運動中發展直觀，直觀中培育素養

潘光志

摘 要：“幾何直觀”是新課標十大核心概念之一，其發展有助于學生了解圖形的特征，形成對圖形的敏銳洞察力。對數學思維的深刻理解，會將學生引向深度的數學學習與探究。在“圖形與空間”領域的教學中，讓圖形“運動”起來，換一個視角認識圖形，能幫助學生認識到圖形本質、拓展學生的空間維度、形成新的知識網絡，從而發展其幾何直觀，培養學生形成創新型思維方式，對于培養學生的實踐創新能力（核心素養之一）將起到重要的作用。

關鍵詞：小學數學；圖形運動；幾何直觀；核心素養

2016年9月《中國學生發展核心素養》正式出爐，核心素養以培養“全面發展的人”為核心，分為文化基礎、自主發展、社會參與三個方面，綜合表現為人文底蘊、科學精神、學會學習、健康生活、責任擔當、實踐創新六大素養，具體細化為國家認同等18個基本要點，暫時還沒有對數學學科提出具體的育人目標和任務。但筆者經過對其內容的研讀，發現新課標中提出的十大數學核心概念，與核心素養之間有著千絲萬縷的聯系。十大核心概念包括：數感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數據分析觀念、運算能力、推理能力、模型思想、應用意識和創新意識。以“幾何直觀”為例，就是落實核心素養的重要抓手，特別是對于“實踐創新”這一素養的培養有著重要的作用。

“幾何直觀，即利用圖形描述與分析問題”，這是新課標中對其作用的說明，其實它的意義遠不止于此。它與空間觀念有所不同，更強調借助一定的直觀背景條件進行整體把握的能力。幾何直觀能力有助于學生對數學思維的深刻理解，將學生引向深度的數學學習與探究。更重要的是，其是一種發現問題的能力、研究問題的策略，憑借直觀的載體，簡捷、巧妙地化解問題，能成為學生創新型思維的開端。幾何學（空間與圖形）是研究圖形及其關系的內容，幾何直觀在幾何教學中無處不在，但通常都是對靜止的圖形進行研究，圖形的本質及其關系往往得不到深度揭示，對學生幾何直觀的發展有一定的阻礙。讓圖形“動起來”，從運動的視角研究圖形，能幫助學生對圖形進行更深入的認識與探究。

一、“運動中”認識圖形本質

在認識圖形時，小學教材中大多用例子來說明：“像這樣的圖形就是……”，沒有給出文字的描述或定義。這樣的編寫符合小學生的年齡特點與思維發展水平，但筆者認為教學中不應止步于此，要將圖形的靜態或動態定義向學生滲透與介紹，使學生觸碰圖形的本質，特別是某些圖形的動態定義的滲透，是解決教學難點、發展學生幾何直觀的重要途徑。

案例1 《角的初步認識》（新人教版二年級上冊）

【教學片段】

教師首先請學生閉上眼睛摸一摸圓形、三角形和長方形，讓學生感受“角是尖尖的”這一外部表征，然后讓學生找出生活中的角，抽象出角的形象。以上教學過程，看上去進行得很順利，但在接下來的畫角的學習中，學生卻出現了不少的錯誤。有的將三角形當作角畫出來，有的先畫了兩條邊，卻怎么也湊不成一個角。教師不停地指導學生畫角的順序（即先畫頂點，再畫邊），卻收效甚微。

【案例評析】

以上問題的產生，主要在于教學中對角的本質屬性的忽略。角有兩種定義：靜態定義是“具有公共端點的兩條射線組成的圖形叫作角”；動態定義是“一條射線繞著它的端點從一個位置旋轉到另一個位置所形成的圖形叫作角”。其中靜態定義中“射線”一詞本身也具有動態的表征。教師應將這兩種定義在課堂上加以滲透。

如圖1，先展示激光束有關圖片，再在黑板上模擬圖1中角的形成過程，即先畫頂點，再從這點出發，畫兩條射線。通過圖片展示與教師的畫角，向學生滲透角的靜態定義，使學生對角的“點出發的線”這一運動形成過程有所感受，對學生掌握畫角與比較角的大小能起到很大作用，更有助于學生對角這一圖形的深刻理解。

教師還可利用扇子的開合模擬角的另一動態形成過程（如圖2），滲透角的動態定義。固定扇子的一邊，將另一邊進行旋轉，形成大小不一的角。此過程同時對學習角的大小比較、角的分類都有著積極的作用。更重要的是，通過兩種動態形成角的過程比較，學生會發現無論哪種運動，“角”都脫離不了“一個頂點”與“兩條邊”這兩大要素，實現了對“角”這一圖形表征與本質的深刻理解，有利于學生今后探索與角有關的更復雜的內容，如數復雜圖形中角的個數、三角形有關問題等。

類似的，還有“圓的認識”。圓可以看作是“到定點的距離等于定長的點的集合”。在教學用圓規畫圓時，向學生提問：為什么圓規能畫出圓來？滲透：圓規畫出的每一個點到圓心的距離都相等，這些點運動的軌跡就形成了圓。在畫圓的運動中，體會動態的圓的形成過程，使學生對“點動成線”形成感性的認識，也從中體會到極限思想等數學思想方法，促進了學生高級思維的發展，對學生的創新能力也是一種鍛煉。

二、“運動中”突破空間維度

案例2 《圓柱的認識》（新人教版六年級下冊）

【教學片段】

此節課，教師設計了三次圖形的運動：

第一次，在學生認識“圓柱”這一名詞與生活中的圓柱后，教師拿出了一個折疊燈籠（如圖3），問：“這里有沒有圓柱？可以變出多少個圓柱？”學生對燈籠進行拉伸，逐漸開始感受圓的垂直移動形成圓柱的過程。教師再用電腦動態演示圓上下垂直移動形成圓柱的過程，并由此介紹圓柱的底面、高等組成部分及圓柱的特征。

第二次，請學生思考：圓上下垂直平移可以形成圓柱，那長方形的運動可否形成圓柱呢？學生動手實踐，對長方形進行旋轉、圍攏等操作，以形成大小不一又互有關系的圓柱。

第三次，動畫演示：點動成直線——直線卷曲成圓——拉直直線——直線平移成平面——平面卷曲成圓柱的側面。

【案例評析】

在以上的教學中，教師引入圖形的運動，使學生認識到：高維的圖形可以由低維的圖形運動變化得到。通過這個過程，幫助學生打通了低維到高維圖形變遷的通道，拓展了學生認識世界的空間維度。借助低維的圖形的變化，能更加深入地了解高維圖形的特征，為理解立體圖形的特征、算法等開辟了一條新的道路。

第一次運動，用圓的垂直移動得到圓柱，得到其垂直移動的路徑其實就是圓柱的高，所以圓柱的高一定是垂直于底面的。而且根據圓柱，學生跟著想到：長方體也可以看成是由長方形上下垂直平移得到的。至此，就形成了圖形算法的統一：圓柱的體積可看作底面圓的面積乘其垂直移動的距離。長方體的體積可看作底面長方形的面積乘其垂直移動的距離（即高）。學生可以從中得出直柱的體積統一公式：底面積乘高。

第二次運動，用長方形旋轉、圍攏等方法得到圓柱。學生在課后更自己嘗試用梯形旋轉、三角形旋轉等方式得到其他立體圖形。經歷另一種運動方式實現從二維到三維的轉化，對于后續認識圓錐、球等都有很大的幫助。

第三次運動，將“點動成線”“線動成面”“面動成體”進行系統的演示，不但向學生滲透了“轉化”的數學思想方法，而且用動態的方式將三個維度的空間進行展示，為學生學習與解決圖形類問題提供了新的思路。

三次運動，各有重點，各有作用，又相互補充?？偟膩碚f，是用一種全新的視角帶領學生拓展了空間維度，發展了學生的幾何直觀，培養了學生的創新精神。

三、“運動中”編織知識網絡

案例3 《多邊形面積單元復習》（新人教版五年級上冊）

【教學片段】

學生根據書本的提示，找出多邊形面積之間的關系（如圖4）。

接下來，教師用動畫的形式，向學生演示圖形之間的聯系。將梯形的上底兩端點拉開，使得上底與下底相等，變成了長方形，由此可以反推出長方形的面積公式（如圖5）。將梯形上底兩端點拉近成一點，變成了三角形，由此又可反推出三角形的面積公式（如圖6）。

【案例評析】

上例中，運用圖形中部分元素的運動，將圖形進行變形，形成與其他圖形的聯系。這種變形與以往剪拼的方式有所不同。剪拼是改變了圖形的形狀，但沒有改變其面積大小，也就是形變量不變。上例中的運動雖然看上去量與形都發生了變化，但卻將計算方法進行了規一，將三種圖形，甚至是四種圖形的面積計算歸為一種。這樣的知識網絡構建是對教材的補充與拓展，為學習中學的“動態幾何”孕伏了線索，更體現了“化繁為簡”的幾何直觀的價值，有助于學生創造性思維的發展。

讓圖形“動起來”，能讓學生對圖形的認識更加深刻，更能把握圖形的特征及圖形之間的關系，其想象力、推理能力、反思能力也得到了發展。只要對圖形的本質及聯系有了更深的認識，學生就能更好地完成憑借圖形對數學對象的思考，發展幾何直觀，逐漸使幾何直觀內化為數學學習的一種思考方式與學習方式，使直觀變成數學發現的向導，落實“實踐創新”這一核心素養的培養。