初中生邏輯推理的測驗研究

嚴 卿，黃友初，羅玉華，陳 昊，喻 平

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初中生邏輯推理的測驗研究

嚴 卿1，黃友初1，2，羅玉華3，陳 昊4，喻 平1

（1．南京師范大學 課程與教學研究所，江蘇 南京 210097；2．上海師范大學 教育學院，上海 200235；3．江蘇第二師范學院 教育科學學院，江蘇 南京 210013；4．華東師范大學 數學科學學院，上海 200241）

基于邏輯學對于推理的分類以及心理學關于推理能力的研究成果，對國內外的邏輯推理評價研究進行梳理，結合中學數學知識的特點，提出一個測量初中生邏輯推理能力的框架，據此編制測驗題．測驗兼顧推理的形式與內容兩方面．通過探索性因素分析檢驗測驗的結構效度并進行修訂，修訂后的維度包括簡單推理、選言推理、命題演算、假言推理、合情推理，其中前4個同屬演繹推理．測驗具有較好的結構效度和信度．

邏輯推理；數學命題；核心素養

《普通高中數學課程標準（2017年版）》（以下簡稱“2017版標準”）中提出了6個數學核心素養：數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算、直觀想象、數據分析．按照教育部的要求，要以這些核心素養為主線，貫穿于整個課程、教材和教學之中．于是，如何評價學生的核心素養，如何考察學生核心素養的發展水平，就成了迫切需要研究的課題．

1 問題提出

其實，6個數學核心素養就是6種數學能力或者說關鍵能力，因而需按照能力研究的思路和方法，對其評價進行探究．這里僅探討6個關鍵能力中的邏輯推理．

“2017版標準”中對其的定義為：“邏輯推理是指從一些事實和命題出發，依據規則推出其它命題的素養．主要包括兩類：一類是從特殊到一般的推理，推理形式主要有歸納、類比；一類是從一般到特殊的推理，推理形式主要有演繹．”[1]對于邏輯推理的概念，存在著不同看法．在邏輯學中，推理是“由一個或一組命題（前提）推出另一個命題（結論）的思維形式”，其中“邏輯推理是保持真值的推理”[2]，即認為邏輯推理特指演繹推理．實際上，“2017版標準”中的“邏輯”一詞強調的是在推理過程中“關系”和“性質”的傳遞[3]，而非“正確性”和“有效性”．這樣的定義雖然不同于傳統的理解，但是深化了對歸納、類比推理中所蘊含規則的認識，抓住了其與演繹推理的共性．此外，雖然邏輯學和數學中都會用到“邏輯推理”一詞，但形式邏輯中關心的是“推理形式是否合乎邏輯規則”[4]，而在數學背景下討論邏輯推理，則需要兼顧兩方面：內容上的數學命題，形式上的邏輯規則．

推理能力一直是心理學關注的問題，研究集中在三段論、假言推理、選言推理等演繹推理上[5]，研究方法主要采用測量，量表的內容是針對一般的推理而很少涉及數學知識．演繹推理的進一步研究涉及心理模型理論和腦機制研究[6–7]．

綜觀數學教育領域中推理的評價研究，簡單而言可以分為兩類．一類研究將推理能力發展水平作為基本框架，為此設計出不同復雜程度的測試題用于評價，區分復雜程度的標準往往是解決問題時需要用到的推理的次數；另一類研究則首先依據推理類型進行分類，進而設計不同類型的問題．雖然有的研究兼具這兩個方面，但往往對其中之一更加側重．實際上，這反映了評價推理能力的兩種傾向——前者側重于運用推理解決問題的能力，使用的問題更接近于通常意義上的數學題（典型的例如證明題），往往需要運用多次推理，但并不關注推理的具體邏輯形式；后者對推理的考查更直接、具體，關注推理的不同邏輯形式間的差異，或學生對某一具體邏輯形式的理解，類似于心理學的研究模式．這一區分在演繹、歸納、類比推理的評價研究中都有所體現．

在對演繹推理能力的研究中，克魯捷茨基使用了“證明題”“要求理解和邏輯推理的題目”等題型[8]；Senk研究了美國中學生在幾何證明中的演繹推理能力[9]；Peressini等建立了一個4步驟框架，用來評價學生在解答熟悉的現實背景問題時表現出來的數學推理能力[10]．另一方面，Hoyles和Küchemann考察了學生對假言命題的認識、對假言推理的直接運用以及對假言命題的證明（證偽）[11]；美國全國教育進展評估項目（NAEP）中，包括了選擇給定命題的反例、對于公理和定理的理解、現實背景的邏輯問題等[12]；Jansson研究了初中生在假言命題、選言命題、聯言命題、否命題等不同邏輯形式的任務上發展的先后層級[13]．

對于歸納推理，林崇德將小學運算中歸納推理能力區分為直接歸納和間接歸納推理[14]．類似的，田中等將歸納推理劃分為一步推理和二步推理[15]．顯然，這些都并未深入考察歸納推理的具體形式，而更看重在解決不同復雜程度問題時運用歸納推理的能力．另一些研究則對歸納推理的形式進行了細致的劃分．例如Christou等把歸納推理區分為2種類型（屬性歸納和關系歸納）和3種過程（識別相似性、識別差異性以及綜合）[16]；Radford指出應當區分嘗試錯誤型的歸納和發現規律的歸納[17]．此外，有的研究采取了縱向的劃分．Styliandes把歸納推理的過程區分為了兩個階段[18]：識別模式和提出猜想，前者只需符合所給的有限信息，是絕對正確的；后者則超越了給定信息，是一種推測，有待驗證．武錫環、李祥兆按照歸納推理的認知過程劃分為信息表征、歸納識別、形成猜想、假設檢驗4個階段，并以此為框架編制測驗[19]．

對于類比推理的評價，常用的問題形式有兩種：問題解決中的類比、經典類比問題．前者需要被試在原問題和靶問題的結構間建立一種聯系，利用對原問題的理解來解決靶問題，后者指形如A︰B︰︰C︰D（例如樹︰樹枝︰︰身體︰胳膊）的問題[20]．顯然，這一區分同演繹推理、歸納推理中的區分十分相近．Alexander等使用經典類比問題構造了類比推理測驗，并用于研究類比推理和數學推理間的關系[20]．

總結已有研究，可以發現幾個問題．第一，心理學的研究比較成熟，研究方法規范，但是研究范圍主要是一般的推理而不太關注數學中的邏輯推理；第二，數學教育領域對邏輯推理的評價研究中，很少看到測量工具的詳細編制過程，而且許多研究的樣本數量偏??；第三，許多智力測驗量表都是把邏輯推理作為子量表，例如韋克斯勒量表、斯坦?！燃{量表等，缺少專門針對初中生邏輯推理的測驗量表．

遵循推理評價研究的兩種基本傾向，具體的研究思路如下．第一，編制一套測量初中3個年級邏輯推理的工具，這個工具偏重測量學生的形式邏輯思維，涉及的數學知識不超出初一教材水平，記為測驗A．這個測驗可用于初中生（數學背景中）邏輯推理的發展研究．第二，編制初中每個年級的數學推理測驗B1、B2、B3，這3套測驗題分別以本年級的數學知識為基礎編制，偏重于考察邏輯推理在數學問題解決中的運用，故使用“數學推理”以示區別，分為知識理解、知識遷移、知識創新3級水平[21]，在關鍵能力層面考察每個年級學生的數學推理水平．第三，考察測驗A與測驗B1、B2、B3之間的關系，即學生的邏輯推理與數學推理的關系．這里只研究測驗A．

2 測題編制

2.1 因素初步擬定

首先，根據“2017版標準”的定義，可以將邏輯推理分為從一般到特殊的演繹推理，以及從特殊到一般的歸納、類比推理，即合情推理．這也符合傳統上的分類．

進一步地，演繹推理可以區分為兩個層面——命題與推理．推理由命題組成，能夠推理的前提是理解命題，命題的不同也決定了推理類型的不同．命題在數學學習中廣泛存在，概念、定理是命題，證明題即是解釋一個命題何以為真．結合形式邏輯中對命題的分類，這里把命題層面分為簡單命題與復合命題，前者主要是性質命題，后者包括合取式（聯言命題）、析取式（選言命題）、蘊含式（充分條件假言命題）、等值式（充分必要條件假言命題）、否命題（包括簡單命題與復合命題的否定）5種命題演算．

推理層面維度的選取和命題層面保持一定的對應關系．由簡單命題構成的推理是三段論，復合命題中的析取式構成選言推理，蘊含式構成假言推理，這3種推理組成了推理層面的基本分類．這幾類推理在中學數學中十分常見，同時在心理學關于推理的研究中也占據了重要的位置．進一步分析，對簡單命題的考察不可避免涉及性質命題的直接推理，這與三段論同樣都是基于性質命題的推理，因此將它們納入同一個維度也是合理的，稱為簡單推理．至于合取式構成的聯言推理，其推理形式和對應的命題演算形式差別極小，因此不再另作考慮．

對于歸納推理，借鑒Christou等的框架，包括屬性歸納和關系歸納兩類[16]．對于類比推理，采用評價類比推理的兩種常用問題模式：經典類比問題和類比問題解決．

基于以上分析，邏輯推理測驗由演繹推理和合情推理兩個分測驗組成，其中演繹推理分為簡單推理、命題演算、選言推理、假言推理等4個子測驗，合情推理分為歸納推理、類比推理兩個子測驗．以上分析的過程本身也顯示出推理形式間復雜的關系，這一框架是否合適還依賴于因素分析的檢驗．

2.2 編制題項

設計題項的內容，要考慮問題的知識背景．在心理學關于邏輯推理的研究中，問題背景始終是一個重點變量，這反映在很多研究中，這些背景涉及熟悉與不熟悉[22]．具體與抽象，幾何與算術，與常識沖突的背景，假想背景等[23]．為了使測驗能適用于初中3個年級，研究中涉及的數學知識不超出初一年級教材的水平．為了探索學生在解答數學背景推理問題時是否存在某種特殊性，作為對照，也考慮設置現實背景和不具有意義的符號背景問題．

根據初步擬定的初中生邏輯推理能力評價框架，在每個維度編制題項．題項的編制參考國內外文獻及其中的量表、相關領域書籍中的典型例題、近年來的中考題等[4，11]，全部采用選擇題的形式．邀請數學教育專業教授、研究生分別對每個維度的題項進行討論、篩選，獲得27道題的初始測驗．初擬的6個維度題項數量分別為：簡單推理6道，命題演算6道，選言推理4道，假言推理3道，歸納推理4道，類比推理4道．其中數學背景題15道，現實背景9道，符號背景3道．該測驗記為測驗1，結構見表1．下面以一道題為例，對所編制的題項進行介紹．

例：如果兩個長方形的長與寬分別相等，那么它們的面積相等；現在長方形與長方形的面積相等，則一定有（ ）．

A．它們的長與寬一定分別相等

B．它們的長與寬可能都不相等

C．它們的長一定相等

D．它們的寬一定相等

該題在形式上屬于假言推理，內容上涉及長方形面積．正確的（充分條件）假言推理形式有兩種：如果肯定前件就肯定后件，如果否定后件就否定前件，而否定前件或肯定后件都無法做出確定的推理．初中生并沒有接受過形式邏輯的訓練，不可能自覺運用邏輯規則得到結果，因此做出選擇需要依靠數學知識，測驗中的大多數數學背景問題都具有這一特點．與此同時，邏輯因素也在發揮著作用．首先，雖然不同于標準的形式邏輯，但初中生擁有一套經驗的法則，這套法則會影響到他們的判斷，具體到該題中，一些學生可能會傾向于認為“如果肯定后件，就肯定前件”．其次，題干的表述采取的是假言命題的形式，理解假言命題是做出正確選擇的必要條件．從而，測驗題考查的既非純粹形式邏輯，也非純粹數學知識，而是數學知識與邏輯的綜合運用，體現了數學中推理的特點，又由于測驗中涉及到的數學知識比較簡單，更多是反映出學生形式邏輯方面存在的問題．

評分標準為每題有兩個答案或者每題有兩個括號的，每個答案計1分；每題只有一個答案的計2分．

3 測題修訂

3.1 樣本

研究先后調查了兩組樣本．第1次測試：選擇樣本1為預測樣本，在江蘇、浙江的兩所初中發放測試卷222份，刪除空白或有較多題項未作答、回答呈現規律性的試卷后，回收有效試卷211份．其中初一79份，初二95份，初三37份；樣本中男生110人，女生101人．第2次測試：選擇樣本2為再測樣本，主要來自江西、江蘇兩省中有代表性的3所初中，其中一部分為通過網絡測試的形式收集的南京地區樣本．由于樣本2的施測時間正值9月初，考慮到初一學生剛升學不久，因此僅在初二、初三年級發放試卷．回收有效試卷503份，其中初二236份，初三267份；樣本中男生246人，女生257人．

3.2 數據處理

使用SPSS19軟件進行數據管理及項目分析、探索性因素分析和信度檢驗．

3.3 預測與修訂原始測驗

第一，采用測驗1對樣本1進行測試，對測試數據依次進行項目分析與探索性因素分析，刪除10道題后，得到一個5因素的結構．雖然該結果與理論框架較為一致，但存在一些缺陷．首先，部分因素題項較少．探索性因素分析的結果一般要求單個因素的題項數目至少為3，而結果中的假言推理、歸納推理維度都僅有兩道題．其次，刪除題項數量偏多，剩余的題項作為一個測驗數量稍顯不足．

由于因素分析的過程主要依靠數據驅動，研究者決定對所刪除的題項重新進行審視，判斷這些題項究竟是否存在問題．因此，邀請數學教育專業教授、初中數學教師圍繞題項內容再次進行討論，綜合考慮內容的全面性、表述的適切性等因素，在所刪除的10道題中，對4道題進行了修改，并重新編制了1道題替換原題項，剩余5道仍然保留．以t8為例，原題干為“如果生物體有生命活動，那么生物體必然有呼吸運動；乳酸菌是一種生物，適合在無氧條件下生存．據此可以推斷（ ）”．該題考查假言推理，但涉及的知識點學生比較陌生，語言表述脫離日常習慣，實際上考查的可能并非推理能力，因此將題干簡化為“如果生物要生存，就需要進行呼吸運動；乳酸菌是一種生物，可以在無氧條件下生存．根據以上描述，可以推斷（ ）”．又如，原t20為“觀察下列算式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，……根據上述算式的規律，請你猜想210的末位數字”．該題考查學生的歸納推理，但即便不使用歸納推理，直接計算也能得出答案，因此將“210”修改為“22017”．修訂后的測驗依然有27道題，記作測驗2．

第二，采用測驗2對樣本2進行測試．

3.4 項目分析

對測試2的數據進行項目分析．首先，作鑒別度分析．依據總分高低把樣本分為3組，每組各占總人數的三分之一．運用獨立樣本檢驗，求出高分組和低分組樣本在每道題得分上的均值差異，規定顯著性水平為0.01．結果表明：所有題項的差異均達到顯著水平．其次，作同質性檢驗．分別計算每道題與總測驗得分、所屬分測驗得分的積差相關系數，結果表明：所有題項與總測驗及所屬分測驗得分都在0.01的顯著水平上相關，從而保留全部題項．

3.5 效度分析

3.5.1 結構效度

結構效度指能夠測量出理論的特質的程度．對測驗進行探索性因素分析，可以抽取測驗的共同因素，通過與理論建構的維度比較，達到檢驗測驗結構效度的目的．由于演繹推理與合情推理的劃分在理論上已十分明確，因此分別對這兩個分測驗進行探索性因素分析．

（1）演繹推理分測驗的探索性因素分析．

首先，通過計算發現取樣適當性指標為0.926，Bartlett球形度檢驗統計量為2=2?810.696，=0.000，數據非常適合進行因素分析．其次，采用主成分分析法提取因素，考慮到預設的維度之間具有相關性，選擇斜交旋轉法對因子進行旋轉．若規定基于特征值提取因素，按照特征值大于1的標準，只能提取3個因子，解釋變異量46.1%．另一方面，因素數量的選擇也要考慮到解釋變異量的百分比以及自身的理論建構[24]．結合理論建構與預測的結果，固定提取4個因子，再次進行探索性因素分析．刪除在兩個及以上因素都有較高負荷的題項，刪除共同度低于0.3的題項，因此逐個刪除t4、t7、t8、t9等4題．最終保留15題，解釋變異量達到58.6%，題項的因素負荷全部大于0.5，共同度基本都大于0.4，詳細結果見表2．

對因素進行命名．因素1的題項來自選言推理維度，因素2的題項來自命題演算維度，這兩個因素直接沿用維度名稱．因素3中，t1、t2考查的是簡單命題，t3、t5屬于三段論推理，故該因素命名還是用簡單推理．因素4中，t10、t11都來自假言推理維度，t19雖然來自命題演算維度，但考察的是假言命題的否定，歸入假言推理維度中也是合理的．總體而言，探索性因素分析的結果和預先建構的結構基本一致，說明演繹推理分測驗具有較好的結構效度．

表2 演繹推理分測驗的探索性因素分析（N=503）

（2）合情推理分測驗的探索性因素分析．

取樣適當性指標為0.851，Bartlett球形度檢驗統計量為2=644.779，=0.000，數據適合進行因素分析．采用主成分分析法提取因素，考慮到預設的維度之間具有相關性，選擇斜交旋轉法對因子進行旋轉．若規定基于特征值提取因素，按照特征值大于1的標準，提取1個因子，解釋變異量36.8%．根據理論框架，合情推理應當包括歸納和類比推理兩個維度．因此，在固定因子數量為2的情況下再次嘗試探索性因素分析．結果顯示在兩個因素中都混合有歸納和類比推理的題項．從而，不再區分合情推理的兩個維度，并刪除因子載荷及共同度最低的t22，再次進行探索性因素分析，解釋變異量提升為39.7%．保留剩余的7道題作為合情推理維度，7道題的因子載荷都接近或大于0.6，表示抽取出的共同因素可以有效反映7個指標變量．詳細結果見表3．

表3 合情推理分測驗的探索性因素分析（N=503）

（3）總測驗的結構效度分析．

以上分別檢驗了演繹推理與合情推理這兩個分測驗的結構效度，接下來運用相關系數法對二者合并而成的總測驗的結構效度進行分析．將演繹推理的4個子測驗得分相加，得到演繹推理維度分數，并考察各子測驗、分測驗、總測驗之間的相關系數，詳細結果見表4．可以看出，演繹推理內部4個維度間的相關系數小于各自與演繹推理間的相關系數；演繹推理內部4個維度與演繹推理間的相關系數，除命題演算略小外，大于各自與總測驗的相關系數；演繹推理與合情推理間的相關系數小于各自與總測驗的相關系數．從而，總測驗具有較好的結構效度．

表4 各分測驗及總測驗的相關系數矩陣

注：表中**表示在0.01水平上具有顯著相關性

由于對測驗作探索性因素分析得到的結果與事先設計的理論框架高度吻合，因此不再對其作驗證性因素分析．

3.5.2 內容效度

內容效度指測驗題目的適切性與代表性，即測驗內容能否反應所要測量的心里特質，以題目分布的合理性來判斷．研究者主要從兩個方面來確保測驗的內容效度．一方面，測驗題具有較好的代表性．研究基于邏輯學、心理學的研究成果提出了一個評價初中生邏輯推理的框架，在此基礎上編制題項，不僅全面地考查到了各種推理形式，而且也兼顧了不同類型的問題背景，因此能夠全面反映出學生的邏輯推理能力．另一方面，在測驗的編制、修訂過程中邀請專家參與研討．參與者包括數學教育專業教授、研究生，以及一線初中教師等，分別從不同角度對題項的取舍提出了意見．例如部分題項背景對學生來說存在理解困難，不一定能考查到所設想的推理要素，表述較繁，等等．測驗2正是在測驗1預測的基礎上，基于專家的意見修訂形成．

3.6 信度分析

信度是對測量一致性程度的估計．對各子測驗、分測驗及總測驗分別計算克倫巴赫系數，結果見表5．演繹推理與其各子測驗的內部一致性系數在0.549~0.868之間，除了簡單推理略低外，其余維度內部題項都有較高的同質性程度；合情推理的內部一致性系數為0.737；總測驗的內部一致性系數為0.898．總體而言，編制的邏輯推理測驗具有較高的信度．

表5 邏輯推理測驗各維度信度

最終版的邏輯推理測驗題包含5個維度，總計22道題．題項分布見表6．測題見附錄（總分44分）．

表6 初中生邏輯推理能力測驗題結構及題項分布

4 討論與結論

4.1 測驗框架的構建

在6個數學核心素養中，邏輯推理、數學運算、直觀想象這3種能力具有一般性．事實上，這是傳統意義上的數學3大能力，它們的一般性表現在幾乎整個學習活動之中．其中邏輯推理和直觀想象更具共性，它們可以脫離數學材料而獨立地表現出來，自然科學和人文社會學科都需要這兩種思維．因此，研究邏輯推理和直觀想象，可以從兩個層面切入，先探討共性再研究特性．研究者所編制的測驗偏重對邏輯推理共性層面的考查，亦即關注推理的邏輯形式，在內容上則以較簡單的數學知識為主．

當前的許多研究都是就某一種邏輯形式開展的．李丹等人研究了小學生關于三段論推理的發展情況，采用的方法是由主試把三段論的兩個前提念給被試聽，然后要求被試說出結論，主要是考察被試的反應類型[5]．胡竹菁等人對中學生三段論推理的現狀作了調查，問卷由20道第一格至第四格的范疇三段論題目組成，主要考察從初一到高三年級學生三段論推理水平的發展以及性別差異[5]．李丹等人研究了小學三年級到初中三年級學生的假言推理發展水平；吳榮先對小學三年級到初中三年級學生作了選言推理的研究[5]．與這些研究不同，研究者將各種邏輯形式作為一個整體設計，基于數據得到了一個包含簡單推理、選言推理、假言推理、命題演算、合情推理的初中生邏輯推理框架．這不僅可以對學生的邏輯推理進行全面考察，同時可以比較學生在邏輯推理不同維度上的發展差異．

4.2 測驗的信效度

探索性因素分析的結果與理論框架基本一致，表明測驗具有較好的結構效度，證明了基于推理形式的框架這樣一種心理特質的存在．對于歸納推理與類比推理，分別都進一步分為兩類來編制題項，這種過細的劃分或許導致了二者難以形成兩個獨立的維度，也反映出合情推理的這兩個類型間確實存在著緊密的聯系．信度方面，簡單推理維度的內部一致性系數略低，這反映出簡單命題與三段論作為同一個維度雖然是合理的，但依然存在著某些差異．其余維度及總測驗都有較高的信度．總體而言，測驗結構基本合理，并具有較好的內部一致性，可作為初中生邏輯推理能力評價的工具．

4.3 研究的局限性

研究也存在一些問題．第一，簡單推理的兩道三段論都屬于三段論的第一格，相對于第二格或第三格，在推理方面較為簡單．一般說來，三段論的第二格與第三格應當在測驗中有體現，這個問題需要在進一步的修訂測驗中加以解決．第二，表4中演繹推理與命題演算的相關略小于命題演算與總測驗的相關，這是一個缺陷，但對整個測驗沒有產生太大的損害．第三，王光明教授等在數學學習策略問卷編制中，對量表作了驗證性因素分析，這是一種更嚴謹的做法[25-42]．研究者沒有做這個工作，是由于探索性因素分析得到的數據與事前的理論建構高度一致，故省略了驗證性因素分析．

[1] 中華人民共和國教育部．普通高中數學課程標準[M]．北京：人民教育出版社，2017：5．

[2] 彭漪漣，馬欽榮．邏輯學大辭典[M]．上海：上海辭書出版社，2010：317．

[3] 史寧中．試論數學推理過程的邏輯性——兼論什么是有邏輯的推理[J]．數學教育學報，2016，25（4）：1-16，46．

[4] 華東師范大學哲學系邏輯學教研室．形式邏輯[M]．上海：華東師范大學出版社，2016：2-6，89-98．

[5] 胡竹菁．演繹推理的心理學研究[M]．北京：人民教育出版社，2000：216-228．

[6] 畢鴻燕，方格，王桂琴，等．演繹推理中的心理模型理論及相關研究[J]．心理科學，2001，24（5）：595-596．

[7] 楊群，邱江，張慶林．演繹推理的認知和腦機制研究述評[J]．心理科學，2009，32（3）：646-648．

[8] 克魯捷茨基．中小學數學能力心理學[M]．李伯黍，洪寶林譯．上海：上海教育出版社，1983：155-159，181-185．

[9] SENK S L. How well do students write geometry proofs [J]. Mathematics Teacher, 1985, 78 (6): 448-456.

[10] PERESSINI D, WEBB N. Analyzing mathematical reasoning in students’ responses across multiple performance assessment tasks [C] // STIFF L V, CURCIO F R. Developing mathematical reasoning in grade K-12. Reston VA, 1999: 156-174.

[11] ?HOYLES C, KUCHEMANN D. Students’ understandings of logical implication [J]. Educational Studies in Mathematics, 2002, 51 (3): 193-223.

[12] ?HARELl G, SOWDER L. Toward comprehensive perspectives on the learning and teaching of proof [C] // LESTER F. Second handbook of research on mathematics teaching and learning. Information Age Publishing, 2013: 24.

[13] ?JANSSON L C. Logical reasoning hierarchies in mathematics [J]. Journal for Research in Mathematics Education, 1986, 17 (1): 3-20.

[14] 林崇德．學習與發展：中小學生心理能力發展與培養[M]．北京：北京師范大學出版社，1999：347．

[15] 田中，徐龍炳，張奠宙．數學基礎知識、基本技能教學研究探索[M]．上海：華東師范大學出版社，2003：98-99．

[16] ?CHRISTOU C, PAPAGEORGIOU E. A framework of mathematics inductive reasoning [J]. Learning & Instruction, 2007, 17 (1): 55-66.

[17] ?RADFORD L. Algebraic thinking and the generalization of patterns: a semiotic perspective [C] // ALATORRE S, CORTINA J L, Sáiz M, et al. Proceedings of the 28th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education. North American Chapter, Mérida, 2006: 2–21.

[18] ?STYLIANIDES G J. An analytic framework of reasoning-and-proving [J]. For the Learning of Mathematics, 2008, 28 (1): 9–16.

[19] 武錫環，李祥兆．中學生數學歸納推理的發展研究[J]．數學教育學報，2004，13（3）：88-90．

[20] ?LYN D. English. Mathematical and analogical reasoning of young learners [M]. Lawrence Erlbaum Associates, Mahwah NJ, 2004: 47-74.

[21] 喻平．數學核心素養評價的一個框架[J]．數學教育學報，2017，26（2）：19-23．

[22] 李丹，張福娟，金瑜．兒童演繹推理特點再探——假言推理[J]．心理科學，1985（1）：6-12．

[23] GOSWAMI U. The Wiley-Blackwell handbook of childhood cognitive development [M]. 2nd ed. Malden, MA: Wiley-Blackwell, 2011:399-419.

[24] 吳明?。畣柧斫y計分析實務——SPSS操作與應用[M]．重慶：重慶大學出版社，2010：208．

[25] 王光明，廖晶，黃倩，等．高中生數學學習策略調查問卷的編制[J]．數學教育學報，2015，24（5）：25-36．

[26] 焦彩珍，劉治宏．初中數學學習困難學生的抑制控制能力缺陷[J]．數學教育學報，2018，27（1）：47-51．

[27] 宋爽，郭衎．家庭背景因素對初中生數學學業成就的影響[J]．數學教育學報，2018，27（1）：52-57．

[28] 何憶捷，熊斌．中學數學中構造法解題的思維模式及教育價值[J]．數學教育學報，2018，27（2）：50-53．

[29] 陸明明．數學教科書例題的分類及其教學建議[J]．數學教育學報，2018，27（2）：54-58．

[30] 羅荔齡，曹廣福．中學數學部分概率內容的問題與建議[J]．數學教育學報，2018，27（2）：65-69．

[31] 唐恒鈞，HAZEL TAN，徐元根，等．基于問題鏈的中學數學有效教學研究——一項課例研究的啟示[J]．數學教育學報，2018，27（3）：30-34．

[32] 劉春艷．理解試題內涵 把好教學方向——從一道北京中考試題說起[J]．數學教育學報，2018，27（3）：35-38．

[33] 卜文娟，溫紅博，劉先偉．初中學業水平考試中固定分數法標準設定的信度分析——以中考數學為例[J]．數學教育學報，2018，27（3）：39-44．

[34] 崔寶蕊，李健，王光明．初中生數學元認知水平調查問卷的設計與編制[J]．數學教育學報，2018，27（3）：45-51．

[35] 王紅兵．針對初中畢業階段學生范希爾幾何思維水平的調查及其分析[J]．數學教育學報，2018，27（3）：52-56．

[36] 何小亞，李湖南，羅靜．學生接受假設的認知困難與課程及教學對策[J]．數學教育學報，2018，27（4）：25-30．

[37] 張蜀青，曹廣福，羅荔齡．從歷史發展的視角看中學概率教學[J]．數學教育學報，2018，27（4）：35-40．

[38] 曹春艷，呂世虎．民國時期中學數學課程內容的發展歷程及其啟示[J]．數學教育學報，2018，27（4）：41-45．

[39] 關丹丹，景春麗．新高考改革背景下不分文理的數學成績差異研究[J]．數學教育學報，2018，27（4）：31-34．

[40] 谷曉沛，馬云鵬，朱立明．高一學生函數概念數學理解水平的實證研究——以T城市為例[J]．數學教育學報，2018，27（3）：25-29．

[41] 李渺，徐新斌，陸穎，等．高中數學教師聽評課的現狀及其有效性對策研究[J]．數學教育學報，2018，27（1）：36-41．

[42] 朱立明，胡洪強，馬云鵬．數學核心素養的理解與生成路徑——以高中數學課程為例[J]．數學教育學報，2018，27（1）：42-46．

附錄：初中生邏輯推理測驗

同學們好！下面是一些有趣的問題，請你完成解答．注意：除了1、2題可以多選外，其余各題都是單項選擇．

學校年級性別

1．下列說法正確的是（ ）．（可多選）

A 所有的等邊三角形都是等腰三角形 B 所有的等邊三角形都不是等腰三角形

C 有些等邊三角形是等腰三角形 D 有些等邊三角形不是等腰三角形

2．初一（3）班有50名同學，其中有10名共青團員．下列說法正確的是（ ）．（可多選）

A 初一（3）班所有的同學都是共青團員 B 初一（3）班有些同學是共青團員

C 初一（3）班所有的同學都不是共青團員 D 初一（3）班有些同學不是共青團員

3．犯罪行為不是合法行為，故意殺人罪是犯罪行為．由此可以推出（ ）．

A 故意殺人罪不是合法行為 B 不合法行為是犯罪行為

C 不是犯罪行為一定合法 D 有的犯罪行為是合法行為

4．無理數是無限不循環小數，無限不循環小數是無限小數．故此我們可以推出（ ）．

A 無理數不是無限小數 B 無限小數是無理數

C 無理數是無限小數 D 無限小數不是無理數

5．一件事的情況或者是，或者是，也有可能既是又是．

（1）如果事情的情況是，那么事情的情況也是嗎？（ ）

（2）如果事情的情況不是，那么事情的情況是嗎？（ ）

A 肯定是B 肯定不是C 不確定是不是D 不會做

6．如果=，則2=2．下列選項正確的是（ ）．

A 如果≠，則2=2B 如果≠，則2≠2

C 如果2≠2，則≠D 如果2≠2，則=

7．如果兩個長方形的長與寬分別相等，那么它們的面積相等；現在長方形與長方形的面積相等，則一定有（ ）．

A 它們的長與寬一定分別相等 B 它們的長與寬可能都不相等

C 它們的長一定相等 D 它們的寬一定相等

8．五一長假期間學校組織去爬山，或者去爬泰山，或者去爬黃山；也可以兩座山都爬．

（1）如果五一期間同學們爬了泰山，那么爬黃山了嗎？（ ）

（2）如果五一期間同學們沒有爬泰山，那么爬黃山了嗎？（ ）

A 肯定爬了 B 肯定沒有爬

C 不能確定有沒有爬 D 不會做

9．現有一個四邊形，已知它要么是梯形，要么是平行四邊形．

（1）若有兩組對邊相等，這個四邊形（ ）．

（2）若至少有一組對邊不相等，這個四邊形（ ）．

A 肯定是梯形，不是平行四邊形 B 肯定是平行四邊形，不是梯形

C 有可能是梯形，也有可能是平行四邊形 D 不會做

10．一件事的情況要么是，要么是，不可能既是又是．

（1）如果事情的情況是，那么事情的情況也是嗎？（ ）

（2）如果事情的情況不是，那么事情的情況是嗎？（ ）

A 肯定是B 肯定不是

C 不確定是不是D 不會做

11．如果兩個自然數的乘積是奇數，那么他們的和是偶數．以下情況錯誤的是（ ）．

A 兩個自然數的乘積是奇數，它們的和是偶數

B 兩個自然數的乘積是奇數，它們的和是奇數

C 兩個自然數的乘積是偶數，它們的和有可能是偶數

D 兩個自然數的乘積是偶數，它們的和有可能是奇數

12．姚明不但參加過亞運會，而且參加過奧運會．這表明（ ）．

A 姚明參加過亞運會，可能參加了奧運會，也可能沒參加

B 姚明參加了奧運會，可能參加了亞運會，也可能沒參加

C 姚明參加過亞運會或奧運會

D 姚明兩個都參加了

13．已知：一個四邊形是矩形當且僅當四個角都是直角，那么以下情況正確的是（ ）．

A 一個四邊形是矩形，它的四個角并非都是直角

B 一個四邊形不是矩形，它的四個角都是直角

C 一個四邊形不是矩形，它的四個角有可能都是直角

D 一個四邊形不是矩形，它的四個角并非都是直角

14．公園里，小明指著湖面上的一群天鵝，說：“那些天鵝全部都是白色的．”小張仔細看了看，反對道：“不對，角落里有一只天鵝是黑色的．”以下說法正確的是（ ）．

A 只有一只黑天鵝，是個別情況，小明說的沒錯

B 有一只黑天鵝，說明小明的說法是錯誤的

C 黑天鵝只有一只，不能斷定小明錯了，除非能發現2、3只

D 黑天鵝只有一只，不能斷定小明錯了，除非一眼望去黑天鵝不比白天鵝少

15．小明說：“一個四邊形，如果至少有兩個角為90°，則它至少有一組對邊平行．”為了證明小明的說法是錯誤的，需要找到一個四邊形，滿足（ ）．

A 只有一個角為90°，且有一組對邊平行 B 沒有90°的角，且有一組對邊平行

C 有兩個角為90°，兩組對邊都不平行 D 只有一個角為90°，兩組對邊都不平行

16．觀察下列算式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，……根據上述算式的規律，請你猜想22017的末位數字是（ ）．

A 2 B 4 C 6 D 8

17．我們知道，三角形是平面圖形中邊數最少的多邊形．而在空間中，四面體（如圖所示）是面數最少的多面體．這兩者的性質之間有一些共通之處．根據三角形中任意兩邊之和大于第三邊這一性質，可以推斷在四面體中（ ）．

A 任意兩個面的面積之和大于第三個面的面積

B 任意三個面的面積之和大于第四個面的面積

C 三個面的面積之和有可能等于第四個面的面積

D 三個面的面積之和有可能小于第四個面的面積

18．如果“殺人”對應“犯罪”，那么以下哪一組詞的對應關系與此類似（ ）．

A 書法∶藝術 B 美麗∶漂亮 C 魯迅∶周樹人 D 歷史∶通史

19．如圖所示，按一定規律用火柴棍擺放圖案：一層的圖案用火柴棍2支，二層的圖案用火柴棍7支，三層的圖案用火柴棍15支，……，二十層的圖案用火柴棍（ ）支．

A 590 B 600

C 610 D 620

20．根據以下圖中的凸多面體的面數、頂點數和棱數,以下結論中哪個是正確的（ ）.

A 可以猜測+-=10 B 可以猜測+-=2

C 可以猜測+-=6 D 無法判斷

21．如果有一組詞是“寺廟—佛像—游客”，那么以下最為貼切的對應是（ ）．

A 商場—商品—營業員 B 畫廊—展品—參觀者

C 公園—城市—市民 D 學?！淌摇忌?/p>

22．把1，3，6，10，15，21，……這些數叫做三角形數，這是因為這些數目的點子可以排成一個正三角形，那么第七個三角形數是（ ）．

A 25 B 26 C 27 D 28

Research on Test of Mathematical Reasoning of Junior High School Students

YAN Qing1, HUANG You-chu1,2, LUO Yu-hua3, CHEN Hao4, YU Ping1

(1. Institute of Curriculum and Teaching, Nanjing Normal University, Jiangsu Nanjing 210097, China;2. College of Education, Shanghai Normal University, Shanghai 200235, China;3. School of Education Science, Jiangsu Second Normal University, Jiangsu Nanjing 210013, China;4. School of Mathematical Sciences, East China Normal University, Shanghai 200241, China)

After a comprehensive analysis of existing literatures about mathematical reasoning, basing on classification of logic inference and research findings of reasoning ability in psychology, and also giving consideration to mathematical knowledge of junior high school, we proposed a framework which can be used to evaluate mathematical reasoning ability of junior high students, and designed a test. This test took into account both form and content of mathematical reasoning. With the result of exploratory factor analysis, we examined construct validity of the test and revised the test. The final dimensions were “plausible reasoning” and “deductive reasoning” which includes “simple proposition and inference”, “disjunctive inference”, “propositional calculus”, “hypothetical inference”. The test was good in construct validity and reliability.

mathematical reasoning; mathematical proposition; key competencies

G632.0

A

1004–9894（2018）05–0025–08

嚴卿，黃友初，羅玉華，等．初中生邏輯推理的測驗研究[J]．數學教育學報，2018，27（5）：25-32．

2018–09–20

國家社會科學基金教育學一般項目——中學生學科核心素養的評價研究（BHA170150）

嚴卿（1987—），男，湖北武漢人，博士研究生，主要從事數學課程與教學論研究．

[責任編校：陳漢君、陳雋]