數學教學中的有效方法探析

劉啟洪

（羅定中學，廣東 羅定 527200）

現代數學教育是培養學生的創造性思維，培養學生創造意識和能力，發掘學生創造潛力的教育。教師在日常教學過程中，通過采用有效的教學方法，加強學生思想方法、思維能力的培養，是數學教育所要實現的目標。

一、創設問題情境，提高學生對數學的學習興趣

（一）學生在學習數學過程中存在的典型問題

鳳凰衛視著名主持人邱震海先生曾談到：“當代年輕人最大的問題就是很多人還沒有意識到，他們身上的行為方式是有問題的，這是最大的問題。只要越來越多的人有這個意識，我們下一步的事情就比較好做?！币虼?，在教學過程中教師應該多觀察，多與學生交流，找出學生存在的問題，并讓學生明白問題所在才是最重要的?，F階段學生在數學學習中主要存在以下幾個方面的問題：（1）記憶達不到要求；（2）對數學不感興趣，對數學學習有畏難情緒；（3）意志力薄弱，不能持久學習；（4）知識量儲存較大，但不能有效提??；（5）數學運算求解能力較為欠缺。

對于學生在學習數學過程中存在的以上問題，我們應對癥下藥，有針對性地對學生進行指導，在教學中有目的、有計劃地開展教學活動。同時讓學生認識到自己的不足之處，努力克服自身的缺點，不斷提高數學成績。

（二）重視數學問題本身的價值，體現數學的實用性價值

問題，是數學已有理論體系中通過思維的內部整理而反映出來的思維結果，恰到好處的問題不僅可以調動學生學習的積極性，也是學生智慧生成的門戶。數學教育家波利亞指出：“拿一個有意義但又不復雜的題目，去幫助學生發掘問題的各個方面，通過這道題就像通過一道門戶，把學生引入到一個完善的數學領域?！币虼?，教師在教學中可以選擇有價值的問題進行探究，引導學生發現、討論、反思、總結并弄清問題本質，提煉出數學思想，再進一步進行創造性應用。香港中學數學教材有這樣一道例題：某企業有5個股東，100名工人，年底公布了公司的經營業績，具體如表1所示。

表1 公司經營業績情況表

圖1 股東和員工工資總額增長情況

圖2 股東和員工工資增長率變化情況

圖3 股東和員工工資增長對比

從上述圖表看，顯然表1和圖1為老板所畫，反映了股東紅利總額、工人工資總額與時間的函數關系，表示“有福同享，有難同當，股東紅利與工人工資平行增長”。圖2為公司工會主席所畫，反映了股東紅利增長率，工人工資增長率與時間的函數關系，顯示“股東利潤增長較快，工人工資增長相對較慢”。圖3為工人所畫，直觀反映了“股東的人均紅利從1萬元增至2萬元，人均凈增1萬元；而工人的工資從1 000元增至1 500元，人均凈增僅500元。股東的平均收益遠遠高于工人的工資增長，收入差距太大，工資太低了”。以上3種說法，都源于同一數據表，沒有造假，且都符合數學原理。教師用此題引導學生運用所學的一次函數知識，解釋企業中說法不一而又各自有理的現象，比起常見的“雞兔同籠”更具現實意義。此題不僅增進了學生對函數知識的理解和掌握，更體現了數學在現實生活中的應用。這類題能讓學生在對所學內容產生濃厚興趣的情況下，注意力更加集中，從而更容易接受并牢固掌握新知識，便于其靈活運用數學知識解決生活中的問題。

二、培養學生的主體能動性，使之獲得成功的體驗

教學活動要盡量做到多向交流，讓成功的學生保持成功的心態，以利于獲得更大的成功；同時，要讓成功的學生去感染信心不足的學生，激發其實現和獲得成功的愿望。具體做法如下：一是鼓勵學生多提出問題，通過解決問題會讓學生理清模糊概念，清除知識障礙；二是要積極肯定學生，學生每完成一個學習任務，都需要花費一定時間和精力，教師的積極肯定，能使學生獲得自我實現的喜悅，從而在心理上提升對學習的需求。學生有了心理上的需求，才有心理上的參與，才能達到行為上的參與。

（一）培養數學技能，掌握解題方法，讓學生體會解題成功的喜悅

學生解題能力不強，且缺乏數學解題技能，因此，在日常教學中，教師要重視對學生基本數學技能的培養。如果將解題過程比作珍珠項鏈，那么概念、公式、法則、定理等同于珍珠，而數學解題技能就是將“珍珠”串起來的線。我們要通過教學教會學生取得將“珍珠”串起來的“線”。解題不僅是對數學知識進行反復運用的過程，同時也是形成數學技能的過程。學生在實際探索中遇到問題，并越過障礙，思維才會暢通，其思維能力與水平才能提高，數學技能得到有效提升，才能給學生以“數學美”的感受。

筆者認為，探究數學定理的二級結論，有利于培養學生解題的技能，也有助于提高學生的解題速度。以下是筆者在某次限時訓練中選用的1道練習題。

例1 已知點F1,F2是雙曲線的左、右焦點，若雙曲線左支上存在點P與點F2關于直線對稱，則該雙曲線的離心率為（ ）。

方法1 如圖4，與漸近線垂直的直線F2Q可設為聯立方程，可得點Q的坐標為PF2中點，由中點坐標公式知點 P在 雙 曲 線上，即化簡后可得e=。

圖4 示意圖

用此種方法運算較為繁瑣，要求學生具備扎實的基本功和較高的運算求解能力，大部分同學達不到此要求。

方法2 可先求出點F2(c,0)到直線的距離可得 |PF1|=2a,由雙曲線定義知 |PF2|- |PF1|=2b-2a=2a,即b=2a,b2=4a2,c2=5a2,e=。

對比這兩種方法,方法2簡捷很多。在方法2基礎上對本題進一步研究，還可以歸納出兩個有用的二級結論。

結論1 由焦點向漸近線引垂線，焦點到漸近線的距離為b,垂足到原點的距離為a。

結論2 由焦點向漸近線引垂線，垂足在雙曲線的準線上。

例2 （2014新課標）已知F是雙曲線C:x2-my2=3m(m＞0)的一個焦點，則點F到C的一條漸近線的距離為（ ）。

顯然，將雙曲線化為標準方程后，再利用二級結論“雙曲線焦點到漸近線的距離為虛半軸長b”，可以直接得到答案A，可見利用二級結論解題方便又快捷。

（二）培養學生“閱讀、表達、動手、反思”的習慣，提高學生的學習能力

“閱讀”是指閱讀數學課本，通過閱讀體會定義的形成過程，能夯實學生基礎，使學生能從別人的成果里發現問題、提出問題。

“表達”是指使用數學語言的表達能力。就目前而言，學生的數學語言表達能力較差，從筆者參加的2012年高考數學閱卷情況看，學生在答題表述方面存在較多問題。鑒于此，在教學過程中，教師應多給學生到黑板前演示的機會，讓學生將所能想到、能解決的步驟寫到黑板上，供同學們一起交流，從而培養學生良好的書寫表達習慣。

“動手”是指讓學生自己積極參與數學問題的探討或動手制作一些數學模型、教具，甚至做一些建筑物的測量。例如：讓學生利用所學的正余弦定理測量河對岸兩建筑物之間距離，這既讓學生體會到正余弦定理的工具作用，又體驗到了數學建模成功的喜悅；又如，在學生動手做正四棱錐的過程中，學生能很容易體會到其正視圖的邊長就是四棱錐的斜高。

“反思”是指學生經過一段時間的學習，對所學及收獲的知識進行學習反思。教師要鼓勵學生對解題的思路、解題的方法、涉及的知識點等進行反思，使其能積累解題的經驗，能形成對解決同類題目的解題技巧。

（三）建立學習互助小組，培養學生的合作精神和團隊意識

具體說來可以這樣操作：以“二二二”形式，即兩名優等生、兩名中等生、兩名后進生互相搭檔。為方便探討，可以按就近原則編排小組。要求各小組成員要積極主動合作。不能只是流于形式，全體小組成員都要動手動腦，主動幫扶那些知識理解不透徹的同學。美國緬因州國家實驗室經過大量實驗得出一個被稱作“學習金字塔”的研究成果。研究成果指出，聽講、閱讀、聲音、圖片、示范、演示等被動學習的東西兩周以后平均留存率低，而小組討論、實際演練、做中學、馬上應用、教別人等主動學習的東西兩周以后的留存率較高，所以教師要促成學生主動學習，讓學生在做中學、學中教，學會后馬上應用知識教其他學生，優勢互補，以此達到共同進步。通過這種方法，后進生在同伴的幫助下更容易取得較大的進步。

三、以身傳教，培養學生規范答題意識，鞏固學習成果

（一）利用“樸素衣柜原理”，認識將數學知識系統化的重要性

在日常教學中，個別教師只是不斷地往學生腦子里灌輸知識，而沒有教學生如何梳理、歸納知識，這往往讓學生在考試時對知識的提取出現問題，很多曾經學過的知識也提取不出來，導致解題失敗。筆者認為，數學知識的傳授可以從“樸素衣柜原理”中找到靈感：將春夏秋冬的衣物分衣柜存放，與四季衣物一起存放相比，哪個更容易提??？答案無疑是前者。因此，教師應幫助學生學會將知識系統化，這樣學生在考試時就容易將知識提取出來。

以下是我在處理數列與不等式問題時所選用的例題，在教學時，我們可以幫助學生歸納以下兩種主要的模式。

例3 求證

分析 n=1時成立;n≥2時，對進行適當放縮即可化為可裂公式命題得證。

例4 （2012廣東改編）對an=3n-2n,求證

分析 對an=3n-2n,n=1時，不等式成立；n≥2時，往等比數列方向進行放縮；an=3n-2n=3n-1+2(3n-1-2n-1)＞3n-1,即

命題得證。

筆者認為，幫助學生歸納數列與不等式問題時，主要應從兩個方向入手，方向1放縮到可裂公式，再用裂項相消求和即可；方向2：放縮為等比數列，再用等比數列求和即可。除了以上兩種模型外，進一步歸納梳理還有以下一些常用的放縮結論：

教師幫助學生對知識進行條理化梳理、歸納，學生便可以快速提取知識，有效解決放縮法問題。

（二）抓規范，促運算，強調得分意識

數學是邏輯性很強的學科，學習感悟總是與學習的規范、嚴謹聯系在一起的。在教學過程中，教師要對學生的學習活動進行嚴格要求，要講清楚數學規范解答的作用和意義，要指導學生加強規范的行為、培養規范作答的好習慣。從高考閱卷經驗來看，無論高考題難易，高考的評分標準都會充分為考生考慮，同時我們也看到，考生往往會在答題規范和表述方面失分較多，考生缺乏相應的得分意識，因此要特別重視考生的規范作答，如符號規范、說理規范等。在解答題方面，教師在日常教學中，就應力求學生規范作答。此外，培養學生規范作答的能力需要一個過程，教師在上課時板書要詳細，語言表達要和板書進行合理對接，讓學生從教師的語言和板書中獲得思維語言與動作語言對接的感受，從而獲取規范作答的經驗。

（三）悉心輔導，耐心批改

學生對新學的知識較易忘記，對新公式、新定理不能靈活運用。對容易混淆的知識點，在課后教師應多提醒，在時間允許的情況下，教師要對部分學生的作業進行面對面批改，指出錯誤及表達不夠規范的地方，并幫助他們梳理知識。另外，現場輔導可以讓學生把握方向，調整學習策略，讓他們在層次分明的練習中歸納知識、融會貫通，這樣學生的基礎得到了夯實，學習成績就會逐步提高。

總之，在數學教學過程中，教師應該學會綜合運用多種方法激發和培養學生的數學學習興趣，調動學生學習數學的積極性，進而提高學生數學學科的核心素養，促進學生思維能力的發展。

[1]張奠宙.宋乃慶.數學教育概論[M].上海：上海師范大學出版，2009.

[2]韓云橋.中學數學教學與學生思維發展[M].廣州：中山大學出版，2013.

[3]吳平生.2006年高考遞推數列通項公式問題[J].中學數學研究，2006年增刊.

[4]曹才翰，章建躍.數學教育心理學[M].北京：北京師范大學出版社，1999.