美國小學數學教學中的問題提出及啟示——以West Park Place Elementary School為例

于文華，蔡金法，劉美玲，張凌云

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美國小學數學教學中的問題提出及啟示——以West Park Place Elementary School為例

于文華1，蔡金法2，劉美玲1，張凌云1

（1．山東師范大學 數學與統計學院，山東 濟南 250014；2．美國特拉華大學 數學系，紐瓦克 19716）

為考察美國小學教學中的“問題提出”如何融入到數學教學中這一問題，以美國特拉華州West Park Place Elementary School小學為例，觀摩了一堂數學課和數學RTI（response to intervention）教學，并分析了作業與練習中的問題提出模式．以此為出發點，探討對中國小學數學教學的啟示．主要有4點啟示：（1）融入課堂不是夢；（2）與問題解決相伴相形，相得益彰；（3）數學意義與實際情境的雙向建構；（4）評價何須要定量．

問題提出；數學課程；課程改革；小學數學；問題解決

1 引言

“問題提出”在世界范圍內受到數學教育研究者的廣泛關注，美國數學教師理事會對數學問題提出給予了充分的重視，認為學生應該“能在數學領域和數學領域之外，在不同的廣泛情境下提出有趣的問題”，教學指導活動應該加強學習問題提出技能（NCTM，2000）[1]．在美國《學校數學課程與評價標準》（1989）、《數學教學的職業標準》（1991）、《學校數學教育的原則與標準》（2000）等文件中都明確提出了增加“問題提出”活動的教學要求與任務[2]．對于此處“問題提出”的理解，Stickles P認為，《學校數學教育的原則與標準》（2000）強調“提出問題”活動，應該是基于一個情境或是經驗提出的[3]．

中國的《全日制義務教育數學課程標準（2011年版）》和《普通高中數學課程標準（實驗）》對問題提出從知識與技能，評價方式建議，學習方式，教學建議等多方面進行了論述[4-5]．很多學者比較了不同數學教材中的問題提出，例如，胡典順、蔡金法等[2]通過比較人民教育出版社兩個版本的小學數學教材（1994年版和2004年版），發現盡管兩種教材中涉及問題提出的數學問題在類別、教學環節、內容領域方面的分布顯著不同，但可喜的是2004年版中涉及問題提出的數學問題的百分比高于1994年版．然而，進一步研究發現，這種提高可能更多的是因為增加的內容領域“數據與統計”中的問題提出相對較多．

中國學生相比美國學生在解決問題方面的表現有很大的優勢，但其問題提出的表現卻沒有優勢，甚至劣勢[6]．那么，在課堂教學與練習任務中，美國數學教師是否給予了學生更多的問題提出的機會？他們的課堂教學是如何在保證數學知識教學的前提下，給予學生問題提出的機會，又如何做到有效的融通呢？這是當前數學教學所欠缺和需要學習的．帶著這個問題，研究者切實進入美國小學數學課堂，并對小學數學教師進行有針對性的采訪，希望對中國的小學課堂教學有某種啟示．

在對于美國小學數學教學一線的田野考察中，不難發現，學生的數學學習可以分為課堂之內與課堂之外，而課堂之內的數學學習又可以分為課堂學習與數學RTI（response to intervention）時間，課堂之外的數學學習主要是各種作業與練習．從而，選擇3個側面分別考察其中的問題提出環節，即美國小學數學課堂教學中的“問題提出”，以“問題提出”為主題的數學RTI教學，美國小學數學作業與練習中的“問題提出”．3者之間，以課堂教學為基本，在此基礎上設計針對問題提出為主題的RTI教學，用以診斷學生對所學內容的認識程度并因此反饋而提出干預，以期達到更好的教學效果．課后針對作業與練習中問題的提出，旨在進一步鞏固所學模式．

2 田野考察1：美國小學數學課堂教學中的“問題提出”

2.1 背景介紹

克里斯蒂娜學區（Christina School District）是特拉華州的一個公立學區，西公園小學（West Park Place Elementary School）是一所公立全美藍勛帶學校（National Blue Ribbon School），具有明顯的基督教學風．

與中國的教學體制不同，美國小學實行教師班級負責制，每班一位主要教師，這位教師會教授這個班級除體育、美術之外的幾乎全部學科，即并非全職數學教師．并且辦公室與教室一體，教室的課桌椅隨老師決定如何排列．或者組團排列，方便學生討論，或者專用討論桌分布兩邊，供上課用的課桌椅居中．小學包括學前班與一~五年級，五年級有兩個班級．五年級的兩個班級數學教學進度與內容大相徑庭，五年級入學初始，依據學生水平，分為一個數學高層次班級，一個低層次班級．

此次課堂觀摩活動是在數學高層次班級，教師是Mrs. Tina Kaczmarczyk，中年女教師，10年以上教學經驗．在一個周三，從上午8:00開始到上午10:00結束．8:00—8:30為預備與校訓時間，8:30—9:30為課堂正式時間，9:30—9:55為數學RTI時間，中間沒有休息時間．

2.2 課堂實錄

（1）給出分數減法問題，鼓勵學生提出實際問題．

師：能根據這個分數減法提出具有實際背景的問題嗎？（在教師的引導下，學生紛紛提出例如披薩等的一些問題．）

（2）利用遷移法引導學生解決問題．

師：這與我們以前學的減法有何不同？和你的同伴交流．（引導學生發現，通分后分數部分不夠減．）

師：怎么辦呢？想一想31-9是怎么解決的?（引出借位的概念，引導學生把借一當十遷移到此處．）

師生共同試著給出解答過程與答案．

（3）利用錄像教學，深化解題原理．

（4）模式總結，引導學生自己模仿提出符合數學意義的問題．

教師試著與學生一起對兩道題進行對比，找出題目的共同特點，那就是借位分數減法，總結出解決此類問題的方法．之后，順勢問學生，你們互相給同伴出一道題目，讓對方解答．

學生嘗試之后，教師進一步解釋，要想給出的題目用到借位的概念，必須是分數部分不夠減，于是用到分數的大小比較問題．

（5）變式解題，引導同學共同解決各種實際情境中的問題．

2.3 課堂教學中教師對學生問題提出任務的評價

數學課堂觀摩中，教師Mrs. Tina Kaczmarczyk對于課堂中學生提出的數學問題，總是給予即時的正面肯定與引導，包括數學意義與現實情境兩方面，是師生共同提出來的．但由于是口頭提出問題，所以并無書面的打分與等級評價．

2.4 學校與學區對于教師指導學生問題提出任務的評價

對于學校與學區，他們可能很難把控教師對于學生問題提出任務教學的程度，又該如何考核與評價呢？針對這一問題，對教師Mrs. Tina Kaczmarczyk進行采訪得知，學區至小學有一個類似微信一樣的平臺，教師每天需要上傳學生的具有代表性的問題提出任務作業，供各位教師分享．這無形當中要求教師必須認真執行指導學生問題提出的工作，各位教師的分享也同時給予了他們某種共同的激勵與靈感．

2.5 評述

不難看出該節觀摩課教學環節上有些缺陷，例如第一環節中的例題與第二環節中的題目，一個是異分母借位減法問題，一個是同分母借位減法問題，在層次上存在先難度高再難度低的問題，違背了由易到難的認知原則．再比如第一環節題目中的分數不是最簡分數等．

但是，如果從問題提出的角度看，這應該是一節完美地在問題解決中融入問題提出的課例．從第一環節開始的實際情境的分數減法問題提出，到第二三環節的遷移法問題解決，到第四環節的符合數學意義的分數減法問題提出，最后到第五環節的各情境下的問題解決，充分滲透了問題提出的思想，而其與問題解決間的聯系是如此自然和諧，融為一體，相互認證．

3 田野考察2：以“問題提出”為主題的數學RTI教學

3.1 背景介紹

在West Park Place Elementary School班級的課表中，明確寫著8:30—9:30為數學時間，9:30—9:55為數學RTI時間．RTI（response to intervention）[7]是一種干預回應模式，近年來在美國發展迅速，是一種提倡及時評估和干預學習障礙學生的教育模式，其強調在普通學校中由教師或研究者實施多個層級的評估和干預，以幫助學習障礙學生在學習成績和學習技能上獲得提升，并適應所在學校中的學習．Mrs. Tina Kaczmarczyk所在班級的數學RTI時間是專門為學生提出數學問題準備的，事后訪談得知，Mrs. Tina Kaczmarczyk認為這種由學生提出問題的方式可以很好地評估學生，而不僅僅是學習障礙學生的學習困難與認知障礙，并能及時進行干預．

3.2 數學RTI觀摩過程

（1）給出數學式子，分析式子與各量的數學意義．

（2）針對數學式子，分析具體情境中的意義．

（3）學生自己找出感興趣的情境，針對情境與數學式子寫出問題．

當教師給出一種可能的情境之后，學生已經蠢蠢欲動，教師就順勢說，請寫到你的任務單上吧．

（4）針對學生寫出的情境中的問題，教師作出反饋與干預．

教師坐在桌邊，等待學生交上任務單．陸陸續續有學生寫好了任務單交上，教師會逐一給出反饋，包括問題情境是否新穎、合理，問題是否符合各變量與數學表達式的數學意義，問題表述是否清晰，語法拼寫是否正確（因為教師同時也是語言教師）．

3.3 數學RTI教學中教師對學生問題提出任務的評價

在Mrs. Tina Kaczmarczyk專門針對問題提出的數學RTI教學中，學生最終上交的是一份紙質的報告，教師給予了數學意義、問題情境、修辭語法等至少3方面的意見，但只是口頭的建議．經過課后與教師Mrs. Tina Kaczmarczyk訪談得知，在學生依據老師的意見修改后，會在教室外面的走廊處展示．

4 田野考察3：美國小學數學作業與練習中的“問題提出”

4.1 背景介紹

關于作業與練習，對Mrs. Tina Kaczmarczyk進行了采訪．通過訪談得知，Christina School District整個學區的每位任課教師都有一個內部的賬號密碼可以登陸他們的系統www.mclasshome.net，可以根據自己的要求選擇授課的進度、難度，自動生成符合教師要求的作業或練習．或者說，雖然看似各個教師的作業與練習不盡相同，但都出自同一個題庫．

雖然由于保密關系，并沒有得以登陸他們的系統，但是經Mrs. Tina Kaczmarczyk允許，得到了一些以往學生的作業與練習．由于這些作業均出自題庫，那么從中分析小學數學題庫中的問題提出類型，就具有一定的代表性．經過對這些作業與習題中的問題提出任務的分析，主要得到兩種模式的問題提出任務．

4.2 模式1

模式1：給出數學式子，要求根據題目提出符合情境與數學式子的問題．

這種模式和此次RTI觀摩課中的問題類似，教師給出數學表達式，由學生寫出具體情境下符合該數學表達式的問題．可以從作業與練習中找出此種模式的典型樣例．

（1）典型樣例1．

學生做法舉例：

Tim has saved $15 each month for 8 months. He now has enough money to buy a new skateboard and a helmet. After he buys the skateboard and the helmet, he has $25 left.

學生做法分析：問題情境舉例很現實生動，論述過程也表明他很好地掌握了數學式子的意義．問題在于最后沒有給出問句，也許由于忘記，也許是因為對未知量的掌握還不是很好．

（2）典型樣例2．

題目：請按照小數的近似規律，出一道問題．

學生做法舉例：

Ms. Grace is making a list of songs for her students to sing in music class. She wants all of the songs to be about 6 minutes in length, so she has listed the playing times of the six most popular songs as decimals.

Choose the FOUR song lengths that round to 6 minutes when rounding to the nearest whole number of minutes.

A. Song 1: 5.49 minutes

B. Song 2: 6.18 minutes

C. Song 3: 5.09 minutes

D. Song 4: 5.92 minutes

E. Song 5: 6.05 minutes

F. Song 6: 6.46 minutes

學生做法分析：問題情境舉例非常生動，論述過程也表明他很好地掌握了小數的近似．選擇題的出題方式也很新穎，與題目本身很是相配．

4.3 模式2

模式2：給出一組題目，要求找出其中的規律，然后出一道題目．

這種問題提出模式與數學規律是相聯系的，首先給出一組數學題目，要求解答；緊接著讓學生用文字或符號闡述這一組題目中蘊含的規律；最后要求根據此規律出一道題目．可以從作業與練習中找出此種模式的典型樣例．

題目：

（1）解答以下問題：

15′1?000=

18.9′100=

16.338′10?000=

（2）用自己的話闡述一個數乘以10的幾次方，小數點的移動規律．

（3）根據這個規律，寫出一道問題，要求是一個三位小數乘以10的幾次方（次數大于5）．

4.4 數學作業與練習中教師對學生問題提出任務的評價

在學生做過的練習與作業中，從前面的問題樣例中可以發現，問題提出只是作為整個作業中的一部分，與問題解決等分別作為同一道作業題目不同的小問．對于問題提出部分，與相關的問題解決題目類似，老師只是給出了“對號”或曲線表示問題的規范與否，并沒有打分或等級評分．

5 美國小學數學教學中的“問題提出”對中國的啟示

5.1 問題提出——融入課堂不是夢

在數學課堂觀摩之前，對數學問題提出的相關文獻進行了梳理，發現在數學問題提出的認知過程與模式領域[8-10]，數學問題提出與數學問題解決的關系[11-13]，課程與教材中的數學問題提出[2，14]，等方面的研究都不少．

然而，對于數學問題提出在課堂中的融入這一教學實踐問題的研究僅限于幾種教學模式[14-17]．那么，以問題解決為核心的課堂中如何能有問題提出的空間？問題提出本身只能作為問題解決的補充，不可能整堂課以問題提出為核心，這二者之間的關系如何處理？如果要融合，在有限的沒有增加課時的時間內，又如何保證問題解決的教學目標？

教師Mrs. Tina Kaczmarczyk的觀摩課，讓中國研究者看到了實踐視野中的問題提出融入數學問題解決課堂中的本真面目，原來，這不是夢，是可以相信的現實．有人會說他們有專門的數學RTI教學時間，課堂教學不可能再增加時段，來專門搞問題提出．

那么就抓住僅有的課堂時間，利用有限的時間把問題提出有效地融入課堂之中，而不是流于形式．比如一節新授課的第一環節，通常是教師給出問題情境，引發學生的認知沖突，然后開始進入新內容的問題解決．可以像此次觀摩課中的第一環節中那樣，教師直接給出一個數學式子，由學生去找符合數學式子意義的問題情境．

5.2 問題提出——與問題解決相伴相形相得益彰

從文獻的角度來說，諸多學者研究問題提出與問題解決的關系，雖然在不同研究條件下，其結論不盡相同，但如此之多的研究本身已經說明二者之間的魚水關系．

從認知的角度來說，如果能夠根據一個數學式子，給出一個實際情境中符合該式子數學意義的數學問題，這本身就表明問題提出者已經對該數學式子中的各種量與其關系有充分的認識與理解．反過來想，既然對其理解足夠充分，那么當然有極大可能性解決此類問題．但是，如果學生解決問題時似是而非，好像懂了，卻對其中的某些關系考慮不周，那是否可以用問題提出作為檢驗學生數學概念或命題理解的一個手段．難怪諸多學者都在研究問題提出與數學理解間的關系．

從教學的角度來說，例如，橢圓的定義，學生覺得好像不難，但是經常會忽略掉其中重要的一點，即動點到兩定點的距離之和一定要大于兩定點的距離．教師在教學中經常強調這一點，但效果寥寥，可以試著讓學生提出幾道關于橢圓方程的問題，以此檢驗他們對于這一點的認識．從這個角度來說，問題提出可以作為檢驗學生問題解決的認知深刻性的手段之一，進而暴露學生的認知缺陷，便于教師有針對性地調整教學，從而促進以后的問題解決．

看來，問題提出與問題解決應該相伴而行，問題提出可以作為問題解決的有效補充、檢測手段與促進方式．

5.3 問題提出——數學意義與實際情境的雙向建構

在文獻分析、觀摩與考察中發現，提出一個真正的數學問題，需要數學意義與實際情境的雙向軌道，二者缺一不可．不能體現數學意義的問題，最多就是個問題，絕稱不上是一個數學問題；只有孤零零的數學式子，缺乏有血有肉的現實情境，這樣的問題只是一道數學習題，只能為數學浩瀚的題庫增加一題，對學生的數學與現實間關系的體驗與理解恐怕無多大益處．

而在提出具有現實情境的數學問題的過程中，學生的認知正在經歷數學意義與實際情境的雙向建構．一方面，問題提出者需要對問題進行數學意義的建構，包括每一個量，量與量之間的內在關系，以及他們之間的相約與制衡．另一方面，需要對實際情境有合理的考量，在經濟領域、生活領域還是其他的故事情節中，一個角色的量發生了怎樣的變化，如何與其它的量發生數學意義上的相互關系，又如何做到讓這種關系合情合理，它們之間的相約與制衡如何去體現．在這種數學意義與實際情境的雙向建構中，誰能說這不是一種創造，一種基于學生本身習得知識之后的創造？這種創造，比起籠統意義上的夸大其詞的創造，對學生來說，難道不是更為符合心智與認知么？

5.4 問題提出——評價何須要定量

一說到問題提出，很多人就會想到，如何考核與評價呢？不寄望于問題提出評價平臺的建立與考核條目的科學定量，更希望于數學課堂之上時時見得問題提出的身影，時時體現問題提出與問題解決相得益彰的互逆思維，時時發現學生提出一個現實問題時的小小竊喜與真誠分享．課堂之外，學生的創造力、思維力的提升又豈是定量評價得到的一個分數所能衡量與媲美的？

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Analysis and Implications of Mathematics Problem Posing in Primary School Teaching in U. S. A——The Case of West Park Place Elementary School

YU Wen-hua1, CAI Jin-fa2, LIU Mei-ling1, ZHANG Ling-yun1

(1. Shandong Normal University, Shandong Jinan 250014, China; 2. University of Delaware, 523 Ewing Hall, Newark, DE 19716, USA)

In order to analysis mathematics problem posing in primary school teaching in U. S. A, we took West Park Place Elementary School as an example. We observed a math and math RTI teaching class, and analyzed the models of the problem posing in their homework and exercises. Based on this, four main implications were put forward: 1) integrate problem posing into the classroom was not a dream; 2) problem posing and problem solving relies on each other; 3) problem posing was a construction of both mathematical sense and actual situation; 4) problem posing didn’t need to be quantitatively evaluated.

problem posing; mathematical curriculum; curriculum reform; primary school mathematics; problem solving

2018–05–01

山東省高等學校人文社會科學研究項目——數學問題提出認知機理的探尋（J14WH07）

于文華（1978—），女，山東乳山人，副教授，博士，碩士生導師，特拉華大學訪問學者，主要從事數學教育、數學教育心理等研究．

G40-059.3

A

1004–9894（2018）05–0061–05

于文華，蔡金法，劉美玲，等．美國小學數學教學中的問題提出及啟示——以West Park Place Elementary School為例[J]．數學教育學報，2018，27（5）：61-65．

[責任編校：周學智、張楠]