高中數學教學的實踐思考與理解

張棟梁

[摘? 要] 著眼于知識生成、學生認知、解題方法技能、教材以及編者意圖進行的教學，能使學生逐漸獲得領悟解題的數學機智和靈活、深刻的思維能力.因此，教師應有的放矢地對教材所呈現的思維鏈進行加密、拓展并厘清次序、設置階梯、搭建平臺，使學生能夠在更為豐滿的教學設計中獲得更多的體驗.

[關鍵詞] 知識生成;認知;方法技能;教材

[?]問題的提出

本文是筆者針對某節有遺憾的公開課所做出的思考，此節公開課的主題是向量方法的理解，執教教師在教學中通過引例與練習題將綜合法和向量法進行了對比，兩個法向量的夾角轉化成二面角的平面角的生成方法因為教師的課前預設不足使得很多學生最終選擇了死記硬背，很多學生因此對其中的轉化規律無法理解，筆者以為可以做如下思考與優化.

很多教師在兩個法向量的夾角轉化成二面角的平面角的規律中往往會提及“反向”與“同向”這兩個關鍵詞，“反向”指的是兩個向量方向相反，“同向”指的是兩個向量的方向相同. 當二面角的平面角是0°時，兩個半平面的法向量方向可以相同并形成0°的夾角;當二面角的平面角是180°時，兩個半平面的法向量方向可以相反并形成180°的夾角.不過，二面角的平面角在0°和180°之間時，此時的“反向”或“同向”往往與常規內涵是不一致的，學生較難理解和記憶. 因此，教師在法向量的夾角轉化成二面角的平面角的規律的教學中一定要進行優化，將兩個法向量的起點移至二面角的“張口”內并引導學生理解，使學生能夠在兩個平面的法向量均指向對應的半面角的內部或外部時理解二面角的平面角和兩個法向量夾角的補角相等，當兩個平面的法向量指向不同時理解二面角的平面角和兩個法向量的夾角相等，這就是很多教師經常強調的“同進同出互補（圖1）”和“一進一出相等（圖2）”.

此規律的操作可分為以下三步：①將兩個法向量的起點移至空間直角坐標系的原點并判斷其空間方向;②在二面角的“張口”內任意找一點P并過P點分別作兩個法向量平行的“小”法向量;③判斷兩個“小”法向量和對應的半平面之間是射出還是射入的關系. 以下面具體問題為例進行說明.

例：如圖3，已知△ABC與△DBC所在的平面相互垂直，AB=BC=BD，∠CBA=∠DBC=120°，求二面角A-BD-C的大小.

分析：過A點作CB的垂線并與其延長線交于點O，連OD，易證明OD，OA，OC兩兩垂直. 設AB=BC=BD=2，結合條件可得平面ABD的法向量n=（1，，1），平面BDC的法向量m=（0，0，1），cos〈n，m〉==. 將向量n的起點移至坐標原點，向量n即指向平面xOy第一象限的上方. 在二面角A-BD-C的“張口”內任取一點，取在線段AC上，將兩個法向量進行平移即可得到更“小”的法向量n1，m1（加細表示其相反向量），由圖3可得，“小”法向量n1，m1（加粗）的方向對其半平面來說均為射出，此時二面角A-BD-C等于π-〈n1，m1〉;對n1，m1的相反向量（加細）進行觀察可得其方向對于其半平面來說均為射入，此時二面角A-BD-C等于π-〈n1，m1〉;對“小”法向量n1的相反向量（加細）進行觀察可知其方向是射入平面ABD，m1（加粗）方向是射出平面BCD，此時二面角A-BD-C等于〈-n1，m1〉. 另外，直接觀察所求二面角為鈍二面角還是銳二面角對于解題來說是最為簡捷的. 不過，值得教師注意的是，并不是所有的二面角都很容易觀察可得其為哪一種二面角，此時對其進行考量就必須更加理性了.

[?]高中數學教學的理解

1. 須著眼于知識生成落實教學

數學概念、法則、定理、公理、公式的起源與發展都是人類長期實踐所得的精髓，每一個數學知識點的形成、應用與發展都是合情合理且渾然天成的.因此，著眼于知識點生成落實具體教學才能幫助學生更好地理解數學. 不僅如此，教師在設計教學過程時還應對其中的思維過程進行充分的展現與暴露，這有助于學生更好地掌握知識、方法并獲得思維品質的發展. 除此以外，教師在具體教學過程中還應及時發現學生的學習難點并調整教學路線，比如本文中所舉的具體例題中，教師就可以將兩個法向量如何轉化成二面角的平面角作為一個專門的課題來引導學生探究，以學習者的身份對學生的探究進行適當的引導，使學生在探究、歸納、論證、體驗以及反思等過程中形成對知識細節的把握.

2. 須著眼于學生認知落實教學

學習者在學習中已經了解的內容是教學過程中最有必要把握的環節，這有利于先行組織者對新舊知識關聯上的把握與設計，因此，教師在具體教學中應全方位地挖掘學生的潛能并做到全面了解學生. 首先，教師應對學生的認知起點進行準確的把握，由此切入進行的教學設計能幫助學生在原有的認知結構中順利實現知識的同化與順應，不僅如此，教師由此做出的教學取舍與調整也更能激發學生的積極思考與潛能發揮. 其次，教師應遵循學生的認知規律落實教學，迎合學生心理需求與思維方式的教學設計能更好地激起學生的情感體驗，教學也會因此更具針對性與實效性并更好地促進學生思維的發展.

3. 須著眼于方法技能落實教學

學生因為個人經驗的不足往往在很多問題上難以自主獲得一題多解的體驗，但實際上，一題多解能夠更好地將不同內容的橫向聯系融合起來并促進學生的思維更為廣闊，因此，教師在很多問題的解決中一定要引導、鼓勵學生進行一題多解并因此獲得更深、更廣的思維體驗. 一般來說，問題與問題之間的差異、問題中不變的規律往往會在一題多變的訓練中獲得充分的暴露，因此，教師在解題教學中也應進行充分審視與預設并進行具有針對性的引導.多題同解往往需要學生在解題時站在整體的高度進行思考與探索，這對于學生的思維來說是要求最高的，學生必須具備直達問題本質的洞察力才能對數學問題形成直達本質的理解與洞悉. 當然，這所有的形式都必須建立在扎實的基本知識、基本技能、基本思想和基本活動經驗的基礎之上，這對于學生思維的敏捷性、深刻性和批判性來說都是極具意義的.

也有一些學生總能在解題過程中展現出極高的領悟解題的數學機智，這源于其對問題本質的深刻理解以及數學思想方法的準確提煉. 因此，教師在具體的解題教學中不能僅僅停留于淺層次的分析上，觸及問題本質的深入分析才能幫助學生更好地產生創造性的思路和方法.