

取式(18)的撓度作為初函數v1,[0]，v2,[0]則：

(22)

將式(22)積分4次得到v1,[1]，v2,[1]的通解，此時之邊界條件仍為式(17),利用式(17)確定積分常數，就得到v1,[1]，v2,[1]的解析表達式，依次逐步迭代就可得到v1,[n]，v2,[n](n=1,2,…)的解析表達式。

3.2.2 采用最小能量原理確定最低固有角頻率精確解析解

將撓度函數v1,[n]，v2,[n](n=1,2,…)的解析表達式代入式(7)，得到最低固有角頻率關于l1的函數表達式ωn=ωn(l1)，其中z=l1/L。

按振動設計準則一，列方程：

(23)

解得精確同步失效解：

按振動設計準則二，取駐點：

(24)

解得精確的最優解：

圖10給出了一端簡支一端固定可調中間支座連續梁的最低固有角頻率按最優化準則漸近法迭代次數的比較，計算結果非常接近。

圖10 一端簡支一端固定可調中間支座連續梁的最低固有

角頻率按最優化準則(漸近法迭代次數比較)

4 結果分析

表1給出了4種方法的連續梁調整最低固有角頻率計算結果，表中：

表1 連續梁振動調整各種計算方法最低自振角頻率對比表

由表1可以看出：①定性判斷法雖然不能得到最優解，但可以得到接近最優解的同步失效解；②最小能量法一階近似解雖然有一定誤差但可以得到簡單的解析表達式供工程設計參考；③漸近法可以得到最優解，一般迭代2,3次就可以得到精確解(見圖10)；④有限單元法可以得到精確的數值解，但不能得到解析表達式；⑤同步失效準則與最優準則計算結果接近。

5 結 語

本文從力學模型研究入手，建立了一種連續梁振動求解的通用模型，推導出連續梁振動模態計算的一般方程和程序化求解的通用程序。利用連續分段獨立一體化積分法求解可以得到最低固有角頻率的解析解，求解過程簡潔方便、快速準確，適用于各種邊界條件的連續梁最低固有角頻率計算。

基于彎曲-振動比擬法采用連續分段獨立一體化積分法求得振動初模態解析撓度函數，與最小能量法相結合求解了結構振動調整的一階近似最低固有角頻率解析表達式；進而基于精確的梁振動微分方程采用漸近法積分得到梁振動模態解析撓度函數，與最小能量法相結合求解了結構振動調整的最優固有角頻率解析表達式。

推廣“連續分段獨立一體化積分法”在振動工程中的應用，具有重要的理論意義和工程實用價值。

[1] 李銀山，陳予恕，吳志強．正交各向異性圓板非線性振動的亞諧分岔[J].機械強度，2001, 23(2): 148-151.

[2] 李銀山，楊桂通, 張善元，等.圓板受迫振動超諧分岔和混沌運動的實驗研究[J].實驗力學，2001，16(4)：347-358.

[3] 李銀山，陳予恕，李偉鋒．各種板邊條件下大撓度圓板的全局分岔和混沌[J].天津大學學報，2001，34(6)：718-722.

[4] 李銀山，劉 波，龍運佳，等．二次非線性粘彈性圓板的2/1+3/1超諧解[J].應用力學學報，2002，19(3)：20-24.

[5] 李銀山，高 峰，張善元，等．二次非線性圓板的1/2亞諧解[J].機械強度，2002，24(4)：505-509.

[6] LI Yin-shan，Zhang Nian-mei，YANG Gui-tong．1/3 Subharmonic solution of elliptical sandwich plates[J].Applied Mathematics and Mechanics，2003，24(10)：1147-1157.

[7] 李銀山，李欣業，劉 波，等．二次非線性粘彈性圓板的2/1超諧解[J].工程力學，2003，20(4)：74-77.

[8] 李銀山，劉世平，蔡中民，等．框架剪力墻高層建筑結構抗震優化設計[C]//力學與工程應用. 北京：中國林業出版社，1996：380-383.

[9] 劉世平，李銀山，解可新，等．剪切型多層鋼框架抗震優化設計[J].天津大學學報， 1997，30(4)：517- 522.

[10] 李銀山．材料力學(下冊)[M]，北京：人民交通出版社， 2014.

[11] 李銀山，徐秉業, 李樹杰．基于計算機求解彎曲變形問題的一種解析法(一)——復雜載荷作用下的靜定梁問題 [J] ．力學與實踐，2013：35(2)：83-85.

[12] 吳艷艷，李銀山，魏劍偉，等．求解超靜定梁的分段獨立一體化積分法[J].工程力學，2013,30(增刊):11-14.

[13] 李銀山，李 彤，郭曉歡，等.索-梁耦合超靜定結構的一種快速解析法[J]．工程力學，2014，31(增刊)：11-16.

[14] 李銀山，官云龍，李 彤，等.求解變截面梁變形的快速解析法[J]．工程力學，2015，32(增刊)：116-121.

[15] 李 彤，李銀山，霍樹浩,等. 桿件體系穩定性調整的快速解析研究[J]．起重運輸機械，2015(9)：36-42.

Study on a Fast Analytical Method of Adjustment of Continuous Beam Vibration

LITong1，LIYin-shan2，HUOShu-hao3，WEIBing-wei2

(1．Key Laboratory of Pressure Systems and Safety, Ministry of Education, East China University of Science and Technology, Shanghai 200237, China; 2． School of Mechanical Enginearing， Hebei University of Technology, Tianjin 300130， China; 3． School of Mechanics Eng.， Taiyuan University of Science & Technology, Taiyuan 030024， China)

A continuous subsection independently systematic integral method (CSISIM) is used to solve the analytical expressions of the natural angular frequency of continuous beams vibration. First the forth-order differential deflection equations are derived by bending-vibration analogy method. Then the general solutions of beam deflection are obtained by independent forth-fold integration. Integral constants are determined by boundary conditions and continuity conditions to determine the analytical solution of deflection. According to the principle of minimum energy, we get the first order approximate analytical solution of the natural angular frequency. Then by progressive method, more accurate analytical solution is obtained by solving exact differential equations of the vibration. According to the principle of minimum energy, the exact expression of natural angular frequency can be solved. The support position of the continuous beam is adjusted by simultaneous failure criterion and optimization criterion of vibration structure. Analytic expression of the optimal solution of the nature angular frequency of the structure is obtained. The changing curve of the natural angular frequency versus position is plotted. The engineering example shows the CSISIM method is a general method suitable for computer stylized programming to solve. It can obtain the optimum analytical solution of natural angular frequency.

vibration adjustment; natural angular frequency; fast analysis method; minimum energy principle; progressive method

2015-08-31

國家自然科學基金資助項目(10632040)

李 彤(1962-)，女，浙江紹興人，博士，講師，主要從事結構優化設計研究。Tel.：021-64253308;E-mail: tongli@ecust.edu.cn

TU 311.41

A

1006-7167(2016)05-0004-06