中學數學部分概率內容的教學策略

曹廣福，羅荔齡

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中學數學部分概率內容的教學策略

曹廣福，羅荔齡

（廣州大學 數學與信息科學學院，廣東 廣州 510006）

針對超幾何分布、條件概率、離散型隨機變量與分布列、相互獨立的隨機事件與二項分布、數學期望與方差以及正態分布等中學數學概率中幾個重要概念，創設了真實的問題情境引導課堂教學，為教師的實際教學提供了具有可操作性的教學方案．特別對于正態分布密度函數的處理既不同于大學教材中的公式化定義，也不同于中學教材中頻率直方圖的極限定義．公式化的定義對于中學生顯得有些抽象，但利用頻率直方圖的極限定義，正態密度函數超出了中學生的知識點和認知能力，實際教學的可操作性不大．首先，從函數模擬現實圖象出發，通過現實的圖形與頻率直方圖的相似性找出模擬這類圖形的函數；其次，討論這類函數中的參數與圖象之間的關系；最后，再回到概率，討論參數與數學期望與方差的關系，既很好地解釋了正態分布密度函數的幾何意義與參數的概率意義，也適應中學生的認知能力．

超幾何分布；條件概率；離散型隨機變量；分布列；數學期望；方差；正態分布

1 引言

相比于大學的概率論，中學數學概率部分涵蓋的內容雖然比較淺顯，但涉及的概念并不少，除了古典概型、幾何概型，還包括隨機變量、超幾何分布、離散型隨機變量及其分布列、二項分布、數學期望與方差、標準差以及正態分布，其中正態分布是中學概率教學中的一大難點，根據研究者對不同地區一線教師的了解，學生普遍對這部分內容的理解有困難，尤其是教材的處理方法似乎超越了學生的認知范圍．例如，通過頻率直方圖的極限定義正態密度曲線存在幾個方面的認知困難：（1）中學階段并不專門介紹極限概念，而且頻率直方圖的極限與微積分里的函數極限還有所不同，它是指圖形的極限；（2）隨著樣本量的增加（頻率直方圖的加細），對應的是不同的隨機變量，換句話說，正態密度函數實際是頻率直方圖對應的隨機變量分布列的極限，學生對通常函數序列的極限尚且不知，如何保證對隨機變量分布列的極限能真正理解？（3）正態密度函數是連續型隨機變量的密度函數，但教材并不介紹連續型隨機變量的分布函數，忽然冒出一個正態密度函數顯得有些突兀．這里擬針對這些問題重組課堂教學，使之適應學生的認知能力．

2 超幾何分布與條件概率

即使一個隨機試驗的樣本空間是有限的，也并不意味著這是個古典概型，因為出現每一個結果的可能性未必相等．這就引出了概率分布列的概念．當然，理論上講，概率分布列也可以是無限的，但既然教材限于有限情形，不必節外生枝．不過教材中總是以拋硬幣和抽球問題作為例子顯得單調了一點，這里完全可以通過商品抽檢出現不合格品的概率為例說明概率分布列．例如可以通過下面的問題引導學生分析．

問題1：在件被抽檢的商品中，有(<)件不合格，從這些商品中隨機抽取一件，請用合適的隨機變量表示這個抽檢過程并寫出該隨機變量的分布列．

如果希望稍微復雜一點，不妨以優、良、中、合格、不合格等若干等級設計一個問題，就可以得到一般的概率分布列了．

教材中超幾何分布的正文雖然僅有兩頁紙，但依然有些啰嗦．如果僅僅是介紹超幾何分布的概率，寥寥數語就可以說清楚，但超幾何分布涉及組合問題，其中會出現一些比較復雜的問題，尤其是如果出現重復試驗的過程，問題則更復雜，也就是緊接著超幾何分布之后的條件概率．但教材中“2.3獨立性”不如換成“2.3條件概率”更合適，因為條件概率本身不僅重要，而且還是全概率公式、貝葉斯公式中必不可少的概念，事件的獨立性也是通過條件概率來描述的．

教材中這部分內容的編寫模式也值得斟酌．有些傳統還是值得肯定的，例如傳統教材中一個概念的出現一定會以“定義”的方式呈現，一個定理的出現也一定會以“定理”的字樣出現，這樣既突出了概念與定理，以便引起讀者的注意，也可以讓邏輯層次更清晰．以超幾何分布為例，雖然一般概率論教材并不單獨定義超幾何分布，但既然定義了這個概念，還是嚴格化一點比較好．可以由一個具體的例子切入，引入超幾何分布的定義．

定義1：假設集合含個元素，其中個元素具有性質，-個元素具有性質，從中任意抽取個元素，0≤≤，其中個元素具有性質，=0, 1, 2,…,，=min(,)，則稱該隨機事件的概率分布為超幾何分布．

在此基礎上引導學生回答這樣幾個問題：在這個隨機試驗中，樣本空間是什么？含多少樣本點？如何設置隨機變量？如何用隨機變量表示概率分布？

條件概率有兩種類型，一種是隨機試驗可能是重復進行的，也就是先有事件A，再有事件B，然后問在事件A發生的情況下，事件B發生的概率是多少？最典型的例子就是產品的抽檢，假設件產品中有件不合格（事件A），從這批產品中任意選取一件，發現是一件不合格產品，然后再抽取一件，第二次抽取的產品不合格（事件B）的概率是多少？這就是一個條件概率問題，也就是事件A發生的條件下事件B發生的概率．教材以兩次擲骰子為例顯得更簡單，更容易理解．還有一種條件概率問題與重復試驗無關，但與隨機事件的性質有關，例如隨機擲一枚骰子，出現的是奇數（事件A），計算出現的奇數大于1（事件B）的概率，這也是條件概率．在通過一些具體的例子給出條件概率的直觀描述后，應該給條件概率一個嚴格的數學定義．

定義2：設A、B是隨機試驗的兩個事件，且(B)>0，則稱(A|B)=(AB)/(B)為事件B已經發生的條件下，事件A發生的條件概率．

在此基礎上可以再通過一些例子強化．

問題2：很多隨機試驗相互之間可能是有關系的，而且隨機事件的發生有先后之分，能否舉例說明這種現象？

這個問題與抓鬮問題很容易混淆，學生比較容易犯迷糊，兩者之間的本質是不同的．第一個抓鬮的人是不能看結果的，只有大家都抓到之后才能看，所以無論先抓還是后抓，抓到某個鬮的可能性都是一樣的．但如果先抓的人知道了結果，情況就不一樣了．如果學生能找到合適的例子，可以針對學生的例子進行分析，如果學生找不到，可以參考下面的問題．

問題3：假設箱子里有10個白球，20個黑球，這些球除了顏色不同，質地、大小、形狀完全一樣．兩個人分別從箱子里各摸一個球，但第一個人摸出來后不再放回，第一個人摸球的結果對第二個人有沒有影響？如何計算第二個人摸到白球的概率？

當然對學生說清楚AB不能寫成A與B的交就可以了，除非樣本空間是清楚的，A與B也明確表示成了樣本空間的子集．

當(A)>0時，將條件概率的定義變換一下形式便得到

稱該式為概率的乘法公式．

問題4：(B|A)是否具有與概率類似的性質？即非負性、規范性、可加性．

3 離散型隨機變量與分布列

離散型隨機變量是針對隨機變量的取值來定義的，與樣本空間的大小無關，例如假設樣本空間是單位圓，設Ω是半徑為（<1）的圓，記

()顯然是一個隨機變量，而且僅取兩個值，所以它是一個離散型隨機變量．

定義3：如果隨機變量的取值是一個數列，則稱該隨機變量為離散型隨機變量（discrete random variable）．

問題5：100件產品中有10件次品，任意抽取4件，其中可能含多少件次品？如何用隨機變量表示這個隨機

試驗？

隨機變量的重要意義是可以利用它表示隨機事件．

問題6：假設是問題5中的隨機變量，{<3}表示什么事件？如何用表示“抽出3件以上次品”這一隨機

事件？

有這樣一個問題：“燈泡的壽命是不是隨機變量？”的取值固然是清楚的，它是燈泡壞了的時間點，那么基本事件是什么？學生或許會理解成：任取一個燈泡，該燈泡的壽命是多少？這個隨機試驗的樣本空間實際是時間，也就是任取一個時刻，燈泡可能壞了也可能沒壞，所以燈泡的壽命理論上可以是任意的時間長度．

如果隨機試驗是任取一個燈泡，檢驗其壽命，樣本空間是什么？隨機變量是不是離散的？

由于燈泡的壽命不可能是無限的，每個燈泡有其特定的壽命，所以如果隨機試驗是隨機取一個燈泡，檢驗其壽命，按照隨機變量的定義，有限樣本空間上的隨機變量只能取有限個值，它當然是離散的隨機變量．

根據以上分析，教師如果以燈泡壽命作為隨機變量的例子，最好解釋清楚樣本空間是什么．

一般情況下，廠家或管理部門判斷一個燈泡是否合格，往往是規定其使用壽命不能低于多少小時，所以也可以根據使用時間是否達到要求定義隨機變量．例如，假若規定燈泡的使用壽命超過2?000小時為合格，低于2?000小時為不合格，則可以定義隨機變量如下：設樣本空間Ω為一批燈泡，燈泡對應的值()為

這里僅取0和1兩個值，顯然是一個離散隨機變量．

連續型隨機變量在中學階段的確不適合深究，因為其結構非常復雜，不妨稍微直觀一點．如果課堂上介紹分布函數概念，則可以簡單地把連續型隨機變量定義為分布函數連續的隨機變量．如果課堂上不介紹分布函數，則可以采用如下定義．

定義4：如果隨機變量的取值范圍是某一個區間，這樣的隨機變量稱為連續型隨機變量．

但要注意的是，這個定義與分布函數連續的隨機變量并不等價．

既可以找到符合定義4，但分布函數間斷的隨機變量，也可以找到具有連續分布函數的隨機變量，其取值范圍并不充滿任何區間．

通過下面一系列問題可以逐步引導學生認識離散型隨機變量的基本特征與性質．

問題7：回憶一下隨機變量的定義，能否用圖表表示離散隨機變量的概率分布？如何表示？

通過這兩個問題引導學生搞清楚兩個問題：（1）離散型隨機變量可以用圖表來表示其概率分布，從而可以一目了然地看出概率的變化規律；（2）隨機變量的函數不會改變其屬性，即離散型隨機變量的函數仍是離散的，連續型隨機變量的函數仍是連續的．

1，2，…，3，…，

ξx1x2…xi… Pp1p2…pi…

問題10：回憶任何隨機事件發生的概率都滿足：0≤(A)≤1，并且不可能事件的概率為0，必然事件的概率為1．請據此總結分布列具有什么性質．

（1）p≥0，＝1, 2, …；

（2）1+2+…=1．

問題11：假設離散變量的分布列為

ξx1x2…xi… Pp1p2…pi…

4 相互獨立的隨機事件與二項分布

學生對隨機事件的獨立性不會有太多理解上的困難，可以讓學生自己尋找一些例子，從而更好地辨別相互獨立的隨機事件，下列問題可以作為參考．

問題12：箱子里有3個白球，2個黑球，某人從箱子里隨機摸一個球后發現是白球，于是又放回去，然后再次從箱子里摸一個球，希望能摸出一個黑球來，他第二次摸到黑球的概率會不會受到第一次摸球的影響？

由于是有放回地抽樣，后一次抽樣的樣本空間與前一次的樣本空間是一樣的，所以前一次抽樣不會對后一次抽樣產生影響．

問題13：請舉出幾個相互對結果不會產生影響的隨機事件．

定義5：設A、B為兩個事件，如果(AB)=(A)(B)，則稱事件A與事件B相互獨立（mutually independent）．

事件A（或B）是否發生對事件B（或A）發生的概率沒有影響，這樣的兩個事件叫做相互獨立事件．

問題14：記Ac與Bc分別是A與B的對立事件，如果A與B是相互獨立事件，則A與Bc，Ac與B，Ac與Bc是否相互獨立？

問題15：如果事件A1，A2，…，A相互獨立，如何計算這個事件同時發生的概率？

問題16：如果反復拋擲一枚質地均勻的硬幣10次，出現4次正面的概率是多少？出現5次正面的概率是多少？出現幾次正面的可能性最大？

這個問題是獨立重復試驗的簡單模型，有了前面的獨立事件概念做基礎，在教師引導下，學生應該不難回答這個問題，它可以幫助學生復習組合數的性質．

定義6：一個隨機試驗如果在同等條件下重復進行次，則稱這個實驗為次獨立重復試驗，也稱為貝努利試驗．

貝努利試驗是概率論中非常重要的試驗，也有著十分重要的現實意義，但有了組合的基礎與獨立事件的概念，學生在理解上應該沒有本質的困難．課堂可以直接從組合的角度進行分析，也就是按照教材的第二種分析法講授，遠比第一種分析法簡單明了．

問題17：如果在一次隨機試驗中某事件發生的概率為，那么在同等條件下進行次重復試驗，這個事件恰好發生(≤)次的概率是多少？

這個問題與問題16的唯一差別在于，問題16中拋擲硬幣出現正反面的概率都是1/2，但一般的隨機試驗出現某個結果和不出現某個結果的概率可能是不同的，然而處理這類問題的方法與問題16并無本質區別，所以教師可以由學生歸納總結出一般規律．

于是得到隨機變量的概率分布如下．

ξ01…k…n P……

5 數學期望與方差

數學期望類似加權平均，學生對算術平均耳熟能詳，但對加權平均了解不多，現實中加權平均的例子并不鮮見．方差則是學生比較陌生的概念，可以從生活中常見的問題入手引導學生進行思考．

問題18：當我們考完試之后，教師通常需要進行考試情況分析，幫老師想想看，需要做哪些分析？

最高分、最低分以及平均分是學生最容易想到的，但方差就不是學生能獨立思考出來的了，教師可能需要圍繞著問題18作進一步提示，如何分析考試成績的分布狀況？通常最集中的分數段是什么？這可以讓學生對后面要學習的正態分布有一個直觀體驗．

問題19：高考中，語文、數學、英語滿分各150分，物理滿分110分，化學滿分100分，生物滿分90分，總分750分．但150分的題量顯得有些大，因此決定將各門課程都統一成滿分100分，但仍然要體現各門課程所占比重的差別，如果總分仍然為750分，你能否為此設計一個方案？

通過這個問題可以讓學生對加權概念有初步了解．類似這樣加權計分的情況生活中很常見，例如在很多評價指標中，各項指標的分值是有差別的，這就反映了不同指標的權重是不同的．

這個問題與問題19有相似之處，不同點是，問題19是一個確定性問題，問題20則是隨機性問題．有問題19做鋪墊，學生應該可以想到該如何定義離散型隨機變量的“均值”．不過正式的定義最好不要稱之為均值，使用通用的術語“數學期望”更合適一點．

…………

故次射擊的總環數大約為

因此，次射擊的“平均”環數約為

這個“平均數”與問題19中的加權平均很相似，通常稱之為數學期望．

定義7：若離散型隨機變量的概率分布為

ξx1x2…xn… Pp1p2…pn…

數學期望是隨機變量的一個重要特征數，它反映了隨機變量取值的平均水平．如果的概率分布滿足

這是通常的算術平均，也是把的數學期望稱為平均數或均值的原因．對于連續型隨機變量則需要利用積分計算其數學期望．

問題21：甲乙兩家企業員工規模差不多，兩家員工（包括總經理、中層管理人員及普通員工）年平均收入也差不多，但乙單位的普通員工總是埋怨收入不高，甲單位的員工則心態比較平和，沒人抱怨，你能分析一下兩家員工的心態為什么有差別嗎？

問題18雖然不屬于隨機問題，但與隨機現象有相似之處，乙單位員工之所以心態不平衡，是因為收入的兩極分化現象比較嚴重，極少數人的高收入把平均收入拉高了，普通員工的實際收入遠低于平均水平，甲單位相對均衡一些，大多數人的收入集中在平均水平．如何建立數學模型反映兩個企業員工的收入差別？

經過對這個問題的分析，后面引入方差概念就不難理解了．在問題21中，如果簡單地用每個員工的收入減去平均收入然后求和，未必能反映出兩個企業員工的真實差別來，因為兩個企業員工的構成可能有所差別．例如假設甲乙兩個企業各有員工人，平均收入均為，其中甲企業低收入員工有1人，收入為1，中等收入員工有2人，收入為2，高收入員工有3人，收入為3，1+2+3=．乙企業低收入員工有1人，收入為1，中等收入員工有2人，收入為2，高收入員工有3人，收入為3，1+2+3=．比較兩個企業員工收入差別的合理指標應該是：

問題22：如果離散隨機變量的分布列為

ξx1x2…xn… Pp1p2…pn…

離散隨機變量的分布列為

ηy1y2…yn… Pq1q2…qn…

如何分析這兩個隨機變量之間的差別？

有問題21作基礎，學生應該不難理解，僅僅比較兩個隨機變量的數學期望是不夠的，還需要比較這兩個隨機變量的取值偏離數學期望的程度．

定義8：假設隨機變量的分布列為

ξx1x2…xn… Pp1p2…pn…

問題23：隨機變量的方差與標準差反映了隨機變量的何種特征？

問題24：既然有了方差，為什么又定義標準差？

標準差與隨機變量本身有著相同的量綱，在描述隨機變量偏離數學期望的范圍時標準差比方差更方便．例如，甲企業的平均年收入是200?000，標準差是20?000，那么方差就是20?0002．可以進行的比較簡便的描述是該企業員工收入分布是200?000±20?000，使用方差就無法做到了．

應該注意的是，數學期望未必對任何概率分布都存在，無論是無窮的分布列還是連續型分布，數學期望都可能不存在．例如，可以取分段函數如下：

這說明該概率分布的數學期望是無窮大．

離散隨機變量的分布列也可能沒有數學期望，例如，令x=2，p=1/2，=1, 2, 3,…,,…，則如下的分布列

Xx1x2x3…xn… Pp1p2p3…pn…

沒有數學期望，或者說數學期望為∞．

6 正態分布

大學教材通常是采用公式化的方法定義正態分布密度函數，然后反推以這個函數為分布密度的隨機變量，其數學期望與方差剛好是該函數中的兩個參數，接著通過參數的變化解釋其數學期望及方差與圖形的形狀之間的關系，這個方法對于中學生顯然有些困難（參見文[1]和文[2]）．但中學通過頻率直方圖不斷加細（數據量越來越大）來說明正態密度函數需要經過3個質的飛躍：從直方圖經過極限過程得到概率密度曲線，再從概率密度曲線過渡到具有兩個參數的正態分布密度函數，最后根據正態分布密度函數指出數學期望和方差恰好是函數的兩個參數．很難想象，初學微積分的中學生如何在短短一節課的時間內完成這3個飛躍．因為此前學生對連續型分布一無所知，什么叫概率密度曲線？它跟概率是什么關系？是哪個隨機變量的概率密度？數據越來越多，意味著樣本空間在發生變化，換言之，隨機變量在發生變化，那么經歷了極限過程后，這些隨機變量變成了什么？恐怕沒有哪個教師能回答這些問題．

教材的確針對不同的參數分析了正態密度曲線將呈現何種變化，問題是，其中的參數是什么？哪里來的？教材并未作出解釋，教師在課堂上能作出解釋嗎？

這里做一個大膽嘗試，結合現實中常見的問題以及教材中的例子，從圖象的特征出發尋找可以模擬這類圖象的函數．以函數模擬曲線作為出發點給予闡述是學生容易接受的一種方式，進一步通過函數的參數與函數圖象形狀的關系解釋清楚隨機變量的數學期望及方差與正態分布密度函數中參數的關系．

無論是連續型正態分布還是離散型頻率直方圖，教學的重點在于讓學生理解這兩類圖形的高低、寬窄及位置的變化與數學期望、方差之間的關系．是連續曲線還是分塊矩形本身并不重要，它們不過是外表，關鍵是要搞清楚內在的本質關系．

問題25：觀察下面的圖片，它們有什么共同點？有什么不同點？

問題26：上述兩幅圖的剖面圖是什么形狀？

可以通過板書或PPT形式畫出大概的剖面圖，此處不必急于講正態分布概念，不妨對這類圖形用數學方法進行模擬，得到一般圖象的數學表達，再過渡到正態分布概念．

在研究了上述問題之后，有條件的話不妨介紹高爾頓實驗板，還可通過Matlab等數學軟件進行演示，效果可能會好得多．

問題27：如果用頻率直方圖將班級某門課程的考試成績表示出來，這個直方圖大概是什么形狀？

不妨以幾次真實的班級考試成績作為例子畫出直方圖，正常情況下，成績的分布是呈正態分布的，教師可以事先拿幾份統計數據試做一下．

某版教材通過一組身高數據得到一個直方圖也是可以的，教師課堂上直接使用這個例子也未嘗不可，不管這個例子是不是杜撰的，無傷大雅，至少還是有一定現實意義的．

從某中學的男生中隨機地選出84名，測量其身高，數據（單位：cm）如下：

上述數據的分布有怎樣的特點？

為了研究身高的分布，可以先根據這些數據作出頻率分布直方圖．

第一步 對數據分組（取組距=4）；

第二步 列出頻數（或頻率）分布表，如圖所示；

第三步 作出頻率分布直方圖，如圖所示．

然而，中學講授微積分并不介紹極限概念，在沒有正式講授微積分之前，從頻率直方圖過渡到連續的分布密度曲線，對學生而言有本質的困難．事實上，無論你的樣本空間有多大，統計出來的總是一個頻率直方圖，所謂數據無限增多只能憑想象，在建立極限概念之前，學生是無法真正理解這個過程的．而且，某版教材簡單一句話便從頻率直方圖過渡到概率密度曲線，緊接著便寫出了正態密度曲線的函數表達式，并針對密度函數的兩個參數對函數性質進行了大量分析．最后指出，兩個參數分別是隨機變量的數學期望與均方差．恐怕再高明的教師也沒有能力在課堂上給學生來一個三級跳：從頻率直方圖跳到概率密度曲線，從概率密度曲線跳到正態分布密度函數，再從正態分布密度函數跳到參數的內涵描述．

中學階段的正態分布教學應適可而止，或者只介紹頻率直方圖，最多做一番直觀解釋．當數據越來越大時，頻率直方圖中每一個小矩形條會越來越窄，其形狀很像一個倒掛的金鐘．待到大學階段，系統學習了微積分之后再來學習連續型的正態分布為時不晚．或者引入問題1，從純函數的角度模擬這個形狀，得到正態分布密度曲線．

問題28：比較問題26與問題27所得到的兩個圖，雖然兩者細節上的差別很大，但形狀有什么特點？能不能用數學模型把問題26中的圖形模擬出來？

可以引導學生進行分析，曾經學過的哪些函數其形狀與這個圖形有相似之處？如何對熟悉的函數做適當改進使其圖象與這個圖形接近？下圖中的指數為什么是2而不是？

（）

通過對問題26與問題27的比較，引導學生分析兩者之間的共同特點，雖然前者是曲面的剖面，它是連續的曲線，后者是一些矩形圖構成的，但其形狀頗為相似，當數據非常龐大時，矩形的寬會變得很窄，通過下面兩幅圖片可以說明這個過程．

問題29：問題28圖（）與圖（）及圖（）的形狀雖然相似，但由于坐標系的建立有所不同，其函數的形式也有所不同．能不能通過對圖（）中的函數做適當修改得到類似圖（）或圖（）的函數關系？

（1）那個函數指數前面的系數是怎么回事？

（2）圖象的形狀也許相似，但寬窄很可能有差別，這種差別如何通過函數反映出來？

系數不是關鍵，因為這里的()表示的并非概率分布，而是概率的密度，類似離散情況下的分布列中隨機變量取某個值時的概率．所以這個系數是根據對概率的計算得到的，假定學生已經學過微積分，那么密度函數滿足

問題并沒有完全得到解決，因為是在假定數學期望與方差已知的情況下得到的分布密度函數，如果問題反過來呢？

問題30：如果隨機變量的分布密度為

問題31：如果已知隨機變量的密度函數，如何求其概率分布函數？

只要是了解一點積分理論的學生不難回答這個問題，但有些學校也許在微積分之前講授概率論．如何解決這個矛盾？可以利用直方圖來解釋這個問題，頻率直方圖中每個小的矩形代表離散型隨機變量取某個值的概率，如何求隨機變量小于某個值的概率？顯然

換言之，將所有取值小于的概率相加就得到(<)了．離散型隨機變量的分布列相當于連續型隨機變量的密度函數，對于連續型隨機變量來說，其分布函數為

如果時間允許，在上述分析的基礎上，不妨針對不同的參數繪制幾個正態密度函數的圖象．

[1] 蘇淳．概率論[M]．北京：科學出版社，2010：43-106．

[2] 盛驟，謝式千．概率論與數理統計及其應用[M]．北京：高等教育出版社，2004：25-68．

Teaching Strategy of Part Probability Content in Middle School Mathematics

CAO Guang-fu, LUO Li-ling

(Faculty of Mathematics and Information Science, Guangzhou University, Guangdong Guangzhou 510006, China)

In this paper, several important concepts in probability, such as hypergeometric distribution, conditional probability, discrete random variables and distribution column, independent random events and binomial distribution, mathematical expectation and variance, and normal distribution, were created to guide classroom teaching in real problem situations, which provided practical teaching scheme for teachers. In particular, the normal distribution density function was not the same as the formulaic definition in college textbooks and the limit definition of frequency histogram in middle school textbooks. According to the authors, the definition of formulaic was abstract for middle school students, but using the limit of frequency histogram to define normal density function was beyond the knowledge point and cognitive ability of middle school students, and the practical teaching was not operable. This paper starts from the function simulation of the real image, through the similarity between the real graph and the frequency histogram to find out the function to simulate such graph. Then discuss the relation between the parameters and the image, finally, return to the probability, discuss the relation between the parameters and the mathematical expectation and the variance.

hypergeometric distribution; conditional probability; discrete random variable; distribution column; mathematical expectation; variance; normal distribution

2018–06–20

國家“萬人計劃”領軍人才、廣東省“特支計劃”、廣州市教育名家工作室聯合資助

曹廣福（1960—），男，江蘇海安人，教授，博士生導師，首屆國家高等學校教學名師獎獲得者，入選國家“萬人計劃”領軍人才，主要從事數學研究與數學教育研究．

G420

A

1004–9894（2018）05–0017–08

曹廣福，羅荔齡．中學數學部分概率內容的教學策略[J]．數學教育學報，2018，27（5）：17-24．

[責任編校：周學智、陳漢君]