JUMP Math項目的教學特色探討及啟示——基于化解數學教學難點的視角

何 岳，童 莉

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JUMP Math項目的教學特色探討及啟示——基于化解數學教學難點的視角

何 岳，童 莉

（重慶師范大學 數學科學學院，重慶 401331）

有效化解數學教學難點，是數學課堂教學取得成功的關鍵．數學教育項目JUMP Math將復雜抽象的數學問題分解為若干步驟，并以“引導發現式”的教學模式激發學生的學習潛能和興趣，成效卓越，獲得2016年WISE教育項目獎．該項目在化解數學教學難點上的成功經驗，對中國數學基礎教育有著重要的啟示作用．

數學教學難點；JUMP Math；教學設計

數學知識相對于其它學科具有一定的抽象性[1]，所以不管是在小學還是中學階段，學生學習數學知識時容易產生恐懼心理[2]．因此，教師如何有效地化解數學教學中的難點，對于學生數學學習的好壞，激發和保持學生學習數學的熱情，就顯得至關重要．加拿大數學教師約翰·米頓（John Mighton）博士從學生切身情況出發，基于最新認知學領域的研究成果，并借鑒循證的教育理論（基于證據的教育理論）[3–4]，組建數學教育項目JUMP Math．該項目將數學難點適當分解，并采用“引導發現式”的教學模式[5]，激發了學生數學學習的熱情，保證了教學效果．JUMP Math因其對數學基礎教育的貢獻和創新性獲得2016年世界教育創新峰會（World Innovation Summit for Education，簡稱WISE）教育項目獎[6]．

這里深入探究JUMP Math的課程設置和教學案例，發現其在化解數學教學難點上的成功經驗對中國數學基礎教育有著重要的啟示作用．如圖1所示，該項目恰當運用循證方法[3–4]，創造性地將體藝類教學常用的分解教學思想運用于數學教學[3]，并采用框架化理論[7]，尋求既貼近學生生活又能揭示數學本質的情境，以“引導發現式”的教學模式[5]，幫助學生逐步突破學習障礙，建立學習信心．同時配合持續性評估和反饋，及時調整教學方案，縮小不同學生間的學習成果差距[8]．

圖1 JUMP Math化解數學教學難點的思路

1 JUMP Math項目簡介

1.1 JUMP Math項目的起源和核心觀點

為了讓學生改變對于數學學習的恐懼和厭煩態度，增強學生的獲得感和學習的愉悅感，1998年約翰·米頓從多年教學經驗和實際案例出發，運用最新的循證教育理論，開發、設計了一套數學學習方法和課程，命名為“JUMP Math”．在字面上有“飛躍”的意思，但其實質為“Junior Undiscovered Math Prodigies”（未被挖掘的青少年數學天才），所以JUMP Math是一個起源于加拿大安大略省，旨在開發學生數學潛能的非盈利教育項目[9]．

該項目的核心觀點是：絕大多數學生的智力水平基本相當，不會出現較大的差異．通過適當的教學方式，可以使每個學生學好數學，既收獲數學知識亦得到思維的良好訓練，并在將來的學習和生活中更好地發揮自身潛力，擁有更多的人生機會[10]．

1.2 JUMP Math項目的理論基礎

JUMP Math項目的理論是建立在“循證教育”基礎上的[3]．1996年，劍橋大學教授戴維·哈格里夫斯（David Hargreaves）在給一個教師培訓機構做演講時，首次提出了“基于證據的教育”這一說法．隨后，“循證教育”逐漸應用到了教育領域，并為教育實踐和教育理論之間關系的爭議提供了一些解決方式．“循證教育”就是在教育教學的具體實踐過程中，實現專業智慧和最佳可用經驗證據的融合，其中跨學科性和理論與實踐的互動是循證教育方法論的最主要體現[11]．

JUMP Math數學教育項目借鑒循證方法[3–4]，基于數學教學的專業智慧，從兩個方面進行經驗證據的整合．其一，跨學科、跨領域吸收有價值的經驗和理論．分解教學通常用于體藝類教學，但該項目主動吸收其教學方式中的優點用以化解數學教學難點[3]．其二，注重理論與實踐互動．該項目采用框架化理論（即人們傾向于按照自己的認知框架去體驗現實，并根據這種框架采取行動，從而建構現實）[7]，尋求最佳數學素材，并在實際教學過程中，通過最佳可知可感且與數學知識高度匹配的情境實施“引導發現式”教學[5]，并注重根據教學反饋來調整教學方式．

1.3 JUMP Math項目在實際教學中的效果

JUMP Math起源于加拿大，隨后在美國、西班牙和保加利亞也得到較好的發展．同時，美國教育部也特意撥款給一些大學及科研院校在40個班級里進行教學實驗，希望真的能出現“飛躍”的結果[12–14]．截至2015—2016學年，約十七萬名學生使用JUMP Math方案學習數學[15]，且在實際教學中取得了較好的教學效果．如在加拿大的一項隨機對照測驗中，使用JUMP Math的學生比使用普遍學習法的學生進度快了兩倍．JUMP Math也在經濟欠發達地區免費實施，在2012—2015年中每年的WRAT-4測試（Wide Range Achievement Test 4，包含識字、句子理解、拼寫、數學運算）顯示，這些地區隨機選取的學生考試成績都提高了1.8~2.9倍[16]．

2 JUMP Math化解教學難點的特色分析

JUMP Math致力優化數學課程方案和教學方法，以期能讓學生克服數學學習困難，幫助教師更好地完成教學任務．因此，如何有效地化解數學教學難點，在該項目中具有重要的地位和作用．下面以JUMP Math中整數除法的教學為例[9]，介紹該項目在教學設計上的三大特色．

2.1 從學生切實的學習困難出發適當分解數學教學難點

JUMP Math從學生角度出發，依托大量認知心理學的研究成果[17–19]，實證調研影響學生數學學習的阻礙因素[8]，發現數學知識的抽象性是影響學生數學學習興趣和熱情的主要因素．因此，該項目在保持數學知識結構完整性和連貫性的基礎上，適當將數學難點分解為若干教學環節，在每個環節的教學過程中，累積學生學習的成就感，增強了學生學習數學的信心和熱情[20]．

比如在小學整數除法的教學中[9]，學生對于這一節的學習和掌握有3個難點．第一個難點就是“分”，要將本來作為一個整體的數分成高一級單位和低一級單位．第二個難點就是“換”，需要理解“換”的原因和方法，即當高級單位無法除盡時，將其“破壞掉”，轉換成低一級單位的數便可以繼續進行運算，并且在十進制計數法中，高一級的單位是低一級單位的十倍．第三個難點就是“通”，在對上述例題的學習和探究之后，需要學生在腦海中，形成一個完整的整式除法計算過程，掌握豎式計算的方法，做到觸類旁“通”．針對以上學生學習的困難，將JUMP Math對整數除法教學的分解歸納為以下3個主要步驟（見圖2）：

圖2 JUMP Math對整數除法教學的分解

2.2 從學生思維訓練角度出發增進學生對數學難點的理解能力

數學教學難點的外因是數學本身，內因則是學生主體的理解和認知能力．JUMP Math借鑒框架化理論，精選數學情境，組織數學活動[7，20]．該項目從學生身邊最貼近、最可感知的現實情境入手，采取引導發現的教學模式，啟發學生去思考問題、解決問題，提煉和掌握數學知識，實現知識學習和能力培養并重．下面介紹JUMP Math在整數除法教學中的具體過程[9]．

2.2.1 “分”的教學過程

JUMP Math在整數除法內容分解后，根據其特點，將72除以3的運算以如下情境引出：3個好朋友如何最公平地均分7角2分錢[9]．接著提出這樣的問題：“同學們可以畫圖展示一下如何分配嗎？”進而引導學生用X代替一角錢（鼓勵學生有自己的表示方式），畫出如圖3所示的圖形．在這一過程中，讓學生體會到：要將7角2分錢均分3份，首先需要將7角均分．即將72這個數拆分成兩部分：7角和2分．

圖3 整角均分的教學示例

2.2.2 “換”的教學過程

然后適當放手，給孩子們充足的思考與討論時間，讓他們自己探索如何將剩下的1角2分錢分成3份[9]．教師應該成為教學的積極組織者，讓學生以小組為單位，提出解決問題的方法，并在這一過程中讓學生感受為什么要將高一級單位換成低一級單位，還要對應理解各個數字在豎式中的涵義，如圖4所示．

圖4 整數除法的豎式計算過程和情節意義

2.2.3 “通”的教學過程

在新知識學習之后，教師引導學生回顧整理整數除法的過程，提煉整數除法的方法．再輔以變式訓練（如教師給出“3個朋友分5角4分錢”），讓學生進一步熟悉剛剛所學的知識，實現知識學習和實踐運用的結合，形成貫“通”的知識體系，內化整數除法的通用方法和流程，如圖5所示．

圖5 整數除法的通用方法和流程

2.3 從學生反饋出發重視數學難點的實際教學效果

在具體教學的過程中，課堂教學不僅具有一定的預設性，也存在一定的生成性．所以在實際的教學過程中，教師需要時刻觀察學生的狀態，并在分解教學的基礎上，持續進行評估和練習，從情境問題、變式練習、小組互動等多角度考察學生理解和掌握的情況[21]．例如在上述整數除法的教學案例中，JUMP Math設置的問題情境為“3個朋友分7角2分錢”，那么教師可以通過“如何均分整角”的問題了解學生對于整數拆分和高位向低位轉換的理解程度，并積極從學生角度出發，解決學生的學習困難．這樣，情境引入的作用就不僅僅是引起學生興趣，同時也在情境互動問答中，讓教師可以及時了解學生的學習情況，靈活調整教學進度和方法．

3 JUMP Math項目對化解數學教學難點的啟示

從JUMP Math在化解數學教學難點上的成功經驗，并與人民教育出版社官網上提供的教學參考（以下簡稱“人教參”）作對比[22]，可以得到化解數學教學難點的新思路．如圖6所示，首先在已有教學經驗的基礎上，對數學教學難點適當分解，然后以“引導發現式”的教學模式開展教學，并在教學過程中注重對教學效果的檢測反饋，再利用反饋信息及時調整教學設計和教學方式．

圖6 化解數學教學難點新思路

3.1 教學難點分解 維護學生數學學習的熱情

興趣和信心是學生學習的內在動力，但是數學知識高度的抽象性和過大的思維跨度，一直以來在消磨學生的學習熱情[2]．以整數除法為例，“人教參”中利用的是除法和乘法的互逆性，從簡單除法的口算開始教學，側重數學知識的內在邏輯[22]．而JUMP Math從學生學習的實際困難出發，在保持整數除法知識結構完整性和連貫性的基礎上，將整數除法分解為“分—換—通”3個教學環節，并組織學生自我探索發現每一步的解決辦法，提煉整數除法的方法，增強學生在每一環節的獲得感．從這種教學設計思路得到啟示：應該將教學內容始終放在學生知識的最近發展區，“爬樓梯”式地提高學生的數學知識和思維能力，避免某一環節的臺階過高給學生學習造成困難，進而產生對數學的厭學情緒．在2018年全國數學教育教學改革與發展研討會暨數學教育博（碩）士生論壇上，美國德克薩斯A&M大學李業平教授做題為的匯報，也重點提到對于數學難點要劃分結構，逐步分解，幫助學生有效掌握數學知識和技巧[23]．

3.2 “引導發現式”教學 提高學生對數學難點的學習力

隨著教育的發展，當代教育更加重視培養學生的認知能力，重視在學習過程中，帶領學生主動探索發現[24]，這已經成為大家認可的一種教育價值主張．“人教參”的教學設計雖然注重啟發教學，卻在“發現”教學上表現乏力．其在整數除法中使用的情境“52棵樹，兩班各需植樹多少棵？”能啟發學生理解整數除法豎式計算的涵義[22]，但JUMP Math項目中“3個朋友分7角2分錢”的例子更能幫助學生理解整數除法豎式計算中的難點．比如“角”和“分”很自然地幫助學生理解72是由7和2兩部分組成；角與分的換算關系，也能輔助學生理解十位余數“1”如何轉換到個位．JUMP Math從約翰·米頓自身學習經歷和框架理論得到啟發[7]，精選出既貼近學生生活又能揭示數學知識的情境，并以該情境輔助整個教學過程．學生在情境中完成對現實問題的逐步解答，提煉發現抽象的數學知識．這樣適度“放手”的教學模式[25]，可以有效激發學生的學習動力，鍛煉學習毅力，提高學生自身的學習能力．也只有學生自身的學習力（學習動力、學習毅力和學習能力）得到提高，才能更好地理解和掌握數學難點[26]．

3.3 適時檢測反饋 保障化解教學難點的實際效果

理論需要實踐的檢驗，在教學過程中也是這樣．在具體教學中，及時檢測教學的效果，發現存在的問題，尤其是難點教學問題．教師要主動適應學生學習的速度，調整教學的進度和方式，保證學生能在掌握前一階段知識的基礎上，開始下一階段的學習[27]．在“人教參”中對于習題的設計和要求比較重視[22]，但僅僅依賴習題反饋的模式，不能使學生學習的困難得到充分解決，這也造成課外培訓班和補習機構的盛行．根據多個實證研究表明，學生課外補習以提高成績為主要目的[28–30]，這也間接說明學生在學校學習過程中的數學問題沒有得到足夠的重視和解決．JUMP Math利用及時反饋和有效實例，保持持續性評估和練習，促進更多學生跟上教學進度．這也啟發教師要積極轉變角色，不能以自我為中心，而是要主動適應學生群體，靈活調整教學設計和安排[31–35]，要把“以學生為主體”的教育思想落實到具體的課堂教學中，最大限度保證每個學生不掉隊．

4 結語

JUMP Math數學教育項目中教學設計的最大特色就是充分尊重了學生的主體需要，體現了以人為本的教育觀．該項目積極分解教學難點，重視啟發學生思維，及時客觀地檢測學生的學習效果，幫助學生克服數學學習困難，維持和提高了學生的學習興趣．同時，這也啟示中國數學教育工作者，應該轉變思維，充分尊重和服務學生的學習需求，在實踐的基礎上多角度地探索和創新化解教學難點的方式方法，讓每個學生都能感受數學的魅力，愛上數學．

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Exploration and Enlightenment of the Teaching Characteristics in JUMP Math ——From the View of Solving Difficulties in Mathematics Teaching

HE Yue, TONG Li

(School of Mathematical Sciences, Chongqing Normal University, Chongqing 401331, China)

Solving the difficulties in mathematics teaching effectively was crucial to successful teaching. In the mathematical education project JUMP Math, the complex difficulties and abstract mathematical problems had been decomposed into several parts, and especially, the “Guided Discovery” teaching mode within it could stimulate students’ potential and interests in study. Thus, the educational fruit had been harvested remarkably, making JUMP Math win the prize of WISE Education Project Award in 2016. The successful experience in resolving the difficulties of mathematics teaching from the project had shed light on the basic mathematics education.

difficulties in mathematics teaching; JUMP Math; mathematics teaching design

2018–09–09

國家哲學社會科學基金2017年度教育學重點項目——教師核心素養和能力建設研究（AFA170008）

何岳（1989—），男，湖北孝感人，研究生，主要從事學科教學（數學）研究．童莉為本文通訊作者．

G421

A

1004–9894（2018）05–0048–04

何岳，童莉．JUMP Math項目的教學特色探討及啟示——基于化解數學教學難點的視角[J]．數學教育學報，2018，27（5）：48-51．

[責任編校：周學智、陳漢君]