以能力立意為風向標的概率統計復習模式

胡其華

（肇慶市百花中學，廣東 肇慶 526020）

一、基本情況

數學核心素養是指學生在數學學習過程中達到的綜合能力，包括知識、技能和素質三大方面.核心素養具體體現為以下六種素養：數據分析、數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算及直觀想象，其本質是對學生綜合能力考察。

高考全國卷理科數學概率統計模塊試題內容上，模塊內知識點的整合比較明顯，要求考生具有較好的抽象概括能力、數據處理能力、模型識別能力、運算求解能力，以及利用統計思想解釋、說明現實生產活動中有關決策問題能力[1]，總之這一模塊命題風向標“以能力立意”才是不變的主題。

近三年全國Ⅰ卷理科試題概率統計模塊特點如下：

1.題量、題型穩定：客觀題,填空題及解答題各有1道題。

2.難度穩定：選擇和填空題難度中等或中等偏易；解答題位于第三小題，中等偏難。

3.綜合性強：客觀題經常將古典概型與計數原理、排列組合知識結合，或將幾何概型與簡單線性規劃結合。解答題則以大數據時代為背景，將具有濃郁生活氣息的生產生活實踐為背景，以多種圖表、數據為載體，有時甚至結合多種隨機變量、函數知識綜合出題，充分考察學生綜合能力。

下面以2017年全國Ⅰ卷19題（題略）為例說明考題怎樣對學生綜合能力進行考察。

這道題的考點涉及二項分布、正態分布、小概率事件、均值及標準差計算。大部分學生都能掌握單個知識點，但眾多知識點綜合在一起，容易導致審題不準，沒有思路。二項分布、正態分布、均值及標準差屬基本知識；標準差公式的正確選擇及變形使用、原理、用樣本估計總體及小概率事件原理是數學運算能力；用3σ原理、小概率事件原理來解釋生活中現象，是對數學素養綜合考察。當然，這些素養是不能截然分開的，但總的來說這道題將核心素養考察體現的很到位。

二、原因

自2016年我省采用全國Ⅰ卷考試以來，概率統計這一模塊得分率較低.分析原因主要有以下幾點：

1.與廣東卷相比，全國卷對概率統計模塊的考察發生了量和質的飛躍，分值比重也有所增加.比如廣東卷2014年理科小題考察分層抽樣，解答題考察頻率分布直方圖、頻率分布表、古典概型及其概率計算公式等；2015年理科卷小題考察古典概型、二項分布，解答題考察極差、方差與標準差、系統抽樣等.試題所考知識點都比較單一，整合性不強。

2.部分教師沒有把握全國卷的命題立意規律。復習備考時沒有做到有的放矢，基本知識點的復習已經準備到位，但是不善于在知識點的交匯處進行整合，或者復習題不能彰顯數學本質，不能以能力立意來復習。

3.教師對概率統計知識儲備不足[2]。部分教師對概率統計基本概念、基本思想的認識處于模糊狀態，理解不夠深入,缺乏用統計思想答疑解惑及解釋說明生活現象的能力。長期以來，部分教師遵循考什么就教什么的備考方式,對學生的復習備考引導不足。

4.學生閱讀理解能力、抽象概括能力欠缺，對模塊內部知識的整合能力不足，不能識別題眼從而對考點進行突破。

5.學生缺乏利用統計思想進行科學決策的活動經驗和應用意識。

這些說明教師的教和學生的學以及復習備考都沒有很好地針對能力培養，或者不舍利用大量時間指導學生參與相關的活動并總結經驗,進一步內化成自己的知識，導致學生做題時不能切中要害得分。

三、解決措施

部分教師認為概率統計模塊不宜強攻，因為找不到很好的著力點，盡管單個知識點已經鋪墊到位.根據多年的教學經驗，針對現階段存在的問題，在核心素養觀下以能力立意這一風向標，對概率統計模塊的復習，提出以下建議：

1.教師一定要以核心素養觀為指導，重視教材，抓好常規，開放思維，強化綜合，引導學生繪制模塊知識方法體系圖，體現出各部分知識之間的聯系和層級結構，使其立體化，體系化.特別是模塊內的知識要全，不能有盲點和遺漏，必須訓練到位.對小概率事件這些模糊的概念，也要講解清楚；

2.教師要善于發現數學在生活中的應用，在課堂上精心創設更多的真實情境，設問要服務于能力考察的立意，讓學生感悟到學習的意義和價值。要鼓勵學生從不同角度思考問題，讓學生體會到學習可以解決生活中的復雜問題，讓學生的核心素養能夠有效地發展；

3.高三全面復習時建議以能力立意為主線進行習題設計，進行模塊內知識整合，以構建解決概率統計解答題的基本思路、基本方法，滲透統計思想，培養學生解決問題能力。

為此，再次對2017年的全國Ⅰ卷理科19題以能力立意為主線進行講解，提問如下：

（1）基本知識：題中涉及幾個隨機變量？幾種分布？有明顯的題眼嗎？

答：每個零件尺寸服從正態分布，記X表示一天內抽取的16個零件中其尺寸在（μ-3σ，μ+3σ）之外的零件數，這是二項分布的定義，應該說是題眼。

（2）基本技能：題中涉及哪些公式及計算？

答：題中有均值、標準差的兩個計算公式可用來直接計算均值、方差，也包括公式的正確選擇和變形使用。

（3）基本思想：題中涉及哪些統計思想？

答：樣本估計總體的統計思想、3σ原理、小概率事件原理.

（4）基本活動經驗：小概率原理怎樣解釋本題？

答：一次實驗，小概率事件一般不會發生，如果發生了，說明監控生產過程方法的合理性受到質疑。

通過這樣的思路，針對每道解答題，培養學生有意識地以這種模式進行審題；通過熟悉基本知識及基本技能，讓學生掌握各種知識點；提高學生的閱讀理解能力、綜合實踐能力，通過基本思想及基本經驗總結、鞏固學生利用統計思想解決、表述實際問題的能力，所謂的難點也就不攻自破了。

全國卷Ⅱ卷、Ⅲ卷，文科試題也不例外，但難度比理科Ⅰ卷稍低.在肇慶市端州區命題設計大賽中命制的一道文科概率統計題目比較好地闡釋了以核心素養為主線的命題方式，供大家參考。

例 根據《環境空氣質量指數(AQI)技術規定(試行)》(HJ633-2012)中的日報發布標準規定[3]：空氣污染指數劃分為0-50、51-100、101-150、151-200、201-300和大于300六檔，對應于空氣質量的六個級別分別為優、良、輕度污染、中度污染、重度污染、嚴重污染，其中優和良都適合戶外活動。以下是我國某城區空氣污染指數11月份前30天的檢測數據：137、142、154、172、130、156、152、71、102、114、60、83、104、70、77、69、41、48、56、69、46、80、110、136、159、154、83、79、70、102。

（1）某公司想組織員工去該城區進行兩日游，問該公司選擇的兩天空氣質量均適合戶外活動的概率是多少？

（2）以下是某連續4天的空氣污染指數：46、80、110、136，請用線性回歸法預測第五天的空氣污染指數。

（3）完善下列頻率分布直方圖（略），若該市希望使85%的天數空氣污染指數不超過標準x,估計x的值，并指出本市11月份數據符合此要求嗎？

知識點說明：

第（1）題考點：古典概型，由于屬文科所以只涉及列舉法或樹狀圖；

第（2）題考點：線性回歸及應用，此處考慮對公式的選擇：選得好，計算量就??；否則就很大。此外對數據組中的xi要學生根據題意自己確定，這是難點之一；

第（3）考點：頻率分布直方圖及數字特征，其次考察用樣本估計總體的統計思想。

本題以大數據時代為背景，從PM 2.5實時監測網上下載的2017年11月份成都市的空氣污染指數，綜合考查學生數據處理能力、閱讀理解能力、用統計思想處理生活中問題的能力。本題只能算是中檔偏易的題目，所以適合放在第18題的位置。

[1]熊丙章，黃翔.“四基”對高中數學課標修訂的啟示[J].中學數學教學參考（上旬），2016(1-2)：2-4.

[2]劉富蕊.高中概率教學的現狀、問題及對策研究[D].重慶：西南大學，2013.

[3]岳建良，李軍民.離散型隨機變量及其分布列[J].中學數學教學參考（上旬），2016(1-2)：81-86.