匹配學生認知規律 搭建素養發展階梯

謝姚平

[摘? 要] 文章是對《數學歸納法》一課觀摩過程和反思進行的整理，簡述了課堂實錄，并結合課堂教學反推授課教師的基本設計意圖，最后還分享了作者的觀摩隨感.

[關鍵詞] 數學歸納法;教學實錄;觀摩隨感

發展學生的核心素養是當前高中數學教學的重要目標，如何將這一目標體現在課堂教學中呢？這是一個值得數學教師值得廣泛關注的問題，近期筆者觀摩了一節題為《數學歸納法》的公開課，授課教師精心設計，充分匹配學生的認知規律，在引導學生建構認知和發展能力的同時，將課標中有關素養的發展要求落在了實處，以下是筆者對課堂實錄的整理和相關思考.

[?]課堂實錄呈現

1. 課堂導入，引入課題

教師創設情境，引導學生建立不完全歸納法和完全歸納法的概念.

問題情境1：大林的爸爸一共有三個兒子，老大的名字叫“一毛”，老二的名字叫“二毛”，老三的名字叫什么？

有的學生脫口而出：老三的名字叫“三毛”. 很快就有學生反駁道：錯了，問題的開頭就說了是“大林的爸爸一共有三個兒子”，因此第三個孩子就叫“大林”. 在此基礎上，教師引導學生展開總結：如果只是針對部分對象進行研究，并得出一般化的結論，這種方法就叫作“不完全歸納法”. 從上述的例子可以發現，根據前兩個兒子的名字即推測第三個兒子的名字，這顯然是不正確的答案.

問題情境2：現在有一積木袋子，里面一共有五塊積木，抽出第一塊是藍色的，抽出第二塊也是藍色的，請問：如何才可以驗證積木袋子中積木都是藍色的呢？

有了剛才的“問題情境1”做鋪墊，這時學生都變得慎重了，他們給出答案：只要將袋子徹底打開，將每一塊積木都查驗過去，就可以確認是什么顏色了. 教師引導學生總結：你們剛才的推理結論是建立在將所有的元素都考查過去，這種歸納方法是“完全歸納法”.

教師引導他們對上述兩個問題情境進行總結，并得到結論：不完全歸納法所得到的結論不可靠，而完全歸納法的結論則是可靠的.

教師繼續提問：上述兩個問題都是與正整數相關的問題，結合兩個例子進行分析可以發現，如果要處理一個與此類似的問題，為了讓結果更加可靠一點，我們應該采用哪個方法來進行歸納呢？

學生紛紛答道：采用完全歸納法.

問題情境3：現有數列{an}，已知a1=1，an+1=（n=1，2，…），求（1）a2，a3，a4;（2）請猜想該數列的通項公式;（3）請驗證你的猜想.

學生圍繞問題（1），很快得出結論：a2，a3，a4三項分別是，和;并且猜想本數列的通項公式為an=. 猜想是否正確呢？學生陷入困境，因為從剛才的問題情境中，學生已經明確不完全歸納法和完全歸納法結果的差別，而明顯現在的問題牽扯到無窮多項，不可能像剛才那么簡單地操作. 學生的思維陷入困境，一種對新知識、新方法的渴求情緒醞釀了起來.

設計意圖：上述導入環節，教師從一個腦筋急轉彎的故事入手，引入不完全歸納法和完全歸納法的討論，這樣的處理能夠有效地激活學生思維，活化對概念的認識. 在相關概念已經明確的前提下，教師再通過問題引入情境3，將學生已經具備的數列知識和即將學習的數學歸納法銜接起來，這是充分站立于學生的最近發展區，引領學生向著新的研究領域出發展開探索.

2. 引導探究，突破難點

圍繞剛才的思維困境，教師繼續引導，幫助學生構建新的思路，并實現難點突破.

教師引導：剛才的數列顯然不能一項項都羅列出來進行討論，那我們怎樣才能尋找到一項可靠的總結方式呢？

教師說罷，稍微停頓了片刻，讓學生思考了一會兒，這是一個緩沖過程，讓學生為即將展開的思考積蓄力量、醞釀情緒.

問題情境4：教師播放多米諾骨牌的視頻，并提問，怎樣才可以讓多米諾骨牌全部都倒下？

學生討論并總結：必須滿足兩個條件，條件一：第一張骨牌倒下;條件二：任意相鄰兩張牌，前一張牌的倒下都會帶著后一張牌倒下.

教師引導學生在多米諾骨牌的問題探究基礎上，展開探索：如何證明之前的數列問題呢？

學生開始討論，并形成認識：①當n=1時，由題意可得a1=1，猜想式成立;②假設當n=k時猜想式也成立，則ak=，那么當n=k+1時，根據條件ak+1=及假設ak=，有ak+1===，因此猜想式在n=k+1時也成立. 由①②可以確定，對于一切正整數n，猜想都是成立的，即上述數列的通項公式為a=.

教師引導學生展開總結：上述方法就是我們今天要研究的數學歸納法，請嘗試概括采用數學歸納法的基本步驟.

學生嘗試總結：兩個基本步驟，第一步，證明當n取第一個值n0（n0∈N*）時命題成立;第二步，假設n=k（k≥n0，k∈N*）時命題成立，證明當n=k+1時，命題也成立. 只要上述兩個步驟完成，即可判定命題對從n0開始的所有正整數n都成立.

設計意圖：教師以多米諾骨牌的視頻為切入口，以此來對學生進行啟發和點撥，這樣的教學可以讓學生對數學歸納法形成更加形象的認識. 須知，對學生來講，數學學習最大的難點就是問題的抽象性，我們指導學生化抽象為形象，能夠最大限度地降低知識和方法的理解難度，這有助于學生建立有關概念，也有助于他們更加高效地掌握相關方法.

3. 隨堂練習，鞏固認識

教師列舉問題，讓學生從數學歸納法的角度著手，積極開展應用.

例題1：求證1+3+5+…+（2n-1）=n2.

基本思路：①當n=1時，左邊=1，右邊=12=1，等式成立;

②假設當n=k（k≥1，k∈N*）時，1+3+5+…+（2k-1）=k2，

那么1+3+5+…+（2k-1）+（2k+1）==（k+1）2，則當n=k+1時也成立.

根據①和②，可知等式對任何n∈N*都成立.

當學生完成例1的分析和處理后，教師要提醒學生運用數學歸納法分析問題時務必注意，n=k+1的有關證明必須利用n=k的歸納假設.

例題2：求證n3+5n（n∈N*）能被6 整除.

基本思路：①當n=1時，13+5×1=6，能被6整除，命題正確;

②假設n=k時命題正確，即k3+5k能被6整除，所以當n=k+1時，（k+1）3+5（k+1）=（k3+3k2+3k+1）+（5k+5）=（k3+5k）+3k（k+1）+6.

因為兩個連續的整數的乘積k（k+1）是偶數，所以3k（k+1）能被6整除.

所以（k3+5k）+3k（k+1）+6能被6整除，即當n=k+1時命題也正確.

根據①和②，可知命題對n∈N*都正確.

設計意圖：上述兩個例題都是數學歸納法最典型的問題，教師要給予學生充足的時間進行思考，并讓學生到黑板上板演具體步驟，這樣的處理方便對學生進行最精準的糾正和指導，有助于學生對方法的理解和掌握.

[?]觀摩隨感和反思

關注學生的素養提升，那就要求所有的設計都應該以學生為中心，本課的教學就充分體現到這一點.

首先這一課重視了學生的認知特點和學習困難，在以往的教學中，很多教師忽視學生對方法提出緣由的教育，這無形之中就構成了學生理解上的斷層，而在本課教學中教師由多米諾骨牌為情境，為學生搭建了一個相對形象的認知平臺，通過類比的想法讓學生能夠更好地理解數學歸納法的提出和相關操作步驟[1].

其次是有效關注學生的課堂參與度，在教學過程中，無論是基本概念的得出，還是數學歸納法操作步驟的總結，授課教師都安排學生來進行探究，教師很好地充當了啟發者和指導者的角色. 甚至是最后的練習題，教師也是讓學生思考處理后，由學生代表到前臺來展示和交流. 在這樣的課堂上，學生的參與度很高，也得到了成長機會.

最后是關注學生的思維發展，數學教學中很關注三個方面的理解，即理解教材、理解學生、理解教學，要實現上述要求，就需要教師極力關注學生的思維特征[2]. 在本課教學中，教師經常性地給予學生討論和表達，誘導學生將思維過程展示出來，這樣的教學有助于學生暴露出思維上的缺陷和不足，也方便教師進行針對性的幫扶和點撥，學生在這樣的課堂上能夠獲得更好的發展.

參考文獻：

[1]? 馬茂年，俞昕. 課堂教學回歸“數學化”的討論和分析——以高中“數學歸納法”的教學為例[J]. 數學教育學報，2013（03）.

[2]? 何曉敏，寧連華. 基于數學活動經驗的數學化——以數學歸納法的教學設計為例[J]. 高中數學教與學，2011（22）.