數學學習中的直覺與誤解

鄭倩 郜舒竹

【摘 要】學生數學學習中出現錯誤是一種必然且普遍的現象，錯誤的產生往往源于誤解，而誤解往往源于直覺。直覺現象十分普遍，會形成一種認知規律。作為教師了解數學學習中這樣的規律，對于提高教學的針對性十分必要。

【關鍵詞】錯誤；誤解；直覺規律

每個人在數學學習中都會出現錯誤，錯誤在數學學習中具有必然性和普遍性。如果把學生數學學習中出現的錯誤看作是一種現象，那么探尋錯誤產生的原因及其規律，并將其應用于數學教學，就成為數學教學研究的重要課題。研究的基本邏輯是“錯誤源于誤解，誤解源于直覺”。

以色列學者菲茨拜因（Efraim Fischbein）在其研究中指出：直覺是基于判斷信息種類或關系的思維模式和行為模式。在此思維模式的作用下會形成有規律的行動。菲茨拜因將人的理解和認知過程分為兩類，一類是直覺的，一類是邏輯的。學生受初學知識的影響，常因為直覺認知導致最后結果的錯誤。[1]

2006年，潘德麗莎、安尼塔和德梅特拉（Pandelitsa Papageorgiou， Annita Monoyiou， Demetra Pitta-Pantazi）針對“三角形越大，內角和越大”這一判斷做出了量化研究。他們選取77名六年級學生進行測試。這一測試設計了三個任務。

任務一出示了三角形ABC和三角形DEF，其中AB[<]DE，BC[<]EF，AC[<]DF（如圖1所示）。判斷三角形ABC的內角和小于三角形DEF的內角和是否正確，并解釋判斷原因。

任務二出示了在三角形ABC中，所有的角都小于90°。在三角形DEF中，∠E大于90°（如圖2所示）。學生判斷三角形ABC的內角和與三角形DEF的內角和的大小關系，并進行解釋。

任務三出示了四邊形ABCD和四邊形EFGH。AB[<]EF，BC[<]FG，AD[<]EH，DC[<]HG（如圖3所示）。學生判斷四邊形ABCD的內角和小于四邊形EFGH的內角和是否正確，并解釋原因。

任務一的測試結果顯示，多數學生（56.2%）錯誤地認為“三角形越大，內角和越大”。幾乎所有出現錯誤的學生都依據“因為三角形大，所以內角和大”進行解釋。

任務二的測試結果顯示，70.1%的學生沒有回答正確。他們認為“銳角三角形的內角和小于鈍角三角形的內角之和”。一部分學生（48.1%）認為“角度越大（[>]90°）內角和越大”。

對于任務三，近三分之二的學生（62.3%）錯誤地認為“四邊形ABCD的內角和小于四邊形EFGH的內角和”。37.7%的學生認為“圖形越大，內角和就越大”“圖形的每條邊變長了，內角和就變大了”。

通過這一研究可以發現，當學生面對兩個不同的三角形或四邊形時，會先關注這兩個圖形之間大小這樣的顯著特征。圖形大小的變化影響了學生對內角和的判斷。類似于這種“圖形越大，內角和越大”的直覺現象極其普遍，因此常被稱為“越—越（More-More）”直覺規律。

1984年，?？怂孤汪敹嗫耍‵oxman， Ruddock）對五年級學生進行角大小比較的測試，任務中分別呈現了兩個邊長不同的角，要求學生判斷角的大小。在已知角的大小與畫出的邊長無關的情況下，仍有33%的學生出現錯誤，認為“邊長越長，角越大”。

1997年，阿扎哈里（Azhari）針對1、3、5、7、9年級的學生進行面積與周長的測試。通過觀察圖片，比較左邊長方形與右邊多邊形的周長（[P1，P2]），如圖4所示。學生認為[P1>P2]的比例分別為75%、73%、75%、70%、70%。在圖中，學生可以準確地判斷出由于從長方形中分割出了一個小矩形，所以左邊長方形的面積大于右邊多邊形的面積。因為面積變小了，因此周長變小了。

這種極具普遍性的直覺規律具有自信（confidence）、頑固（perseverance）、整體（globality）、強制（coerciveness）和可預見（predictive power）的特征。這些特征深深地影響了學生的判斷，造成了學習中的誤解。盡管結果與常規學習的結果相反，學生仍會非常自信地使用直覺規律，并堅定自己被直覺規律支配的錯誤判斷。這也是誤解根植于學生心目中的重要原因之一。直覺規律的頑固性也直接影響著學生錯誤的出現。學生會根據已有的生活、學習經驗不斷認可心中的直覺規律，在面對新的學習任務時，習慣性地使用它。直覺與邏輯相反，是對整體的認知，是循序的、分析的。[2]直覺規律的整體性體現在學生對任務的認知方式上。學生關注任務本身的整體特征，通過感知與分析得出最后的結論。直覺規律對個體的推理策略以及對假設和解決方式的選擇施加強制作用。[3]這意味著學生傾向于拒絕接受那些會違背其直覺的解釋。例如，學生甚至成年人都相信“越乘越大”和“越除越小”，他們從小就習慣了這種信念。后來，即使在學習了有理數的概念之后，仍然持有相同的信念。顯然，這不再是正確的。除此之外，直覺規律還具有很強的預測能力。教師在了解直覺規律的作用機制后，能夠從思維層面了解學生在數學學習中的誤解，預見學生的反應。

因此，教師可以從誤解的角度改善教學活動。在注重呈現三角形內角和等于180°的同時，意識到學生心中存在“三角形越大，內角和越大”的誤解。教師可以通過布置任務的方式，讓學生思考產生這樣誤解的原因。以小組合作的方式組織教學，首先出示上文中的三個任務，讓學生快速地通過直覺進行判斷，呈現出錯誤。接著，鼓勵學生主動思考并討論出現這樣錯誤的原因。通過小組探究，總結出直覺規律，在今后的學習中盡量避免此類錯誤的產生。同時，教師鼓勵學生不僅依賴于任務的外部特征，更要觀察變中的不變，進行嚴謹的邏輯推理，批判性地看待自己的答案，發展學生的元認知評價能力。同時，針對“越—越”規律分析其適用性，揭示利用直覺規律解決問題的局限性。

利用直覺規律能夠了解學生的思維規律，找出學生存在的誤解，預見學生的錯誤。從直覺的角度出發，可以幫助教師理解錯誤的合理性，準確地診斷學生的困難所在，更有針對性地進行教學。

參考文獻：

[1]Efrain Fischbein. Educational Studies in Mathematics： Intuition and schema in mathematical reasoning [M]. The Netherland： Kluwer Academic Publishers，1999：14.

[2]Efrain Fischbein. Educational Studies in Mathematics： Intuition and schema in mathematical reasoning [M]. The Netherland： Kluwer Academic Publishers，1999：30.

[3]Efrain Fischbein. Educational Studies in Mathematics： Intuition and schema in mathematical reasoning [M]. The Netherland： Kluwer Academic Publishers，1999：29.

（首都師范大學初等教育學院 100048）