深刻理解 深入挖掘 實施運算*
——以2021年新高考全國I卷第21題為例

周 炎 (江蘇省平潮高級中學 226361)

解析幾何是高中數學的主干知識，它緊扣曲線方程、數量關系、幾何圖形、數形結合等主線，讓學生深刻體會到從方程出發用代數方法研究幾何問題這一解幾本質．在歷年的全國高考數學試卷中，解析幾何試題一直占據著舉足輕重的地位，考生在該題上的成敗是決定其最終數學分數高低的重要因素之一．《普通高中數學課程標準(2017年版)》明確指出了平面解析幾何解決問題的基本過程，即根據幾何問題和圖形的特點，用代數語言把幾何問題轉化為代數問題；根據對幾何問題(圖形)的分析，探索解決問題的思路；運用代數方法得到結論．筆者以課標精神為引領，對2021年新高考全國I卷第21題第(2)小題進行剖析，逐步發現、優化、解決問題．

1 試題呈現

該題考查雙曲線的定義和方程、直線與雙曲線的位置關系，考查數形結合思想、邏輯推理能力與數學運算能力．第(1)小題既可以由定義法確定曲線為雙曲線的右支，從而確定方程，還可以用直接法進行代數推理求得曲線方程．第(2)小題是過動點的兩直線與雙曲線相交，當截得的線段長乘積相等時，研究兩直線斜率和為定值問題，對學生的思維能力及運算素養提出較高的要求，具有較好的區分度．

2 解法剖析

2.1 立足雙基，在熟悉的情境中轉化幾何問題

思路1題干中的TA·TB=TP·TQ是學生熟悉的直線被曲線所截的弦長問題，如何表示TA·TB是解題的關鍵，聯想到弦長公式，結合設而不求思想，借助韋達定理可解決問題．

反思 已知直線過一點，常規想法是設出直線的點斜式方程，與曲線方程聯立，消元整理．但此時不難發現直線方程表達式不夠簡潔，整理時運算量大，容易導致計算錯誤，故聯想到直線方程的斜截式．

余下過程同解法1.

點評以上三種解法，基于同一數學情境，運用相同數學知識與技能，但在實際解決問題時存在一定差異:解法1根據問題特征形成合適的運算思路，解決問題，屬于數學運算素養的初級水平；解法2針對運算問題，合理選擇，屬于中級水平；解法3能夠體會運算法則的意義，構造運算程序，解決問題，是數學運算素養的高級水平．

2.2 理解數與式，在關聯的情境中轉化幾何問題，實施數學運算

思路2本題情境為過一點的直線與曲線相交，研究該點與交點連線的線段長問題．對于這樣的問題，有時我們還采用“將幾何問題轉化為向量問題”的方法．聯想到“坐標系與參數方程”中直線參數方程里參數的幾何意義——有向線段的數量，因此設直線的參數方程，與曲線聯立，直接得到兩條線段的長度乘積．

(16cos2α-sin2α)l2+(16cosα-2tsinα)l-(t2+12)=0.

因為cosα≠cosβ，α∈(0，π)，β∈(0，π)，所以cosα=-cosβ，sinα=sinβ，則有tanα=-tanβ，所以k1+k2=0．

點評參數方程是研究曲線方程的基本工具，是表示曲線的另一種形式，它彌補了普通方程在表示曲線方程中的不足．思路2是在明晰題目背景的基礎上對問題進行代數及幾何角度的思考，進而選擇設直線的參數方程，直接表示出TA·TB，在一定程度上簡化了運算，體現了參數方程的靈活性，是一次“數”與“形”的完美結合．

2.3 挖掘代數式的幾何特征，在知識遷移中轉化幾何問題

思路3對條件進行類比遷移，研究代數式TA·TB=TP·TQ，發現與平面幾何中圓冪定理形式相同，確定A，B，P，Q四點共圓．進而重新構建運算程序，借助圓的一般方程的代數特征進行運算推理．

點評對運算情境內涵的深刻挖掘促使我們綜合運用所學數學知識、思想方法，將問題遷移到不同情境中去．此種做法巧用平面幾何知識，將弦長問題巧妙轉化，回歸解析幾何的本質．

3 反思與啟示

3.1 夯實基本知識與技能，做到心中有“型”

縱觀歷年全國高考數學卷解析幾何主觀題，重視對基本概念、基本方法、基本技能的考查．高中數學課程標準突出“四基”可能要比突出“數學核心素養”更容易操作一些，更有利于指導高中教學．因此，高中數學解析幾何教學不能僅是簡單的刷題，應加強對基本概念的理解，如本題第(1)問，抓住雙曲線的定義則能迅速求解；同時，通過有針對性的技能訓練幫助學生熟練掌握基本方法、常見數學模型，如第(2)題，利用弦長公式、結合韋達定理解決線段長問題就是解析幾何中的基本方法與模型．

3.2 提升學生數學思維力，做到手中有“術”

解析幾何試題命制注重數學的本質與通性通法，入口較寬，容易找到解題思路．如本題的思路1，是絕大多數學生能想到的基本做法，若能對常規運算程序做多次之想，如思路1的三種不同處理，則可大幅提升運算速度及正確率．這就要求教學時，不能局限于找到解題思路，還應花大力氣幫助學生對算法程序進行比較、分析，促進學生運算素養的發展．在有了一種基本解題思路后，我們還應當引導學生對幾何問題(圖形)進行深度挖掘、多角度審視，以探究出其他不同解法，如這里的思路2和思路3．這樣既能讓每位學生找到最適合的、最擅長的解題方法，又能幫助學生看清問題本質，進而提升學生的數學思維能力，真正做到手中有“術”．