高中生數學運算核心素養的培養

宋健

[摘? 要] 從目前的實際教學情況來看，高中數學運算核心素養的被重視程度逐漸增加，在“切實提高高中生運用數學知識解決實際數學問題”的教學思想指導下，如何通過新的教學技術和理念在現有教學條件下，實現對教學過程的優化，切實達成對高中生數學運算核心素養的有效培養是當前乃至未來一段時間內高中階段數學科目的教學重點. 文章以一次“函數的性質復習課”作為教學案例，通過學情分析、微課設計思路、微課實施過程詳細地說明在高中生數學運算核心素養的培養過程中微課教學模式的應用范例.

[關鍵詞] 高中數學;核心素養;運算素養;函數的性質;微課設計

[?]前言

數學運算是構成高中階段數學核心素養的重要內容之一，對于學生利用數學知識解決生活中的數學問題意義重大. 高中數學新課程標準中明確強調了要加強在高中數學科目教學中，對高中生核心素養，尤其是數學運算素養的培養.從目前的教學實際情況來看，高中數學運算素養的培養方式有很多，但是總的培養場所仍然是課堂，而新授課、復習課等課程內容也仍然是主要的教育內容[1]. 因此，確保在現有的教學內容和教學環境下，通過應用新的教學理念和教學技術，實現對教學過程的優化，切實達成對高中生數學運算核心素養的有效培養是當前乃至未來一段時間內高中階段數學科目的教學重點. 本文以一次高三“函數的性質復習課”作為教學案例，通過學情分析、微課設計思路、微課實施過程詳細地說明在高中生數學運算核心素養的培養過程中微課教學模式的應用范例，同時通過對整個分析和教學過程的反思實現對整體教學效果的持續化改進和提升.

[?]課前學情分析

1. 內容分析

函數的性質是高考的主線之一，無論是何種函數，必然與函數性質相關聯.文章以一次高三“函數的性質復習課”作為教學案例，通過選取幾個典型的函數的性質高考真題，對如何在已知題干條件的基礎上，巧妙地運用運算技巧，簡化運算過程，提高運算準確度做一些探索. 該節教學內容延承函數的相關教學，是對生活中常見函數運算問題在數學中的研究和運用的另一重要體現.

2. 學情分析

該節課程內容進一步應用和引申了此前“函數”的相關性質，對于進一步強化函數的定義和性質，明確導數在研究函數的單調性、最值、圖像中的作用，同時也能為后續復合函數的學習發揮重要的思路啟發效果[2].

[?]微課設計思路

數學運算核心素養是貫穿學生數學科目學習始終的關鍵核心素養，也是歷來不同數學教學階段的教學重點和學生掌握的難點[3]，本次教學設計聚焦新課標對高中生數學運算核心素養，通過引入微課教學方式拓展教學內容，建立基于啟發與引導式的學生自主學習模式. 同時通過教師的觀察、提問提高教師與學生的互動，通過測驗和評價提高教師對學生實際掌握所學內容效果的把握[4]. 因此，此次教學設計將依循引出運算對象，歸納運算范疇，運算一般表達，運算移項化簡以及結果歸納拓展五個步驟展開.

下面具體解析數學運算的五個步驟，如圖1所示：

按照圖1所示的教學步驟，結合新課標對高中生數學運算核心素養的培養要求，此次教學設計還應實現“拓展數學運算思維—養成嚴謹求實數學精神—培養程序化分析習慣”三個目標，如圖2所示：

[?]微課教學實施過程

1. 引出函數運算對象

函數是高中數學中的常見考題，作為構成高中數學的重要部分，函數類的知識考查既是考試的重點也是考試的難點. 因此，本文擬定結合一道高考試題中的典型函數題，引出函數運算的概念，明確微課教學的對象.

師：同學們請仔細觀察下列試題，然后首先思考能有哪些解答方法？

例題：已知函數f（x）=ex，g（x）=x-m（m∈R）.

求：當m=0時，ef（x-2）與g（x）的大小關系？

生：可以從兩個函數的單調性方面入手，比較當m=0時，ef（x-2）與g（x）的大小.

師：同學們的思路很好，那么請同學們自己實際求證一下吧.

生：求解過程如下.

由上題條件可知，ef（x-2）=eex-2，g（x）=x.

討論：（1）當x≤0時，有ef（x-2）>g（x）;

（2）當x>0時，lnef（x-2）=lneex-2=ex-2，lng（x）=lnx.

令函數h（x）=ex-2-lnx，存在h′（x）=ex-2-，在（0，+∞）單調遞增.

令x=1，可得h′（1）<0，令x=2，可得h′（2）>0，

因此函數h′（x）=ex-2-，在（0，+∞）存在唯一實數根x0.

當1

當0

當x>x0時，h′（x）>0，則h（x）=ex-2-lnx單調遞增，

所以存在h（x）≥h（x0），代入ex0-2=，可得j（x）=-lnx，x∈（1，2）.

存在j′（x）=--<0，所以j（x）=-lnx在x∈（1，2）上單調遞減.

又j（1）=1>0，j（2）=-ln2<0，

所以……

師：很好. 同學們上述解答的思路還是不錯的，那么大家有沒有想過為什么計算到這里卡住了呢？請大家認真分析一下原因.

2. 歸納函數運算范疇

函數運算是在函數概念基礎上對函數相關內容的進一步引申，通過由一次函數等較為簡單的函數逐漸過渡到指數函數、對數函數乃至復合函數等較為復雜的函數，有助于學生更好地從數學概念的范疇理解函數的運算，并掌握此類題型的解題方法的歸納和總結.

師：在上述的解答過程中，同學們有沒有想到自己為什么解答不下去了呢？

生1：區間的選擇有問題么.

生2：兩個比較的函數很難轉化成同一類函數.

生3：構造函數h（x）的最小值的符號難以確定.

生：……

師：很好. 大家對上述問題的歸納和總結都很到位，所以大家對于函數運算的大概范疇有沒有建立較為明確的概念呢. 數學運算的過程實際上就是對事物或者問題展開理性認知的過程，大家如何建立嚴謹、周密的運算思維是確立運算范疇，并在這一范疇內找到對應的解決方法的關鍵.那么老師下面會根據同學們所指出的這幾種導致上述計算障礙的問題建立對應的解決辦法.

3. 運算的一般表達

在完成針對性的化簡計算之前首先應該按照自己的思路把根據題干中的內容和隱含條件所能列舉的關系式表示出來，也即運算的一般表達式.

師：請同學們分別根據上述三個造成障礙的問題，看看能不能寫出對應的關系表達式.

生：表示不出來，這個太難了……

師：那好，請大家跟著老師的思路一起來嘗試一下.

（1）區間的選擇有問題

在上題的選擇中，選定的h（x）=ex-2-lnx的區間為（1，2），同時，h（1）<0，h（2）>0，所以當我們取區間內的值x0時，就無法證明h（x0）>0恒成立，所以解決這一問題的方式就是進一步地選定恰當的區間.

（2）兩個比較的函數很難轉化成同一類函數

師：通過以前的學習相信大家還記得y=ex與y=lnx互為反函數，同時它們的圖像關于直線y=x對稱. 由此可知，函數y=ef（x-2與函數y=g（x）圖像也存在著分隔線，也即y=x-1，所以可以根據這個思路進一步向下求解.

（3）構造函數h（x）的最小值的符號難以確定

造成這個問題的主要原因是因為存在著對數符號，所以如果能夠去除對數符號，那么就可以準確地確定構造函數h（x）的最小值的符號，從而將問題迎刃而解.

4. 運算的移項化簡

在得出一般表達式后進一步獲取簡化后的關系式是對函數問題計算法則的應用精簡也是對函數相關學習內容的方法性概括，這有助于學生更好地把握運用各類型函數的定義和性質解決數學問題的實際能力.

師：好，請同學們分別按照老師的上述提示，結合自己現有的計算過程進行進一步化簡和運算，看大家能否準確求出最后的結果.

以問題1區間的選擇有問題為例進行移項化簡.令x=1，可得h′（1）<0，令x=2，可得h′（2）>0，即：h′（x）在（0，+∞）上有唯一實數根x0，且1

由此，可繼續計算求解.

其中問題2兩個比較的函數很難轉化成同一類函數及問題3構造函數的最小值的符號難以確定的求解過程由于篇幅問題不再列出.

5. 結果歸納和拓展

數學教學的本質在于知識的繼承、積累和拓展，因此在完成整個過程的教學內容后，教師如何更好地幫助學生承繼對前面所學內容的聯系和深入理解，實現對目前學習內容的積累和實際應用能力轉化，并對后續將要學習內容的拓展鏈接是數學教學的重要內容.仍以“函數的性質復習課”為例.

師：通過今天的學習，我們主要掌握了上述典型的函數高考題的求解思路以及推導化簡的方法，同學們在學習過程中也可以發現在完成一個推導化簡的過程中可采用的方法有很多，按照不同的分析邏輯完全可以獲得更為豐富、簡便的解答方式，因此在后續的復習中，老師想給大家留幾個問題，供大家在后續的復習和自主學習探究中進行深入思考.

（1）本次課程我們所探討的三種解答思路中，同學們感覺哪一種解答思路更為簡潔？

（2）在此次的解答思路分析中，我們能夠得出哪些對函數解答問題的新的認識？

（3）對于上述新的認識，同學們認為有哪些能夠歸納到我們的解題思路當中？

請大家在課后認真思考這些問題，我們在下一節課程的學習過程中再來一起探討這些問題.

[?]微課教學課后反思

第一，豐富而嚴謹的數學邏輯思維是提高學生運算核心素養的基礎[5]. 處于不同年齡段的學生在邏輯思維的成長方面有不同的發展規律，教師在實際教學中應該重視這一規律，通過教學方式及內容的精心設計達成與這一規律的最大一致. 以上述教學設計為例，作為高三階段的例題精講課，學生已經完成了一遍高中數學課程的系統學習，所以在本次教學設計中重點推動學生的自主思維，通過例題精講和啟發引導可以最大限度地激發學生的能動性，從而有效拓展學生數學思維.

第二，系統而層級化的有效提問是提升學生運算解題思路的核心[6]. 在上述的微課教學設計中，采用了大量的啟發性提問，不斷地引導學生自主思考，一方面提高了學生的參與性，同時也有助于幫助學生加深認知，并逐步養成針對運算問題自主總結、積極歸納運算方法的好習慣.

第三，積極而主動的自主探究是保障學生運算能力提升的關鍵. 綜合分析此次微課教學設計，由于學生在對題型的認知方面存在的障礙度較高，因此教師的分析和主導比重仍然過高，在解題思路的分析和引導中更多的是教師展開的，學生的整體參與度仍然有待于提高. 在后續的教學中應該進一步增加對學生自主學習探究積極性的促進，建立全過程的學生自主探究學習方式，幫助學生掌握更多的面對不同數學問題的解答邏輯和分析技巧，從而切實提升學生的數學運算核心素養.

參考文獻：

[1]? 張娟. 核心素養理念下高中生數學運算能力的培養心得[J]. 課程教育研究，2018（27）.

[2]? 王愛斌. 核心素養理念下高中生數學運算能力培養的思考[J]. 數學教學通訊，2017（30）.

[3]? 李楊. 基于“四基”的高一學生數學運算素養的調查研究[D]. 哈爾濱師范大學，2017.

[4]? 姚雪皎. 高中生數學運算素養的評價與培養研究[D]. 福建師范大學，2017.

[5]? 凌娜. 數據分析素養視角下的試題研究[D]. 福建師范大學，2017.

[6]? 高超敏. 基于數學核心素養的高三學生數據處理現狀調查研究[D]. 南京師范大學，2017.