基于整體理解的“勾股定理”教學再探——與吳增生老師商榷

王海青，曹廣福

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基于整體理解的“勾股定理”教學再探——與吳增生老師商榷

王海青1，曹廣福2

（1．惠州學院 數學與大數據學院，廣東 惠州 516007；2．廣州大學 數學與信息科學學院，廣東 廣州 510006）

數學教學過程要講清知識的來龍去脈，揭示數學本質，體現數學精神．據此確定勾股定理的教學重點為：定理的發現及證明過程蘊含的數學思想與方法．教師需借助歷史梳理知識背后的精神實質并依據教材把握教學內容的地位與作用，從而建構對勾股定理的整體認知．結合學生實際設置合適的問題情境與探究活動，實現以“問題驅動教學”的高效數學課堂，讓學生真正經歷知識的“再發現”并體驗相應的思想方法．

數學教學；勾股定理；教學價值；整體教學觀

在數學的浩瀚海洋里，能受眾廣泛又自帶娛樂色彩的數學定理也許非“勾股定理”莫屬了．古往今來，從數學家到普通民眾甚至是位高權重的總統都樂于尋找勾股定理各種有趣的證明方法．有著者[1]從近四百種不同的證法中精選出365種編寫成冊供讀者賞析，其中不乏簡明直觀的初等證明．關于勾股定理的研究文獻[2-5]有很多，大家從情境創設，探究活動的組織，內容剖析或文化差異等不同視角提出建議與見解．那么，從教學的角度審視，如何看待勾股定理在教材中的地位和作用？它的教學價值與重點是什么？

1 爭鳴的背景

2017年2月，吳增生老師等人在《數學教育學報》的第26卷第1期發表了題為“勾股定理教學實驗研究——讓學生真正經歷勾股定理的‘再發現’過程”[6]的文章．作者力求讓學生自然經歷知識的再發現過程來展開教學探究活動．文[6]歸納了日本、新加坡及國內數學教材的幾個不同版本關于“勾股定理”教學內容的呈現方式：直接給出命題并加以證明；讓學生直接測量直角三角形的三邊，發現結論再利用面積法加以證明；在網格中計算直角三角形三邊所對應的正方形的面積，發現3個面積之間的關系引出命題；直接讓學生用4個全等的直角三角形拼出正方形，根據面積關系來發現定理．第一種方式是公理化體系的典型表現，而后面3種方式的發現過程又顯得造作生硬，難于讓學生自然經歷定理的再發現過程．因此，文[6]結合數學史和學生的認知設計了以下探究活動：（1）用大小相同的正方形紙片剪拼成一個大正方形；（2）用大小不同的正方形紙片剪拼成一個大正方形．學生在類比任務（1）的基礎上完成任務（2），在解決問題的過程中發現勾股定理．實驗表明這樣的探究發現過程獲得較好的教學效果．

教材的各種呈現方式以及文[6]的教學改進反映了勾股定理教學的3個層面[2]：（1）知道勾股定理；（2）證明勾股定理；（3）發現勾股定理．知道或證明勾股定理是較為容易的，屬于淺層次的教學，也是目前教案設計中常見的情形．要讓學生在不知道勾股定理的情況下發現它卻是很困難的工作．文[6]正是基于第（3）層面的考慮，將教學重心放在對定理的“再發現”這個深層次的教學目標上，凸顯了教學設計的高度．

荷蘭數學教育家弗萊登塔爾認為：“年輕的學習者重蹈人類的學習過程，盡管方式改變了．”[7]所以數學教學就是數學的再發現過程，他強調教師應依據歷史及學生的實際對教學內容進行“再創造”，引導學生經歷發現數學知識的過程，更要體驗知識背后所蘊含的數學思想與方法．那么，文[6]創設的探究活動（1）和（2）是否符合勾股定理的歷史發展過程？文[6]的探究目的是引導學生“再發現”勾股定理，體驗自我發現的快樂與成就感，除此之外，還應讓學生掌握哪些更為重要的數學本質呢？

2 基于整體理解的中學數學教學思考

教學設計總是要圍繞著3個基本問題[8]（教什么，怎么教以及教的效果）展開探討，也即對應于教學內容、教學形式和教學效果3個方面．回答“教什么”要遠比“怎么教”重要，因為教學內容決定著教學的形式．李大潛院士說：“數學教育的本質是一種素質教育，學數學不是學定理，背公式，而是提高素養．”[9]因此，數學教學應該講清楚知識的來龍去脈，豐富的內涵和廣泛的應用性，及其背后的精神實質和思想方法．高水平的數學教學應該是教師通過具體知識的教學揭示其中的隱性知識——數學的本質、過程、思想和結構[10]．

傳統的數學知識大都是為了解決生活問題、自然科學問題或是數學自身的邏輯問題而形成的，都有真實的背景，它們具有一定的生活意義、數學價值或科學價值[11-12]．所以，教師要掌握數學學科的整體結構才能更好地把握承載在具體知識之上的數學本質．另外，數學教學的重要原則是“揭示內在聯系，構建知識網絡”[13]．這也亟待教師具備整體的思考理念和教學觀，將具體的課時知識置于單元、學段乃至數學學科的整體框架中進行分析．而數學史記載著數學知識和思想的形成過程，教師可以借助歷史追溯知識的本源與發展過程，解決問題過程中所使用的方法策略．數學史也能幫助教師預測學生的認知困難，因為個體對數學理解的發展遵循數學的歷史發展順序，即通常所說的“歷史相似性”[7，14]．

可見，教師需依據歷史揭示知識背后的思想方法，借助教材的整體結構把握教學內容的地位與作用．由此結合學生的實際進行“再創造”，設置合適的問題情境與探究活動，實現以“問題驅動教學”[5，11，15]的高效數學課堂，讓學生真正經歷知識的“再發現”并體驗相應的思想方法．

3 中西方數學發展史中的“勾股定理”

3.1 勾股定理與古希臘數學

勾股定理起源于實際測量和計算是沒有疑問的．在西方，勾股定理被稱為畢達哥拉斯定理．直角三角形中的三邊關系，早在古巴比倫時期人們就已經知道并用于計算，他們還知道許多勾股數組．但那時還沒有嚴格證明的思想，他們是在解決實際問題中從直觀認識得出結果并用于一般情況．到了古希臘，勾股定理雖然以畢達哥拉斯命名，但許多研究表明這個學派可能并未給予證明，最合理的解釋是：他們根據一些特例來肯定所得的結果[16]．

有史學家把勾股定理的第一個嚴謹證明歸功于古希臘的數學家歐幾里得（公元前325年—前265年）．歐幾里得的《原本》是一本知識豐富且最早以公理化體系組織內容的數學書籍．他關于勾股定理的證明過程突出體現了《原本》在處理幾何與代數問題時所采用的主要思想——數形結合、轉化與等積變換．在中學數學教學中，不管是在幾何還是在代數方面，這些思想的適用性都不勝枚舉．

圖1

圖2

圖3

圖4

3.2 勾股定理與古代中國數學

在古代中國，勾股定理的發現要遠早于西方．《周髀算經》與《九章算術》是數學經典巨著，凝聚了前人的智慧結晶，也高度反映了當時的中國數學家重視計算與應用的典型特征．

中國最古老的一部數學著作《周髀算經》成書于公元前1世紀西漢商高時代，東漢三國時期吳國的趙爽（約公元182年—250年）曾為其作注．《周髀算經注》中記載了趙爽為證明勾股定理所作“勾股圓方圖”即“趙爽弦圖”（如圖5）．這是極具東方特色的勾股定理無字證明法，證明的思路直觀體現在由4個直角三角形所構造的正方形圖形中．而《九章算術》成書于東漢初期，現今流傳的大多是東漢末年三國時期魏晉數學家劉徽（約公元225年—295年）的《九章算術注》．劉徽根據“出入相補原理”即割補術給出了青朱出入圖（如圖6）證明了勾股定理．與《原本》類似，劉徽在注中也根據面積概念幾何地論證了平方差公式．

圖5

圖6

出入相補原理或稱割補術就是一種面積變換法．所以，不管是在古希臘還是在古代中國，面積法的使用都非常廣泛．在《九章算術》第一章“方田”[17]中就專門介紹了出入相補原理及其應用，平面幾何圖形的面積公式都利用割補“以盈補虛”轉化為已知圖形面積來推導．比如，三角形面積的推導轉化為等積的矩形來計算．如圖7，過三角形兩邊的中點作高構造出矩形，易得三角形的面積為“半廣乘正從”，“廣”指三角形的底，“正從”指三角形的高．

圖7

多邊形可以分割成三角形，三角形則可轉化為等積的矩形，而利用直角三角形的射影定理可以作一正方形為等積的矩形（方出于矩）．因此，正方形是一個特殊的存在，三角形、矩形、平行四邊形與梯形等平面圖形的面積公式都由此衍生．這也就不難理解古人為何如此熱衷于此類尺規作圖問題：作一個立方體，使它的體積是已知立方體體積的兩倍（倍立方問題）；作一個正方形，使它的面積等于已知圓的面積（化圓為方問題）；做一個正方形為兩個已知正方形的面積等．前兩個是歷史上有名的尺規作圖不能問題，第三個問題的解答則對應于劉徽的“青朱出入圖”，詳解如圖8．如果問題三中的兩個正方形變為兩個全等矩形，也可以類比“青朱出入圖”構造出正方形，如圖9，這就是前面提到的“趙爽弦圖”．

圖8

圖9

由此可見，文[6]設置的探究活動是符合歷史的發展情形的．依據歷史，或許可以得出這樣的結論：古人在丈量土地和實際的測量中歸納出勾股定理這個結論，而在利用等積變換的思想處理作圖等數學問題中自然地發現了圖中隱含了勾股定理的證明過程．也正是因為勾股定理的結論與證明不同步，造成了教學處理上的困難．

4 對勾股定理教學內容的整體理解

數學史所展現的知識脈絡有助于教師對勾股定理的整體認識，理解知識及背后所涉及的思想與方法，幫助教師分析其在教材中的地位并確定教學重點．

4.1 勾股定理在教材中的地位與作用

從教材的橫向結構即初中學段的數學內容看，勾股定理能解決許多關于三角形的長度和角度的計算與證明問題，且其證明思想與許多看似無關的知識點聯系緊密．事實上，面積法是處理平面幾何問題不可或缺的重要方法．比如，三角形中位線定理就可看作是利用割補法推導三角形面積公式時的一個衍生結論，圖7就隱含了它的證明過程．自然可以通過問題“如何將一個三角形變為等積的矩形”來展開三角形中位線定理的探究教學．在代數方面，比如前面提到的完全平方公式和平方差公式的幾何解釋，就是直接利用了勾股定理的證明思路，將數量關系轉化為面積關系，將代數的形式表述轉化為幾何的直觀描述．

圖10

4.2 勾股定理的教學價值與重點

不言而喻，勾股定理在整個中學階段具有舉足輕重的地位，其證明所涉及的轉化、等積變換與數形結合的數學思想方法貫穿整個中學數學的教學．教材是知識的載體，中學數學教學的核心應體現數學的思想性，揭示知識背后的研究精神與價值．因此，勾股定理的教學價值在于：一是它能解決實際問題具有生活意義；二是定理證明所蘊含的豐富而重要的數學思想方法；三是定理證明所反映的東西方數學文化的差異性；四是定理所體現的數學對仗工整與簡潔之美．這些恰恰是學生為什么要學，教師為什么要教的原因，也是勾股定理的教學重點所在．

5 從歷史到課堂：勾股定理的教學思路分析

教學過程要揭示數學本質，體現數學精神．對照前面提到的勾股定理教學的3個層面，教師更應該著眼于教學的第四個層面：勾股定理的發現及證明過程蘊含的數學思想與方法．勾股定理的結論屬于知識層面，而發現與證明過程中所使用的思維方式與研究方法等屬于思想層面．因此，文[6]的教學設計還有優化的空間，在引導學生自然發現勾股定理的基礎上需進一步揭示知識的思想性．基于對勾股定理的整體認識，可按以下教學思路帶領學生展開探究．

（1）設置具有生活意義的現實情境引入課題．

人們在現實生活中要處理許多的測量問題，比如長度、面積或體積等．由于受到實際情形的限制，有些數值需借助其它容易測量的數值進行計算．看下面一個問題．

維修工人要對一面有圓形拱門的墻體進行修繕，如圖11．工人們要測量圓形拱門的最高點與地面的距離，但身邊只有一把短尺和一架已知長度為5米的梯子．他們將梯子的末端架在拱門的頂部位置，測出此時梯子接觸地面的一端到拱門底部的距離為3米，從而計算出拱門的高．你知道圓形拱門的高是多少嗎？為什么？

圖11

圖12

顯然之前的知識不夠用了．這節課大家的主要任務就是一起“解碼”直角三角形的三邊關系并解決這個實際問題．

（設計意圖：通過創設現實情境，讓學生體會到即將學習的新知識的重要性，它具有現實意義和生活價值，激發求知欲．同時，引導學生將現實情境轉化為數學模型與問題，重視“橫向數學化”[7]的教學，培養學生簡單的數學建模思想．）

（2）新課探究，提煉結論和數學思想．

在測量技術與工具都比較落后的古巴比倫和古中國時代，因為經常洪水泛濫沖毀田地，人們需要不斷丈量土地的距離與面積．慢慢地人們歸納出許多計算長度和面積的實用方法和公式．在面積計算上，正方形是最簡單也是最重要的平面圖形．因此，古代的數學家對有關正方形的作圖問題非常感興趣．

問題1：如何作一個大正方形為兩個大小相同的正方形面積之和？

圖13

分析歸納圖13的構造要點：沿對角線剪取三角形是為了拼補后的圖形鄰邊相等且相互垂直（小學已有正方形的定義）．再改變問題1的條件將其一般化．

問題2：如何作一個大正方形為兩個大小不同的正方形面積之和？

引領學生歸納探究過程：問題1和問題2的解決都運用了割補即等積變換的思想；從問題1到問題2的過程涉及特殊到一般、類比的思想；在概括定理的文字表述和代數形式描述時體現了數形結合的思想；正方形的面積關系轉化為直角三角形的邊長關系，實現了一維的長度問題與二維的面積問題的相互轉化．證明過程還提供了一個解決代數問題的思路：許多代數表達式中兩數乘積，3數乘積可轉化為面積、體積來處理．

（設計意圖：通過兩個問題的探究讓學生自然地發現勾股定理，經歷和體驗數學再發現的過程與樂趣．更為重要的是，在探究過程中和探究之后教師重視引導學生歸納所涉及的數學思想方法，揭示知識背后的數學本質．）

（3）定理的應用與鞏固．

利用勾股定理立刻可以解決前面圓形拱門高的實際問題．然后結合學生實際和教材內容設置有梯度的習題加以練習，加強學生對勾股定理的認識與運用．

（限于篇幅，習題從略．）

（4）不同證明的欣賞與比較，突出思想的統一性和東西方文化的差異性．

根據教學時間向學生介紹“趙爽弦圖”（圖9）和歐幾里得證法（圖1），它們也都充分運用了等積變換、轉化與數形結合的思想，卻又各具特色．歐幾里得證法推理嚴謹，重在演繹．趙爽和劉徽的證法通俗易懂，重在應用．兩者的證明也反映了古代中國和古希臘兩種不同風格的數學文化．古希臘人追求用公理進行邏輯推演，注重理性思維的培養，而中國古代數學則崇尚實用和算法．

（5）課堂小結．

引導學生從以下3個方面對該節課的內容進行梳理和歸納：

首先，利用勾股定理可以解決哪些數學問題？

其次，在勾股定理的發現和證明過程中，運用了哪些數學思想與方法？

最后，勾股定理及其證明的美學價值在哪里？

[1] 李邁新．挑戰思維極限——勾股定理的365種證明[M]．北京：清華大學出版社，2016：1-247．

[2] 張廣祥．從勾股定理看數學探究[J]．數學教學通訊，2003（2）：1-3．

[3] 楊小麗．勾股定理的PCK內涵解析[J]．數學通報，2011，50（3）：40-43．

[4] 王芳，張維．多元文化下的勾股定理[J]．數學教育學報，2004，13（4）：34-36．

[5] 張蜀青，曹廣福．以問題驅動的原理課教學——以勾股定理教學為例[J]．中學數學月刊，2014（8）：34-35．

[6] 吳增生，鄭燕虹，李宏彥，等．勾股定理教學實驗研究——讓學生真正經歷勾股定理的“再發現”過程[J]．數學教育學報，2017，26（1）：50-54．

[7] 弗萊登塔爾．作為教育任務的數學[M]．上海：上海教育出版社，1992：94-95．

[8] 馬蘭．整體化有序設計單元教學探討[J]．課程·教材·教法，2012，32（2）：23-31．

[9] 李大潛．數學學習的本質是提高素質[N]．中國青年報，2012-07-16（9）．

[10] 李祎．高水平數學教學到底該教什么[J]．數學教育學報，2014，23（6）：31-35．

[11] 曹廣福，張蜀青．論數學課堂教學與評價的核心要素——以高中導數概念課為例[J]．數學教育學報，2016，25（4）：17-20．

[12] 曹廣福．論數學教育的本質[DB/OL]．（2016-05-26）[2018-04-01]．http://blog.sciencenet.cn/blog-40247- 979814.html．

[13] 教育部基礎教育課程教材專家工作委員會．義務教育數學課程標準（2011年版）解讀[M]．北京：北京師范大學出版社，2012：176．

[14] 汪曉勤，方匡雕，王朝和．從一次測試看關于學生認知的歷史發生原理[J]．數學教育學報，2005，14（3）：30-33．

[15] 張蔭南．新概念數學——用“問題驅動”的數學[J]．數學教學，2004（4）：1-2．

[17] 徐品方．白話九章算術[M]．成都：成都時代出版社，2002：37．

Reconsideration of Pythagorean Theorem Teaching Based on Holistic Understanding——Discussion with WU Zeng-sheng

WANG Hai-qing1, CAO Guang-fu2

(1. School of Mathematics & Big Data, Huizhou University, Guangdong Huizhou 516007, China; 2. School of Mathematics & Information Science, Guangzhou University, Guangdong Guangzhou 510006, China)

Mathematical development, mathematical nature and spirit should be revealed in mathematics teaching. Therefore, discovery of Pythagorean theorem of and thought of mathematical in proof procedure which were teaching important points. To construct the overall recognition of the Pythagorean theorem, teachers needed to know the essence of mathematics knowledge with the help of history and grasp the status and role of teaching content based on teaching material. Hence, teacher could create appropriate problem situation and exploration activity combined with students’ reality, to achieve effective mathematics classroom based on “issue-driven teaching”. Which made students to experience the real “rediscovery” of knowledge and the corresponding thinking.

mathematics teaching; Pythagorean theorem; teaching value; view of holistic approach

2018–05–20

廣東省教育科學研究課題——基于課程群理念的數學學科教育課程重構與教學方式研究（2014GXJK144）；廣東省本科高校高等教育教學改革課題——卓越人才培養模式下職前數學教師整體教學觀的形成研究（2016）

王海青（1978—），女，廣東河源人，副教授，博士生，主要從事數學史與數學課堂教學研究．

G632

A

1004–9894（2018）05–0037–05

王海青，曹廣福．基于整體理解的“勾股定理”教學再探——與吳增生老師商榷[J]．數學教育學報，2018，27（5）：37-41．

[責任編校：周學智、張楠]