讓“經歷”變成“經驗”

桑坤

摘要：解決“草坪面積問題”時，學生存在不假思索地把四段小路拼起來的情況。這是因為產生了負遷移。負遷移的出現緣于學生對既有方法理解的模糊，以及缺乏動手實踐、自主探究的實質性活動經驗。對此，應帶領學生經歷探究過程，以達成對方法的深度理解。具體實施時，可借助多元表征，促進遷移的“正向”生長;通過做思共生，促進數學活動經驗的“正向”積累，讓“經歷”變成“經驗”。

關鍵詞：小學數學;草坪面積問題;負遷移;多元表征;做思共生

一、案例描述：用常規思路卻出錯了

在學習五年級上學期“多邊形的面積”相關內容后，學生在練習中碰到這樣一道題：“如圖1所示（為便于示意，草坪比例有調整），有一個長60米，寬24米的長方形草坪，王叔叔在草坪中設計了兩條寬為2米的小路。這個草坪的面積是多少平方米？”

學生通常會通過剪、拼，將四塊小草坪拼成一個長方形，從而算出草坪的面積。即長為60-2=58（米），寬為24-2=22（米），草坪面積為58×22=1276（平方米）。這種方法對于解決這道題是完全可行的。但這樣做為什么可行？很多教師并未作出詳細的解釋。當把題目中小路的位置進行相應的調整（如圖2和下頁圖3所示）后，學生會借助原有的知識經驗，不假思索地把四段小路拼起來，算出草坪的面積。

但如果繼續調整小路的位置（如圖4），還可以用上面的方法去解決嗎？答案是否定的。如果繼續沿用，算出的草坪面積將是錯誤的。

二、案例分析：缺乏本質理解，導致負遷移

新的學習往往以原有的學習為基礎， 原有的學習經歷可能對后續的學習產生促進效果， 也可能產生阻礙作用。后者在心理學上被稱為“負遷移”。當草坪中的兩條小路分別平行于長方形的長和寬時，通過剪、拼，能夠將四塊小草坪拼成一個新的長方形;當兩條小路中只有一條小路平行于長方形的長或寬時，也可以通過剪、拼，將四塊小草坪拼成一個新的長方形。在一系列相關知識的建構過程中，“只要草坪中有小路，都可以通過剪、拼，將四塊小草坪拼成一個新的長方形”的認知逐漸在學生的頭腦中形成。因此，在解決變式題目時，學生在沒有真正理解這一內容的內涵及本質的情況下，僅僅根據自身的已有知識經驗，極易被表面的相似迷惑。這是基于不成熟的數學認知的不恰當的遷移，即產生了負遷移。

負遷移的出現緣于學生對既有方法的模糊理解，以及缺乏動手實踐和自主探究的實質性活動經驗。當題目發生改變，即草坪中的兩條小路都不平行于長方形的長與寬時，學生僅依靠對類似題目的模糊“經歷”，用理解不夠深刻的方法去解決，導致了錯誤的發生。

三、改進后的教學

（一）自主探究，驗證猜想

師（出示圖1）像王叔叔一樣，在長60米，寬24米的長方形草坪中自主設計兩條筆直的小路，小路的寬度還是2米，把你的設計畫出來。

（學生完成設計。）

師剛剛老師拍了一些同學的作品，（出示學生作品）你們能幫老師分分類嗎？同桌交流，互相說一說你的分類方法和理由。

（學生交流匯報。）

生可以分成三類，第一類和原題一樣，兩條小路分別平行于長方形的長和寬。

師是的，我們可以分成三類。第一類是兩條分別平行的。（板書：兩條分別平行）那第二類呢？

生只有一條小路平行于長方形的邊。

師是的，只有一條小路平行于長方形的邊，這條小路平行于長或者平行于寬。我們記作只有一條平行。（板書：只有一條平行）那第三類呢？

生兩條小路都不平行于長方形的邊。

師我們記作兩條都不平行（板書：兩條都不平行）。第一類兩條分別平行的情況，之前已經通過動畫進行了驗證。接下來，我們重點研究第二類和第三類。先來看第二類，（出示圖5、圖6）這些草坪去掉兩條小路后，剩余部分都能拼成一個長方形嗎？

生能。

生不能。

師看來大家有爭議，口說無憑，讓我們一起來驗證，請大家完成學習單的第一部分?；顒右鬄椋海?）打開1號文件夾，同桌兩人合作選擇一種方案剪一剪、拼一拼，注意保留完整的小路;（2）把剪好的四塊“草坪”貼在各自的磁鐵板上，動手操作，檢驗是否能夠拼成長方形;（3）在小組中交流作品，記錄你的發現，準備匯報，貼磁鐵板匯報時注意先還原再演示。我們可以這樣匯報：“我選擇的是方案（），通過操作我發現，（能、不能）拼成長方形?！?/p>

（學生完成操作活動，指定小組匯報。）

師通過剛才的操作，我們發現，當一條小路平行于長方形的邊時，確實能通過剪、拼得到一個新的長方形。那同學們想過沒有，為什么第二類情況下，去掉小路后剩余的四塊“草坪”還可以拼成長方形？

（學生回答。）

師（出示圖7）只有一條小路平行于長方形的邊時，兩條小路可以看成由三個平行四邊形和兩個梯形組成，平行四邊形的對邊平行且相等，所以去掉小路后剩余的四塊“草坪”可以拼成一個長方形。

師剛剛我們已經驗證了前兩類，（出示圖8、圖9）那第三類我們是不是可以不用驗證直接下結論了？

生不能。

師該怎么辦？

生繼續驗證。

師我們繼續來動手驗證。請打開2號文件夾，按照相同的活動要求完成第三類的驗證。

（學生完成動手操作驗證活動。）

生當兩條小路都不平行于長方形的邊時，不能拼成一個長方形。

師為什么第三類不可以通過剪、拼，將剩余部分拼成長方形呢？

（學生回答。）

師（小結驗證方法，如圖10所示）當兩條小路都不平行于長方形的邊時，這兩條小路可以看作是由四個梯形和一個平行四邊形共同組成的。當把四塊“草坪”拼在一起時，實質上就是將梯形的兩個底拼接，但由于梯形的兩底不相等，在外邊沿對齊的情況下，就形成了中間部分還空出一塊的結果。這說明，當兩條小路都不平行于長方形的邊時，四塊“草坪”無法轉化成一個完整的長方形。

（二）自主建構，思維進階

師同學們，當我們遇到新的問題并且有一些想法時，我們要做的就是大膽地去驗證這些猜想。通過剛才的驗證，你知道了什么？

生至少有一條小路平行于長方形的邊時，可以拼成長方形;兩條都不平行時，就不能拼成長方形。

師說得真好！同學們，剛剛我們先有了猜想，然后又對猜想進行了驗證，最后我們得出了結論。猜想有可能是正確的，也有可能是錯誤的。正確與否，需要進行驗證，我們要用科學的態度來研究數學問題，正如荷蘭數學教育家弗賴登塔爾所說：“真正的數學家常常憑借數學的直覺思維作出各種猜想，然后加以證實?！逼鋵嵞銈兠總€人都是小小數學家，只要你們勇于探究，就會發現更多數學中的學問。

四、相關思考：“正向”，才能讓“經歷”變成“經驗”

（一）借助多元表征，促進遷移的“正向”生長

研究表明，在教學較難理解的內容時，可以通過多元表征減輕學生理解知識的負荷。要讓學生真正地將對數學知識的理解內化于心，并且能夠重新建構對知識的認知，不僅要豐富知識的不同表征形式，而且要在不同的表征形式間建立聯系，從而真正地豐富對知識的理解。如果將定義描述為“骨架”，不同表征便是“血肉”，它們之間有了聯系，就能真正達成理解，也就有了“靈魂”，正遷移在此過程中自然發生。

在探究草坪中的小路（情境）的相關內容時，學生可以借助原有的知識，知道可以把四塊小草坪拼起來，完成自我建構。在表達時，通過畫圖（圖像）將自己的想法展示給其他同學，在合作交流（語言）的過程中，達成共識。接下來，進一步合作交流，明確有三種不同的情況，繼而通過對三種情況的分類探究，發現橫豎都不平行的情況是無解的。在回顧反思中，對這幾種情況進行知識的重新建構，明確“至少有一條小路平行于長方形的邊時，可以拼成長方形;兩條都不平行時，就不能拼成長方形”。通過情境、圖表、語言等多元表征，學生在探究性的活動中，把對難點的理解暴露出來，進而通過經歷嘗試、猜想、驗證、再猜想、再驗證、歸納等過程，探究出知識的本質，削弱負遷移對學生的固有影響，促進遷移的正向生長。

（二）通過做思共生，促進數學活動經驗的“正向”積累

教育家蘇霍姆林斯基說過：“兒童的智慧在他的指尖上?！眲邮植僮魇菍W生學習數學知識的重要途徑和基本方法。但“做”不是目的，“做思共生”才是動手操作活動的旨歸。

改進后的《草坪面積問題》一課，精心設計了3次動手操作活動。在這3次動手操作活動中，教師通過安排合理的學習材料，組織合理的學習活動，給學生充足的自主探究時間，促使學生積累研究活動的直接經驗，帶著這樣的經驗走入小組，分享收獲、解釋發現和方法、闡明觀點、經歷修正和完善，在達成學習共同體的構建過程中，不斷提升自我學習力。在深入探究的過程中，動手操作和深度思考讓“經歷”變成“經驗”。

參考文獻：

[1] 賁友林.關于獲得數學活動經驗的三點認識[J].江蘇教育，2011（34）.

[2] 王倩.用兒童的方式抵達數學的內核——蘇教版教材 “動手做”價值分析與實施路徑[J].小學數學教育，2019（1/2）.

[3] 何健.思維可視化：提升學生的邏輯推理力[J].數學教學通訊，2020（10）.