基于數學核心素養下的數學探究課教學

王贏贏

[摘? 要] 數學核心素養反映了數學的本質與數學思想，是在數學學習過程中形成的，具有綜合性、整體性和持久性. “探究與發現”更能完整體現核心素養的價值. 文章基于核心素養的課堂研究，結合核心素養的文化理念，以教材中的探究課為載體，具體探究了實現高中數學課堂教學中核心素養培育的主要過程和方法，明確其實際價值.

[關鍵詞] 數學;核心素養;探究

在新一輪課程改革中，《普通高中數學課程標準》提出了數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算、直觀想象、數據分析六大核心素養. 張奠宙教授指出，數學核心素養包括“真、善、美”三個維度. 所以數學核心素養最終的表現，就是把所學的數學知識都排除或忘掉后剩下的東西，即能從數學的角度看問題，有條理地進行理性思維、嚴密求證、邏輯推理和清晰準確表達的意識與能力.

[?]教材分析

數學史是研究數學概念、數學方法和數學思想起源與發展及其與社會、經濟和一般文化聯系的一門學科，它反映了數學發展的脈絡與本質. 《普通高中數學課程標準（實驗）》中指出通過數學史的學習使學生“體會數學對人類文明發展的作用，提高學習數學的興趣，加深對數學的理解，感受數學家的嚴謹態度和鍥而不舍的探索精神.” 數學課程標準已把數學史作為理解數學的一種有效途徑，成為數學教學的一種工具，也是培育數學核心素養的必要載體. 以下以高中數學人教A版選修2-1教材中《為什么截口曲線是橢圓》為例闡述核心素養的培育在數學史教學中的一些體現和作用.

[?]學情分析

學生在掌握了橢圓的定義和性質后，結合生活實際經驗，對本節課的內容并不陌生.但一句“為什么截口曲線是橢圓”，就足以讓溝通陷入僵局. 所以，從知識儲備到思考習慣，孩子們都不太習慣這樣的探究課的模式. 借班（市重點學校的重點班）上課，孩子們思維活躍，數學基本功良好，善于表達，但是遺憾的是對孩子們的個體情況了解不夠準確，也有一些不敢放手.

[?]教學目標

1. 通過生活實驗，了解截口曲線的不同類型;

2. 結合Dandelin雙球法，理解截口曲線為橢圓的證明過程;

3.了解圓錐曲線簡單的發展史，以及在學習和生活中的應用.

重點：理解截口曲線為橢圓的證明過程.

難點：Dandelin雙球證法中的輔助線添法.

（在新的數學課程目標中，特別強調發展學生發現、提出問題與分析、解決問題的能力.在基于數學核心素養的課堂教學中，關于教學目標的設置，更加側重于學生的體驗和思維流程.所以，實驗是必須的，學生的發散思維會有所體現，圓錐曲線的發展史和Dandelin雙球法，這也成為關注的重點.）

[?]教學過程

（一）創設情境

眾所周知，哲學的三大問題是：我是誰？我從哪里來？我將要到哪里去？數學離不開哲學.根據前面的學習，借助視頻中橢圓的多種畫法，我們站在橢圓的角度，再來問一次這幾個問題：橢圓是什么？橢圓從哪里來？橢圓將要到哪里去？本節課我們將學習教材第42頁探究與發現“為什么截口曲線是橢圓”.既然是“探究與發現”，我就更希望同學們在學習的過程中勇于探究、敢于發現，并能樂于分享. 讓我們從一個小小的數學實驗開始今天愉快的探究發現之旅.

（創設合適情境是基于數學核心素養教學的關注點.首先要對“情境需要”有個全面的認識，包括實際情境、科學情境、數學情境、歷史情境.情境選擇的基本原則是便于理解學習內容和要完成的任務，循序漸進，進而考慮激發學生的興趣和熱情. 這里的創設情景既激發好奇心，調動學習興趣，又體現了數學的哲學性，包含了三個圓錐曲線的相互聯系.借班上課，在情感溝通的同時，也對學生進行了強有力的學法要求和指導.）

（二）情景體驗

每個小組桌面上都有準備好的實驗器材：蘿卜和小刀、圓柱形容器、圓錐形容器、手電筒和小球以及投影白紙，接下來我們完成實驗，觀察截口曲線的形狀[1].

要求：各小組由組長分工，每人做一個實驗，全組共同觀察討論截口曲線;小組內依次演示、記錄，并討論匯總實驗結果，完成導學案上的表格內容.

（設計意圖：直觀想象，在實驗過程中所有的爭論和想象，都百聞不如一見，特別是臨界情況. 在實驗過程中，拓寬視野、印證猜想，了解概念的來龍去脈，更好地理解事物間的相互聯系，提高和發展學生的能力.）

小組展示實驗過程，匯報實驗結果：

圓柱的截口曲線：圓、橢圓、直線;

圓錐的截口曲線：兩條直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線.

學生意見分歧：當截面傾斜到一定程度，截面與母線平行時，截口曲線還能是封閉的曲線嗎？

（設計意圖：課堂教學過程中，這個環節的設計是調動學生的一個很好的契機，也是思維碰撞認知沖突的一個地方.從形式上，課堂氛圍空前高漲;在思維上，交流和表達能促進進一步的思考和探索的欲望，思考三個圓錐曲線間的本質聯系.）

師：同學們，剛才大家合作探究的實驗發現都很棒！我覺得有兩點非常值得表揚：第一、合作很棒：取長補短、提高效率;第二、成果很棒：勇于探究敢于發現，從特殊到一般，得到的結論都是里程碑的結論.

其實，剛才我們這個實驗過程，在很早的時候人們也在執著地探求著更為廣泛的一般結論. 我國古代數學把橢圓稱為“長圓”“斜圓”，也能夠說明一些特征.而歷史上把這個實驗做得赫赫有名的是阿波羅尼奧斯.

阿波羅尼奧斯是古希臘與阿基米德、歐幾里得齊名的三大數學家這一，同時他還是天文學家、哲學家、思想家.他在前人研究的基礎上，大膽想象，勇于探究敢于發現，由特殊到一般，不屈不撓地發揚數學的一般化精神，研究歸納出圓錐的截口曲線的結論，分別把不同位置的截口曲線稱作：虧曲線、齊曲線和超曲線，后來被稱之為橢圓、拋物線、雙曲線，并撰寫了數學史上登峰造極的巨著《圓錐曲線論》.通過一個動畫來了解一下：

動畫視頻簡介：阿波羅尼奧斯之所以偉大，原來是他做媒，讓平面與圓錐面相愛了，有了愛的結晶：漂亮的女兒——圓，帥氣的兒子——橢圓、雙曲線、拋物線.圓太漂亮，性質特殊堪稱完美，后來出嫁另立門戶;而橢圓、雙曲線、拋物線三兄弟在以后的兩千多年里一直熠熠生輝，至今，他們還是隨父姓，所以本章叫“圓錐曲線與方程”.既然是一奶同胞三兄弟，從遺傳學的角度來說，既有遺傳也有變異，所以這三種不同的圓錐曲線既有共性聯系，又有個性區別，我們在后面常采用類比的方法學習和使用.

阿波羅尼奧斯的結論：

設圓錐軸截面母線與軸的夾角為α，截面和圓錐的軸的夾角為β，當截面不過頂點時，

（1）當β=α時，即截面和一條母線平行時，交線是拋物線;

（2）當α<β<時，即截面不和母線平行，且只和圓錐面的一葉相交時，交線是橢圓. 特別地，當β=，即截面和圓錐面的軸垂直時，交線是圓.

（3）當0≤β<α時，即截面不與母線平行，且和圓錐面的兩葉都相交時，交線是雙曲線.

（設計意圖：編這個貼近生活而生動活潑的故事，讓孩子們對圓錐曲線的學習更有興趣、也更容易理解. 生動的動畫勾勒出三個圓錐曲線的共性聯系與區別特點，更宏觀地展示了數學知識的產生過程和相互聯系.）

根據這個結論，我們得到的截口曲線是橢圓.可是，我們學習的橢圓的定義是什么呢？

師：我把兩個焦點當作橢圓的“眼睛”，其重要性不言而喻.

軌跡定義是1579年蒙蒂提出來的，當然這個從運動變化的解析角度定義更加方便定量描述. 從軌跡定義的角度來看，我們觀察到的橢圓是橢圓嗎？截面定義和軌跡定義有矛盾嗎？需要從定義出發，從“數量”角度對“圖形”的感覺加以說明.

歷史上有很多人嘗試用純幾何的方法證明，而最為精妙的是Dandelin雙球法.我們一起來探究學習大師之作.

（設計意圖：看到的是橢圓形狀，但是跟我們所學的橢圓的定義看起來又沒有多大聯系. 數學的結論必須經過嚴謹的證明. 強烈的思維碰撞，課堂這時需要留白，雖然并不能完全解決證明的過程，但不可忽視學生的思考和猜想.）

（三）探究證明

以剛才實驗中點光源照射小球的投影為例，大家發現這個模型：點光源射出的光線當作圓錐，球與圓錐面和投影面都相切，球的影子事實就是投影面作為截面截圓錐的截面[2].

問：根據橢圓的定義，證明的思路是什么？

生：由定義

PF1

+

PF2

=2a（2a>

F1F2

），則需要定點（焦點）、定長.

問：在橢圓面上，焦點在哪里？也就是橢圓的“眼睛”，能找到嗎？（停頓）……如果找不到也別灰心，歷史上也不曾有幾個人找到過. 現在有前人的經驗，根據橢圓的定義，焦點應該在長軸上，從截口形狀和對稱的角度考慮，我們猜測球與截面的切點可能就是焦點.

既然是切點，用類比的方法，我們在截面下方再放入一個合適大小的球，使球與圓錐面和截面都相切，那么切點就該是橢圓的另一只“眼睛”了！接下來根據定義進行證明猜想.

上下兩個圓與截面的兩個切點，就是猜想的截口曲線橢圓的兩個焦點，分別記作E，F，在截口曲線上任取一點A，問題轉化為證明AE+AF為定值.

師：在建立模型的過程中，AE，AF分別與兩個球是什么位置關系？

生：AE與上面的球相切，AF與下面的球相切.

師：A是截口曲線上的點，當然也是圓錐面上的點，過A作圓錐的母線，與上下兩個球是什么關系呢？

生：母線與上下兩個圓都相切.

追問：為什么一定相切？

生：過這條母線做圓錐的縱截面，AB，AC分別與上下兩個截面圓相切，所以與球也相切.

師：現在來換個角度看，對于上面的小球而言，AE，AB分別是它的兩條切線，那么長度關系是什么？

生：切線長相等，則AB=AE.

師：同理，觀察下面的切線，能得到什么結論？

生：AC=AF.

生：所以AE+AF=AB+AC，而AB+AC=BC是定值，這就符合了橢圓的定義.

（設計意圖：Dandelin的這個證明可以稱作是絕唱，其中的數學美妙不可言喻. 也因其精妙到常人難以想到，所以學生的獨立思考和探究過程肯定也難以推進.這部分的證明就只能在老師的一步步啟發追問下逐步完成. 嚴密的數學證明過程，巧妙構造空間圖形，融空間幾何、平面幾何、解析幾何于一體，渾然天成，讓孩子們感受數學的圖形美、對稱美、統一美.）

這個精妙的純幾何證明方法是法國著名的數學家Dandelin最早發現的，但這也都已經是阿波羅尼奧斯發現截口曲線是橢圓這個事實后的2000年了，可謂“路漫漫其修遠兮”. 在此期間，數學家們也經歷了各種不懈的努力，但都沒有找尋到一種簡捷有效的方法，因為這個證明過程實際上是用立體幾何的方法來證明平面幾何的結論，需要人為主動地去構造行之有效的幾何關系和等量關系.

Dandelin雙球法，不僅能證明截口曲線是橢圓，也能證明截口曲線為雙曲線，還可以把截面和Dandelin球的切點圓面相交得到準線，進而證明圓錐曲線的第二定義，后人把這個證明叫“冰激凌定理”. 從這里我們也能進一步看到圓錐曲線的聯系和統一，同學們課外可以繼續深入學習.

（設計意圖：既讓孩子們能加深對Dandelin雙球法的理解和內化，也能進一步說明Dandelin雙球法的普適性，說明圓錐曲線的相互聯系和統一性. 當然，此時，如果可以，則近乎可以達到無字證明的境界，在孩子們心中形成強烈的好奇和震撼.）

（四）實踐應用

剛才同學們用一個與圓柱的母線斜交的平面截圓柱，也得到一條截口曲線為橢圓，我們在圓柱內截面兩側也放置兩個與圓柱側面和截面都相切的Dandelin球，你能仿照上述方法，證明圓柱的截口曲線也是橢圓嗎？

（設計意圖：這里作為一次實踐應用實際是比較簡單的，是對課堂知識的檢測，也是孩子們自己的一次雙球實驗.）

問：在應用中你覺得dandelin雙球法最妙在哪里？

現在，我們可以很有底氣地回答課題引入時的問題“我是誰？”“我從哪里來？”橢圓是到兩個定點距離之和等于定值的點的軌跡;橢圓作為圓錐曲線的一種，可以從圓錐中斜截得來.那么第三個問題“橢圓將會到哪里去呢”？關于截口曲線，生活中有哪些應用呢？

（設計意圖：這是一個開放的問題.第一、孩子們根據本節課的證明過程，進一步印證生活中的橢圓確實是橢圓;第二、對后面將要學習的橢圓的性質和應用、圓錐曲線的光學性質做鋪墊，起到承上啟下的作用.）

（五）課堂小結

1. 在歷史順序中感悟圓錐曲線的完備統一，談談區別和聯系;

2. 在探究發現中領略數學之美，聊聊幾何之形美神也美;

3. 在合作學習中體會收獲和遺憾，交流感悟.

今天我們緣未盡，情未了. 我在橢圓的左焦點，你在橢圓的右焦點，雖空間距離此消彼長，卻總能默默傾聽彼此的心跳. 這是即將學習的橢圓的光學性質的普遍應用. 再次謝謝同學們！

（設計意圖：這是對本節課知識的盤點、思路的回顧，也是對后續教學的一點引導和啟發. 當然，借班上課，情感的溝通是自始至終的，也是對課前引入的一點回應.）

[?]作業布置

1. 實踐作業：以小組為單位，通過合作實踐，還能通過什么方式得到橢圓？

2. 查找Dandelin截口曲線為雙曲線的相關資料，并嘗試用冰激凌定理解決圓錐曲線的第二定義問題.

（設計意圖：這節課是教材的探究與發現，所以教學設計附帶有相應的知識和資料. 作業布置第一道題是小組合作實踐作業，當然這個操作更進一步的要求是證明;第二道題是課堂知識的應用和深化，也是對圓錐曲線統一性的再認識.實際操作時，這個作業要給予一周左右的時間.）

[?]教學反思

由于是借班上課，對學情的了解和把握不是很精準，所以實驗探究和學生展示的環節花費了較多的時間，最后的應用也有些許遺憾，但整個教學過程比較流暢，達成了既定的學習目標. 恰好是給予了學生充分的時間和探究，才能讓學生活動落到實處，學生踴躍地展示自己的體驗和發現，也構建了良好的師生關系和課堂氛圍.

在備課中，我對數學實驗的操作與否和如何操作都曾糾結了很久. 首先是實驗操作的必要性，一開始我認為高中生的認知水平對這個實驗想得一定比做得快，但后來的個別調查讓我發現其實并不是所有的學生都會堅信截面的形狀，特別是當截面不完整的時候分歧很大. 這使我堅定了實驗操作的必要性.課堂教學的事實也發現，確實學生對不完整的截面形狀連簡單的想象都不好定論. 其次是實驗的操作方式. 數學老師的實驗操作能力確實不夠豐富，在試講中實驗結果整理出來的時候已是時間過半. 后來嘗試用表格的形式把實驗結果總結歸類，終于達到事半功倍的效果. 這在以后紛繁復雜的操作活動中都可以借鑒.

教學過程中對三個圓錐曲線的關系的發現是本節課學生的直觀感受，雖然我編織了美麗的童話，設計了活潑的動畫，但師生對其過渡和極端情況的發現和講解還不到位，這也是本節課的遺憾之處.

參考文獻：

[1]? 章建躍. 數學教學方法的現代發展[J]. 中學數學教學參考，2008（5）：1-3.

[2]? 陳鋒，王芳. 基于旦德林雙球模型的橢圓定義教學[J]. 數學教學，2012（4）：5-8.