立體幾何單元的結構化教學路線*

苗 靜 (華東師范大學附屬東昌中學 200129)

《普通高中數學課程標準(2017年版》(下稱《新課標》)要求教師應“整體把握教學內容，促進數學學科核心素養連續性和階段性發展”[1]．數學是研究結構的科學，主要體現在知識結構、認知結構和教學結構三個方面：各數學知識之間有意義的聯系形成了知識結構；學生頭腦里的知識結構就是認知結構，在學習過程中觀念的內容與組織，是有意義學習的結果和條件；而對知識形成清晰、牢固的認知結構是教學的主要任務，在認知結構理論基礎上的數學結構化教學是指教師從數學“知識結構”的特點和學生“認知結構”的形成與發展規律出發，幫助學生在已有認知的基礎上，讓知識鏈延長與知識面拓展，把握解題結構之“本質”，從而從整體上把握數學知識、方法和觀念，進而有效地克服肢解數學知識和方法的現象．

立體幾何是高中數學的重要內容，它是初中平面幾何基礎上的進一步研究，是培養學生邏輯思維、科學計算、符號表達等能力的重要途經，也是研究三維世界的必要工具．相比代數而言，立體幾何具有獨立的公理化體系，《新課標》對立體幾何的學習也提出了更高的要求，在教材內容結構進一步完善的基礎上，在發展核心素養的目標下，立體幾何的教學也需要重新的思考．

1 高中數學結構化教學的價值分析

數學結構化教學有三重意義：一是高觀點下認識數學的本體性知識；二是數學知識的結構化；三是學生思維的結構化掌握．結構化教學是行之有效的學習方法．

1.1 結構化教學使知識的理解由孤立變為聯系

任何知識都具有內在結構.從內在構成上看，數學知識是一個互相聯系、互相貫通的結構體，每一個知識點都有它的來龍去脈，知識點之間也有錯綜復雜的關系.如果只關注知識的符號表征而忽略邏輯形式和意義，那么對于知識的記憶只是單純的死記硬背，知識的理解只是表面化的，知識的學習也是凌亂無序的．而且機械記憶已不能適應瞬息萬變的數字化時代，面對日新月異快速發展的知識,學生必須學會學習，由此課堂教學就不能僅是知識的灌輸和傳授，在核心素養的導向下，課堂教學不但要“見樹木，更要見森林”，以綱帶目、以簡馭繁．

1.2 結構化教學使過程的探究由無序變為有序

在《新課標》導向下的數學教材需充分體現三個關注：關注同一主線內容的邏輯關系，關注不同主線內容之間的邏輯關系，關注不同數學知識所蘊含的通性通法、數學思想．[1]92教師應該從整體的角度思考，做到理解數學、理解教學、理解學生，從研究數學知識的組成要素、根據說明事物的邏輯順序、借鑒知識形成的自然規律、分析知識結構的內在聯系、遵循認知結構的形成規律等方面提煉研究數學對象的基本套路[2]，使不同數學知識的教學有章可循，進而讓學生感悟學習數學、研究新事物、解決問題的基本規律．這對他們的終身發展是有益的，這也正是培養核心素養的最終目的．

1.3 結構化教學使方法的習得由表面變為本質

數學課堂的一大重要責任就是從概念、定理、例題中歸納、總結和提煉出基本的數學方法，構建方法的結構．但是在日常教學中,教師們更多關注方法本身,而不是方法的結構，可能教師對于某道題目可以說出用什么方法，但是不能站在更高的角度對這一方法加以本質化的概括，對方法的認識只停留在表面，有時還把方法與技巧混為一談，殊不知數學重視的是解題的通法，而不是奇異的、特殊的技巧．既然數學方法是基于教學過程的、具有模式化和可操作性的數學行為，那么對于數學方法的學習也有規律可循．若能挖掘方法背后的本質規律，把方法類比遷移、拓展應用到新問題的解決過程中，升華為數學思想的感悟，才是對數學方法結構化的學習．

1.4 結構化教學使思維的建構由割裂變為系統

對于定理、公式，教師往往重解題，輕過程，殊不知“知識”是基礎，“方法”是手段，“思想”是深化，沒有數學思想的知識和方法只是一種教條．數學教育家傅種孫先生曾為數學教學標明了三個遞進的境界：一是知其然，二是知其所以然，三是知何由以知其所以然．“何由以知其所以然”指的就是要培養學生的數學思維，這才是數學教學的根本任務．要發展學生的思維能力，就是要從數學的角度解決“怎么想到的”“如何發現的”等本源性問題，要在數學教學中講“理”，其中關鍵是要有“一般觀念”的引領，使數學的發現具有“必然性”，把數學的思維方式顯現出來，這才是科學研究的基本之道，才是實現數學育人目標的重要途經．[3]教學中，在一般觀念的引領下，讓學生從數學的角度發現和提出問題、分析和解決問題，才能感悟數學思維的結構性和系統性．

總的來說，數學結構化教學幫助教師整體把握教學思路、深刻理解教學內容、充分認識學生認知規律，對發展學生的核心素養有著奠基性作用．

2 對“立體幾何”單元進行結構化教學重構的必要性

2.1 教學現狀

學生雖然在初中接觸過平面幾何，但在立體幾何的學習過程中還是會面臨一定的障礙，一部分原因是未能在教學過程中形成結構化的思考.幾何不同于代數，主要是對圖形的研究，具體用什么方法研究、如何研究才是學生應該真正掌握的，也是發展邏輯推理、直觀想象、數學抽象等核心素養的要求．教師在教的過程中往往按照教材，關注表面結論，缺乏深度的理解，不注重教學結構的提煉，因而無法讓學生形成系統、聯系的認知結構．以下是立體幾何單元中容易被忽視的幾個方面：

(1)知識上：在立體幾何中，對概念、定理等知識的認識主要具有“抽象性”與“邏輯性”，抽象性表現為現實圖形與抽象圖形的聯系、圖形語言與數學語言的聯系、直觀可視與空間想象的聯系．邏輯性表現為與上下位知識的聯系，概念的本質內涵，知識內部的邏輯關系(概念的分類、形成命題的各要素)等．

(2)過程上：對立體幾何單元做進一步的劃分，有公理的學習、有位置關系的學習、有空間幾何體的學習，這些內容可以形成立體幾何的小單元，在小單元中可以提煉一條研究的“基本路徑”，注重研究的套路而非知識本身，在學生的頭腦中形成模式，有利于基本活動經驗的積累．

(3)方法上：在度量問題上立體幾何與平面幾何有明顯的差異，無法“測量”成為立體幾何的一大難點，而“定量刻畫”又是數學精準性的體現，所以在立體幾何章節中，從定性的定理論證體系到定量度量體系有一套系統的研究方法，在教學中從哪些角度提煉出方法的結構特征，升華方法的思想內涵，是需要進行深度思考的．

(4)思維上：立體幾何對思維能力有著與代數不一樣的要求，這就更需要在教學中發掘研究幾何的學科觀，如何放置圖形更符合平時的視覺感受，從哪些方面觀察進行抽象，怎么會想到要研究這些定理，如何將需要度量的對象顯現出來……也就是要思考本源性的問題．思維是筋骨，方法是血脈，有了系統的思維方式，才能更好地引發教學的結構化．

2.2 素養目標

《新課標》指出，立體幾何單元的教學重點是幫助學生逐步形成空間觀念，應遵循從整體到局部、從具體到抽象的原則，提供豐富的實物模型或利用計算機軟件呈現空間幾何體，幫助學生認識空間幾何體的結構特征，進一步掌握在平面上表示空間圖形的方法和技能．通過對圖形的觀察和操作，引導學生發現和提出描述基本圖形平行、垂直關系的命題，逐步學會用準確的數學語言表達這些命題，直觀解釋命題的含義和表述證明的思路，并證明其中一些命題．[1]27

從上述文字中可以發現，立體幾何教學應遵循整體性、發展性和聯系性．

(1)整體性：立體幾何教學要形成一個整體觀念．比如明確立體幾何所要研究的對象、基本幾何對象位置關系的研究方式、利用長方體的載體作用，從具體到抽象認識幾何體的結構特征等．在教學中需要思考分類的標準、測量的方法、操作的合理性，保證知識體系的連貫性、思想方法的一致性．

(2)聯系性：立體幾何教學要注重圖形的聯系．比如長方體作為初高中共有的基本幾何體有著承上啟下的作用，比如幾何對象與實物模型的聯系、三維幾何體與二維平面圖形的聯系，比如定理中條件圖形與結論圖形的關系等．這是如何研究圖形的重要的思維方式，有些更是原理背后的本質探究．

(3)發展性：立體幾何教學應是循序漸進的．從觀察到描述，到準確表達、直觀解釋，到嚴格證明，在知識習得的過程中，體現了認知的層次性和階段性．教學中應該通過類比、歸納、演繹等方法促進學生對問題的邏輯思考．

在立體幾何單元教學中需要重點提升直觀想象、邏輯推理、數學運算和數學抽象等核心素養．這也是立體幾何結構化教學的目的所在，因此在教學中需要精心設計情境，創設教學實踐，積累探究的經驗，追尋幾何學本質．

3 “立體幾何”單元的結構化教學路線

3.1 基于教學內容的知識結構化

圖1 對概念的結構化分析

數學概念是知識內容最基本的構成要素，數學中的推理、證明本質上也是由一連串的概念所構成的．立體幾何中涉及很多概念，主要可以分為兩類：關于位置的概念，如異面直線、線面垂直等；還有就是關于形狀的概念，如多面體、旋轉體等．知識結構化主要梳理概念的來龍去脈，研究概念的抽象過程，分析概念的內涵外延，發掘概念的應用價值，這一過程可以由圖1[4]呈現．以下就以“棱柱”這一概念的教學加以說明．

(1)概念的抽象.給出各類幾何體，根據它們的圖形特征，做進一步的分類，獲得概念的內涵(最內層)：在幾何體中按組成幾何體的基本元素進行分類——多面體和旋轉體；在多面體中按基本元素的位置關系進行分類——棱柱和棱錐；對于棱柱，提煉共性特征，形成概念——有兩個面互相平行，且這兩個面是全等的平面多邊形，不在這兩個面上的棱都互相平行．

(2)概念的判斷.分析構成三維幾何體的基本幾何圖形及它們之間的形狀關系和位置關系(從里到外第二層)：組成要素——底面和側面(二維)、棱(一維)；屬性特征——平面多邊形(形狀)、平行(位置關系)．

(3)概念的理解.用文字語言和圖形語言描述幾何體，形成聯系統一，通過概念的辨析，用反例加深對概念的認識(第三層)：表征——描述性定義(文字)、樣例表征(實物)、圖形表征(直觀圖)；例子——定義能否改為：有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形？(反例)

(4)概念的功能.根據基本幾何圖形的形狀關系和位置關系做進一步分類，理解概念的外延，將直線、平面位置關系的結論在幾何體中加以應用(第四層)：對棱柱按底面多邊形形狀分類——三棱柱、四棱柱等；對棱柱按側棱與底面關系分類——直棱柱和斜棱柱；對直棱柱按底面是否是正多邊形分類——正棱柱和其他直棱柱；作圖——在具體情境下畫出幾何直觀圖；判斷、推理、度量——在立體幾何公理體系下或向量體系下做出判斷、推理和度量．

從以上的分析可見，對于棱柱這一概念，可以從多個維度對它展開研究，這是教學中的明線．比如棱柱概念的教學過程以“情境抽象—特征總結—構成分析—變式理解—性質關聯—概念應用”的路徑展開，在教學中，除了關注單個知識點形成、相互關系及應用，更需要強調知識體系的形成．立體幾何中同類概念具有相同的研究路徑，這是教學的暗線，探討的是本質性的問題，比如如何概括幾何體特征？(用低維定義高維)，從哪些方面進行構成分析？(低維的幾何形狀、位置)，為何如此分類、分類的依據有哪些？(形狀關系和位置關系)……掌握了對幾何體概念的研究套路，今后涉及棱錐、圓柱、圓錐或陌生的幾何體時就可以一以貫之、觸類旁通了．以上是關于形狀的概念的結構化處理，對于位置的概念教學也可以采用這樣的過程和方法．值得一提的是，上述主要闡釋的是單個知識點的結構，在有了一定的知識儲備的基礎上，也需要將單個知識點納入整體，比如錐體、柱體的區別，多面體、旋轉體的區別，多面體點、線、面的定量研究(歐拉公式)；歐氏幾何與非歐幾何的區別等．

3.2 基于教學組織的過程結構化

過程結構化包括了兩種涵義：一個是教材呈現的邏輯順序結構，還有一個是學生學習過程的結構．教材結構往往是靜態的，主要是線條式地展開，而學習過程的結構是動態的，包含了學生思考、探究的過程，這是落實“四基”、培養“四能”的重要途徑．

在立體幾何中，基本幾何圖形的位置關系是立體幾何學的基礎，在整個立體幾何教學中起奠基作用．教材先是對三者的位置關系做了分類，然后從空間兩直線位置關系、線面位置關系和面面位置關系做了定性到定量的探究，其實三種關系的研究在路徑上有系統性、層次性和一致性．

(1)從主要的研究內容來看，都是以“分類—特殊關系定性研究(平行、垂直)—定量研究(角、距離)”的過程來研究的，這一過程與學生的認知習慣、認知方式是吻合的，而且過程中的三個方面都具有相似的研究思路，比如對于位置關系的分類，都是以公共點的個數為依據的；在定性研究平行、垂直的位置關系中，都是以“低維”刻畫“高維”的方式定義和判定的；在定量研究中，同樣用到了“以平面角代替空間角”的“降維”的思想．

(2)在上述大框架下，每個研究方面都有更細致的研究路徑.對于定性研究，可以按照“基本幾何對象”劃分，不論是線線、線面，還是面面關系，都是以“情境—定義—判定—性質—應用”為主線的，因此，完全可以將“線面平行和線面垂直”的教學作為樣例，引導學生進行具有整體性意義的結構化學習，進而自主探究“面面平行和面面垂直”．

(3)除了大框架和小框架的橫向結構，在教學中也應注重縱向結構，在按“基本幾何對象”定性研究的基礎上還可以按“平行”與“垂直”兩種不同的位置關系進一步構建聯系，形成如圖2所示的定理研究體系．

圖2 定性描述直線與平面“平行”“垂直”的定理之間的聯系

3.3 基于教學目標的方法結構化

(1)方法結構和思維結構相比于知識結構和過程結構而言更具內隱性，一個習題、一個證明、一個圖形，散落在教材中的看似無關的問題，可能有著相同的方法，教師在教學中就需要對這些方法加以提煉，形成結構．

比如在立體幾何中，常常把已知量和未知量集中轉移到某個平面內(即基本面)予以研究，或者把已知量和未知量比較集中的平面作為基本面，把其他量看成是這個基本面的相關量，這樣以基本面為研究平臺來解決空間圖形問題的方法稱為“基本面法”．[5]這一方法貫穿在立體幾何教學的始終．有些是利用“基本面”作圖，比如平行公理的圖示說明；有些利用“基本面”進行證明，比如直線與平面垂直判定定理、三垂線定理的證明；有些“基本面”本身就是一種幾何模型，比如異面直線的判定定理、棱錐中截面等；有些“基本面”的構造是反映解題操作程序的，比如三類空間角的作法、異面直線的距離等；還有一些“基本面”是需要在具體的解題中構造的．

(2)一般來說，數學方法的結構可以考慮以下七個層面：過程意向—過程概括—內在性質—過程提煉—內蘊結構—本質特征—辯證關系．

以“基本面法”刻畫線面所成角為例(表1)．

表1 線面所成角研究中的“基本面法”

3.4 基于學科觀念的思維結構化

思維結構是比知識、過程、方法結構更為凝練的結構，是追根溯源的“一般觀念”，即“如何思考”“如何發現”“什么是幾何性質”“什么是性質定理”的一種“有邏輯的思考”．[6]比如對于幾何體的認識，需要思考“如何觀察、歸納”“如何概括棱柱的內涵”，對于點、線、面，“如何研究這些空間基本幾何圖形的性質”，對于平行、垂直等位置關系，它們的性質是“如何想到的”等本源性問題．

比如對于“性質定理”，什么是性質？有哪些一般觀念引領性質研究？以線面平行的性質定理為例．

設直線l∥平面α，固定直線l和平面α，直線m是平面α內的任一直線，思考直線l與直線m的關系．讓直線m動起來，易得直線l與直線m平行或異面．

若直線l與直線m平行，則直線l與直線m可以確定平面β，這樣，α∩β=m，而l∥m，即得到線面平行的性質定理．

若直線l與直線m異面，則可過直線l作平面γ，設α∩γ=n，則l∥n，則直線n與直線m的夾角即為異面直線l與m所成的角．

再來看“面面平行的性質定理”，可以設平面α∥平面β，固定這兩個平面，讓平面α和平面β內的直線動起來，可以發現兩個平面中的直線只有異面和平行兩種位置關系．

若兩直線平行，則兩條直線可以確定平面γ，這樣就自然想到，用第三個平面去截兩個平行平面，截得的交線始終平行，這就是面面平行的性質定理．

若兩直線異面，則兩異面直線的距離就是平面α和平面β的距離．

所以，對于“性質定理”，其中的“一般觀念”就是：固定這兩個幾何元素，讓“其他幾何元素動起來”，觀察“變化中的不變性”．以上是“性質定理”的一般觀念，除此之外，還有幾何體“定義方式”的一般觀念、基本幾何圖形“性質”的一般觀念．在教學中若能思考這類“何由以知其所以然”的問題，才能達到數學教學的最終目的．

綜上所述，立體幾何作為獨特的幾何學，有著深刻的學科內涵，在教學中教師除了仔細研讀課標和教材，更需要從結構化的角度對立體幾何內容作剖析，從多角度、多層面觀察、分析、理解問題，構建知識結構、探尋過程結構、提煉方法結構、升華思維結構，用整體的、聯系的、發展的眼光看待教學．