適切處理教材，提升學生的數學學習力

馬榮

摘 要：數學教材是數學課程的核心資源。教學中教師既要尊重教材、研讀教材、運用教材，也要重組教材、開發教材、拓展延伸教材。既要立足教材、洞悉教材主旨，也要立足主體、超越教材主旨。切實做到“用教材教”而不是“教教材”，由此發展學生的數學學習力。

關鍵詞：數學教材；核心素養；延展教材；學習力

這里的“教材”是教科書，它是數學課程的核心教學資料，是核心的課程資源，但卻不是唯一的教學資料、課程資源。在數學教學中，教師要基于教材但不能囿于教材，要“用教材教”但不能“教教材”。著名特級教師路培琦先生說，“教材就是提供給教師進行教學的素材，能給教師提供一個教學思路”。實踐中，教師首先要研讀教材，但不能照本宣科，將教材奉為圭臬、捧為圣經。為此，我們提倡基于教材適度地創造教材、開發教材、延展教材，進而豐富教材的實踐空間。

一、立足教材，洞悉教材主旨

教材是教師展開教學活動的基本要素。教師展開教學首先要解讀教材，并且要站在兒童的立場上解讀教材，解讀學生眼里、學生心中的教材知識。諸如學生已經掌握了哪些數學知識，學生會產生怎樣的猜想，學生會采用怎樣的探究方式等。通過教材解讀，把握數學知識的生長線索、脈絡、結構等。

1. 洞悉知識本質

教材中的知識是以“點”的形態出現的，是對人類“生命·實踐”智慧的濃縮、壓縮。教學中教師要對“知識點”進行解壓，釋放出知識的形成過程，釋放出知識內蘊的思想方法。通過知識的解壓，讓學生重蹈人類知識建構中的關鍵步伐，把握數學知識的來龍去脈，把握數學知識的本質，不僅“知其然”，而且“知其所以然”。

例如教學《認識11～20各數》（蘇教版小學數學教材第1冊），教材呈現了一些小棒，要求學生數出10根小棒，捆一捆。如果教師就這樣按照教材字面要求學生進行簡單操作，難免誤讀了教材的設計與編寫意圖。教學中教師要還原數的產生歷程，讓學生理解用數表示物體個數的方法，感悟“以一當十”的思想。首先用多媒體展示遠古時代的人們打獵用石子計數的場景，啟發學生思考：石子太重怎么辦？用小棒代替。有了十個怎么辦？捆起來計算、扎起來計算等。然而，當捆的扎數多了，怎么辦？以一當十。由此過渡到數位，讓學生用計數器表示數，十個、十個地數，相應地產生了個位、十位。這種數的誕生過程在人類歷史上經歷了數千年，其間計算方法在優化，計算工具在發展、演變。學生在感知、交流中得到了深刻的體驗，數學知識的本質得到彰顯。

2. 洞悉知識結構

數學知識是一個整體，但卻以“點”的形態散落在教材之中。教學中教師要通讀教材，把握每一個知識點在整個教材中的位置，揣摩知識點該以怎樣的姿態和學生照面。不僅把握知識點的來龍去脈，更要把握知識的左右勾連。美國著名教育家布魯納說，“學習的實質是一個人將同類事物聯系起來，并把它們組織成賦予它們意義的結構……教學就是要讓學生理解該學科的基本結構”。

例如“因數和倍數”這部分內容，原來蘇教版將之安排在四年級下冊，將“公因數和公倍數”內容安排在五年級下冊。新教材中則將這部分內容有意聚合到一起，全部安排在五年級下冊。其意圖很明顯，就是讓學生系統掌握知識，力避分散教學帶來的知識碎片化現象。就“因數和倍數”這一單元的內容來說，從因數到公因數再到最大公因數，從倍數到公倍數再到最小公倍數，其間體現著知識的鏈式結構。擴展開來看，“因數和倍數”這一單元的知識又是“分數的加法和減法”“分數乘法”和“分數除法”單元的基礎。教師只有具有整體的視野，才能在教學中左右逢源、游刃有余。

3. 洞悉思維方式

解讀教材有不同的層次、境界：其一是能夠洞悉知識的本質、結構；其二是能夠領會編者的意圖、思維方式。因此，數學教材解讀有多個視角，例如教師視角、編者視角、學生視角等。尤其是編者視角，有時不是在某一個具體例題中得以展現的，而是需要將前后例題聯通起來看。

例如教學《乘法分配律》（蘇教版小學數學教材第8冊），教材上只有一個例題，顯然通過一個例題的教學讓學生領會乘法分配律的本質是有困難的。但如果我們貫通教材，將加法交換律、結合律，乘法交換律、結合律以及分配律作為一個整體看，就不難發現，這些例題所承載的絕不僅僅是數學知識，更是一種思維方式，一種研究運算律路徑的基本方法。這里是一種“猜測與驗證”的思維方式。洞悉了這樣的數學思維方式、探究方式，教師可以放手讓學生展開自主探究。先是讓學生通過具體的實際問題引發猜想：兩個數的和與一個數相乘，可以先把這兩個數分別與這個數相乘，再相加。然后讓學生舉例驗證，由于是“不完全歸納”，因此要啟發學生多舉一些例子，舉一些不同數的例子。孩子們在經歷了這樣的猜想、驗證過程，就能感受并體驗到從特殊到一般的研究方式。教學中教師要有意地將這一過程延長，幫助學生理解并掌握同類問題的研究路徑。

二、立足主體，超越教材主旨

對數學教材的解讀不僅僅要立足于教材，更要立足于學習主體——學生。不僅要研究學生已有的知識經驗、認知狀態、認知需求，更要研究學生的認知方式、思維方式、活動方式。不僅要研究抽象的學生，更要研究具體的學生。

1. 指向核心素養，拓展數學教材

當下的數學教學必須轉型升級，從知識取向轉向素養取向，尤其要關注學生的核心素養。所謂核心素養，應該指形成一種數學思想方式、思維方式。教學中，教師要從核心素養的培養出發，對數學知識進行由點及線、由線及體的建構，讓學生的數學學習“既見樹木，更見森林”。

例如教學《圓柱的體積》（蘇教版小學數學教材第12冊），教材中的編排是將長方體、正方體和圓柱體放在一起進行比較、概括，形成“V=Sh”的體積計算公式。教師在教學中通常止步于這三種形體，由此導致學生在“等底等高”“等底等積”“等高等積”的圓柱、長方體和正方體的比較上經常出錯。究其根本，是因為教師沒有使學生形成“體積等于底面積乘高”的思維方式。要著眼于學生的核心素養，教學中教師必須拓展教材主旨?；诖?，筆者超越教材，在實踐中開發了“走進直棱柱”的主題，引領學生對直柱體進行深度研究。給學生提供了三棱柱、多棱柱、空心圓柱（鋼管）、空心多棱柱等形體。學生在切割、推理與想象中深刻認識到“V=Sh”體積公式的本質內涵，體驗到一種極限思想。

2. 指向實踐運用，延伸數學教材

小學數學源于生活，指向運用。只有在運用中、在實踐中學生才能感受并體驗到數學知識的價值。數學教學中，教師要聯系學生的數學運用進行教學，適度對數學教材進行拓展、延伸。數學教材不僅是一種“事實性存在”“關系性存在”，更是一種“實踐性存在”。

例如教學《圓柱的體積》，教材主要是通過切拼法將圓柱分割、拼接形成長方體，進而推導出圓柱的體積。教學中教師通常按照教材將長方體的底面積、高與體積分別與圓柱的底面積、高和體積進行比較，進而得出圓柱的體積公式是V=Sh，即V=πr2h。因此，在解決問題中，當學生遇到這樣的問題：一張長方形的紙，怎樣卷成圓柱體積更大？盡管教師運用“假設法”假設長方形紙的長和寬，讓學生計算、比較、得出結論，有時教師還給出兩種不同卷法產生的圓柱命名為“高瘦瘦”和“矮胖胖”，但學生并不理解。如果教師在引領學生推導圓柱體積公式時，能夠超越教材，將拼接成的長方體橫著放、豎著放，推導出圓柱另外兩個體積公式——V=S側÷2×r，V=hr×，那么學生就能深刻理解。因為不管怎么卷，圓柱的側面積是不變的，因此卷成圓柱的底面半徑大、體積就大，底面半徑小、體積就小。在此基礎上，學生也能方便地解決求“大棚內的空間”問題。

3. 指向思維創新，開發數學教材

學生由于年齡和心理特質，往往不能主動地將數學知識融會貫通。教學中教師可以對數學知識進行動態處理，幫助學生溝通數學知識之間的深度關聯，讓學生嘗試從整體、系統、全局和聯系中去把握知識，將碎片化的數學知識有效整合，形成結構體。由此，幫助學生突破認知束縛、思維習慣。

例如《平行四邊形的面積》《三角形的面積》和《梯形的面積》（蘇教版小學數學教材第9冊），它們在教材中的存在形態是靜止的、孤立的。一位教師在教學中用動態生成的眼光對平行四邊形、三角形和梯形的面積公式進行重新審視，運用多媒體課件對教材知識進行深度拓展。動態展示梯形的上底延長到和下底一樣長，進而變成平行四邊形的過程，動態展示梯形的上底縮短為0進而變成三角形的過程。演示中，教師不斷啟發學生，變成什么圖形？可以用梯形的面積公式求出面積嗎？如此，學生深刻地體驗到“平行四邊形”“三角形”和“梯形”的動態聯系。

教材是數學教學的重要依憑。教學中，教師既要立足教材，洞悉教材主旨，也要立足學生主體，超越教材主旨。要根據教材特點，依據學生需要，因地制宜開發教材、重整教材，探尋教材中相關知識的“最大公因數”，對之進行“合并同類項”，真正做到“用教材教”而不是“教教材”，進而提升學生數學學習力。