一個有趣的概率問題

錢禹任

眾所周知，概率論的起源是對賭博問題的研究.早在16世紀，就有人開始研究扔硬幣，擲骰子等相關問題，經過多年來許多數學家的研究，使之逐步發展成一門嚴謹的學科.由于本人一直對概率論的相關問題非常感興趣，利用課余時間，看了一些概率論相關的書籍，發現了一個有趣的問題，與大家分享。

一、問題提出

問題：下邊有四顆骰子（圖示為正方體的展開圖），分別用A、B、C、D來表示。莊家讓你先選擇一顆你自己認為最好的骰子，然后莊家再從剩下的三顆骰子中選一個。拋擲各自所選的骰子后，誰擲出的數字大，誰就贏了。那么，你應該選哪顆骰子贏面會比較大呢？

二、問題分析

從直觀上看，如果只投一次每個骰子都有贏的機會，所以我們要比較的不是投一次的結果，而是甲骰子能贏乙骰子的概率，如果大于1/2，我們就認為甲骰子比乙骰子強，那么問題就轉化為是不是有一個骰子比其余三個都強呢？讓我們分別來計算一下。

A與B：由于B的六個數都一樣，而A有四個數比B大，所以A贏B的概率為2/3。

A與C：A想贏C必須A投出4（概率為2/3）的條件下C投出2（概率為2/3），A贏C的概率為4/9。

A與D：A想贏D必須A投出4（概率為2/3）的條件下D投出1（概率為1/2），A贏C的概率為1/3。

B與C：由于B的六個數都一樣，而C有四個數比B小，所以B贏C的概率為2/3。

B與D：由于B的六個數都一樣，而D有三個數比B小，所以B贏D的概率為1/2。

C與D：當C投出6，必然贏D（概率為1/3），當C投出2（概率為2/3），此時D投出1（概率為1/2），C才能贏，所以C贏D的概率為2/3。

如果我們用符號“>”來表示骰子的強弱，通過上述計算，我們可以發現兩個“循環”結構（A-B-C與A-B-C-D）：

A>B， B>C， C>A，C>D， D>A

顯然，無論我們挑選哪個骰子，你會發現都有別的骰子贏面比你選的骰子大，也就是說這四個骰子中并沒有一個能贏過其它三個骰子，這個游戲怎么玩先選的一方都是會輸的。

曾經在一次宴會上，股神巴菲特嘗試和他的朋友玩這個游戲，而這位朋友正是比爾蓋茨，后者察言觀色覺得股神沒安好心，仔細一算相互的概率發現果然有陷阱……結局是兩人相視大笑。

三、數學原理

為什么會出現這種現象，我百思不得其解.因為在數學中，比較運算是有傳遞性的。如果兩個實數A>B，且B>C，那么一定有A>C。經過與老師的交流和上網查詢，發現這種現象被稱為“非傳遞性骰子”，有點像我們經常玩的游戲“石頭剪刀布”，可能會形成循環。

事實上在很多生活常識和數學概念中，傳遞性都是不成立的。

比如直線a和b共面，b和c共面，而a和c就不一定共面;

比如直線a和b垂直，b和c垂直，而a和c就不一定垂直;

比如生活中，甲認識乙，乙認識丙，甲也不一定認識丙;

上述這樣的例子還有很多。

我們遇到的“非傳遞性骰子”現象正是一個不具有傳遞性的數學事實，我們只是計算了其中兩個的勝負關系，用概率這一數字結果表現了出來，給人的感覺上好像有大小也就是傳遞關系，其實骰子A與B，B與C算出來的概率完全沒有可比性，也就是說二者之間是有勝負關系，但是三個放在一起是沒有必然的強弱關系的。

比如足球比賽也常常是這樣.即使A隊必勝B隊，B隊必勝C隊，也不能由此推斷A隊就能必勝C隊，因為這里也是一樣，前面兩個的勝負關系與第三場A與C的勝負是沒有必然關系的。

四、等價關系

經過查閱相關書籍資料，我找到了一個與傳遞性有關的數學概念——等價關系。

定義：設是集合上的一個二元關系（記作“”），若滿足：

自反性：.

對稱性：.

傳遞性：.

則稱是定義在上的一個等價關系。與中一個元素有關系的所有元素的集合叫做的等價類。

比如三角形的相似關系就是一個等價關系，與某一個給定三角形相似的所有三角形就構成了一個等價類;再比如，直線的平行關系就不是一個等價關系，因為自身和自身并不平行，所以不滿足自反性，等價關系是數學中的一種特殊的關系，實際上由等價關系出發，可以將集合劃分成很多互不相同的等價類，完成對集合的一種劃分，這也是分類思想在數學中的具體體現。

比如我們可以將整數中所有用3除余數相同的數看成一類，也就是說，我們將等價關系定義成只要兩個整數的差能被3整除，它們就是等價的。這樣一來，整個整數集合可以被劃分成3類，我們稱為同余類。這三類中各有一個代表元：0，1，2.比如0所代表的這一類，也就是能被3整除的所有整數，由于傳遞性，它們不僅都和0是等價的，互相也是等價的。這樣一來，所有能被3整除的整數可以看成是“一個”元素0。同理，1和2就代表了被3整除余數分別為1和2的另外兩類所有整數。據說高斯在研究數論的時候就用了同余類，非常著名的中國剩余定理也和這個有關。

老師告訴我，由等價關系出發，近代數學里還研究了所謂群環域等概念，也就是更加復雜抽象的數學結構了……真的是學海無涯，這也有待我以后大學生涯的求索吧。

參考文獻：

[1]葉軍.《如此“有序”？——從“不可遞”骰子說開去》[J].初中生數學學習，2004（04）.

[2]談祥柏.《神奇的骰子》[J].初中生數學學習，1997（09）.

[3]維基百科.（詞條：等價關系，等價類）