基于多元表征理論下的數學教學實踐與思考

江蘇省常熟理工學院 (215500)

盛一凡*

江蘇省常熟市滸浦高級中學 (215512)

殷偉康

基于多元表征理論下的數學教學實踐與思考

江蘇省常熟理工學院 (215500)

盛一凡*

江蘇省常熟市滸浦高級中學 (215512)

殷偉康

所謂“多元表征理論”即是更加強調數學問題心理表征的多元性，強調數學問題表征不同方面的相互滲透與必要互補.更為重要的是，“多元表征理論”突出強調了數學問題的心理表征往往包含多個不同的方面或成分，這些成分對于數學問題的正確理解都具有重要的作用；另外，與片面強調其中的某一成分相對應，我們又應更加重視這些成分之間的聯結與相互轉換，進行多元表征，發現解題思路，有助于學生不斷完善認知結構，更有利于培養學生的數學表達能力，提升數學素養.

1.加強數學問題表征的轉換訓練，提高數學表達能力

著名心理學家西蒙指出：“表征是問題解決的一個中心環節，它說明問題在頭腦里是如何呈現的，如何表現出來的.”因而，在數學概念和數學公式的教學過程中要注重引導學生把握表征取向，加強數學問題表征的轉換訓練，創設問題情境，使問題表征盡可能和數學概念、數學公式相匹配，加深對概念、公式的理解.

基本不等式不同于方程、函數這樣的以等式變換為主要特征的數學內涵，出現了一種更加靈活的數學現象：研究兩個變量組成的代數式之間的不等關系.兩個變量，兩個代數式，一個恒成立的不等關系式.這種新型的數學模式對學生來說是陌生的，不少學生的思維可能仍然囿于原有的思維模式之中，此時需要教師有意識地指導學生進行問題表征轉換訓練，展示其不同的表征形式，讓學生了解數學問題表征的特點和主要表征形式，并逐步掌握問題表征的基本要領，促進學生建立數學公式的多元表征和深層次理解基本不等式.

(1)語言表征：兩個正數的等差中項不小于它們的等比中項.也可表述為兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數(當且僅當兩個正數相等時，這兩種平均數相等).讓學生通過用簡潔準確的語言表述公式，這不僅有助于學生理解基本不等式，而且有利于提高學生運用數學語言表達交流能力和數學素養.

(3)操作表征：利用Excel 進行現場操作，讓學生分別取值計算兩個正數的等差中項、等比中項，通過對比計算結果，發現兩個代數式之間的關系，由此猜想出基本不等式.這樣有利于學生進行歸納、概括與猜想活動，提供具體和易于理解的直接經驗.

“商品打折”問題的設計，把生活中的鮮活題材引入課堂教學，賦予“基本不等式”以新的活力，讓學生從數學角度觀察日常生活中的現象，經歷抽象提煉數學模型和數學應用的過程，培養學生數學素養.

圖1

試指出圖中哪條線段分別是a,b算術平均值和幾何平均值？能否比較他們的大小關系？

借助學生熟知的幾何圖形，引導學生從幾何圖形中抽象出基本不等式，使學生體會數形結合的思想，領悟數學韻味，同時也使得學生理解很多看似抽象的代數不等式都源于幾何圖形，體會從形到數的轉化.

通過數學問題表征的轉換訓練，幫助學生建立起各種表征方式之間的聯系，不僅可以不斷提升學生對數學問題的各種表征進行系統內轉換和系統間的轉譯能力，提高多元表征能力，而且還能使學生對數學問題的表征形成直覺和積累經驗，從而加深對問題的理解和數學表征的體驗，領悟其本質，提高數學表達能力.

2.創設問題多維表征的交流平臺，提高問題表征能力

數學問題的表征模式是由數學概念、命題、算法與策略經驗等基本模式產生的心理圖式.數學概念、命題、算法等基本模式具有對數學問題轉譯方式的多樣性，從而形成了表征方式的多樣性，每一種表征中的聯結詞都包含著解題策略和方法.問題多維表征是解題思路產生的源泉，因而在數學教學過程中，教師要善于運用啟發性提示語：“你能否根據自己的聯想，嘗試用適當的方式將問題進行重新表征？”“在遇到困難的情況下，你能否變換問題的表征方式，調整解題的思維方向？”激活學生原有的知識塊，產生聯想，誘發學生進行多維表征.

問題2(2015年江蘇省高考試題第10題)在平面直角坐標系xOy中，以點(1，0)為圓心且與直線mx-y-2m-1=0(m∈R)相切的所有圓中，半徑最大的圓的標準方程為________.

表征2：(函數模式)令m+1=t，則t≠0，

通過不同表征方式的交流，處于不同層次的學生將會對自己的表征方式進行同化和順應，將會改進、完善已有信息表征方式，提升問題表征的質量，積累問題表征的經驗.

3.通過問題表征系統的建構與分析，形成解題思維走向

當數學問題中信息較多時，則容易產生干擾交錯的現象，很多學生常常因此出現思維不暢，無法順利解答.通過建構表征系統，可以理順信息間的邏輯關系和因果聯系，進而幫助學生形成清晰的解題思維走向.

問題3(2016年江蘇省高考試題第14題)在銳角三角形ABC中，sinA=2sinBsinC，則tanAtanBtanC的最小值是________.

通過建構表征系統，本題信息：①銳角三角形ABC；②sinA=2sinBsinC；③tanAtanBtanC的最小值.引導學生從中提取出核心信息“sinA=2sinBsinC”，據此聚攏所有信息，逐步把握問題的本質，最終形成條件與目標之間的思維通道.

tanAtanBtanC的最小值是8.

思維走向2：(以地位關系為起點)將核心信息②化解為tanB+tanC=2tanBtanC，據此，聯想三角形中重要結論tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，從整體思考，運用基本不等式即可.由信息①得tanA>0,tanB>0，tanC>0，tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC=tanA+2tanBtanC

通過建構表征系統，確定核心信息，理順信息之間的關系，按照不同的起點形成相應的思維走向.

4.學會選擇合理的模式表征的方法，簡約解題思維過程

數學問題的解決的前提條件是對問題進行合理表征.辨別問題的類型，根據問題的結構特征，聯想已有的模式結構特征，進行模式識別(包括模式特征、適用條件、模式的本質和功能)，再進行問題表征.問題表征是否適宜，直接影響到數學問題解決的難易和快慢.

適當的圖形表征有助于問題的形象直觀思考，引導學生對問題深層次結構特征的正確表征，更容易激活問題圖式，從而順利解決問題.合理的模式表征有助于簡約問題解決的思維長度，快速解決問題.

總之，在教學中要創設展示學生問題表征的時機，引導學生深入問題內部，建構恰當的信息表征系統和高質量的盡可能多的圖式表征，讓學生積累豐富的問題表征的方式和經驗，有效地提高學生理解問題和問題表征能力.

[1]殷偉康.培養學生數學問題表征能力 “三部曲”[J].中學數學(高中版),2013(7)：65-67.

[2]陳勇,丁益民.解題活動中表征系統的建構與分析[J].中學數學(高中版),2015(1)：23-24.

[3]陸學政.“多元表征理論”指導下的“數列概念”教學[J].中學數學教學參考,2012(4)：10-13.

[4]王思儉.2015年高考數學江蘇卷特點回眸[J].中小學數學(高中版),2015(7-8)：119-122.

* 作者為2015級經濟統計學專業在讀生.