旋轉析問題本質 相似顯以靜制動
——以“旋轉構造相似三角形”專題復習為例

曹火強 (江蘇省南通市通州區二甲中學 226321)

通過旋轉變換，求點的運動軌跡或線段的最值問題，一直是全國各地中考的熱點和難點，這類問題中常常涉及線段的旋轉變換，甚至是動態圖形的旋轉．仔細分析問題本質，會發現這些題型具有一定的共性：所給圖形大多線條簡單，在問題的解決上，需理順點、線、形的“主從”關系，充分挖掘隱藏的條件或圖形，進而通過旋轉變換構造相應的輔助線來解決．基于此，筆者擬以“旋轉構造相似三角形”專題為例，通過對“題源”的拓展與延伸，不斷提升中考復習專題的空間與品質．

1 “題源”——旋轉全等形

在旋轉構造相似的專題復習中，首先從一道經典的題目入手，因其可塑性強，我們將它作為“題源”可以改編出很多題目，其中隱含著一個常見的幾何模型——旋轉全等形．

圖1

例1如圖1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D為BC邊上一動點(不與點B，C重合)，連結AD，將線段AD繞點A逆時針旋轉90°，點D的對應點為E，連結CE．則線段BD和線段CE的數量關系為，位置關系為．

簡析 易證得△ABD≌△ACE，那么就有BD=CE，∠ACE=∠ABD=45°，所以EC⊥BC．

說明 引導學生理解將線段AD繞定點A旋轉，其實就是將線段AD所在的△ABD繞定點A旋轉90°至△ACE，并進一步得到結論：點D在邊BC上運動時，點D旋轉后的對應點E就在過點C且垂直于BC的垂線上運動，由此確定動點E的軌跡為一條定線段，從“動”中發現“定”的本質．

為了讓學生靈活運用旋轉構造全等三角形，筆者帶領學生進行變式訓練．

變式1如圖2，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D為△ABC形內一點，若∠ADC=135°，BD=3，CD=1，請直接寫出線段AD的長．

圖2 圖3

由條件的等價性，也可如圖3，將△ACD繞定點A順時針旋轉90°至△ABE，同樣能求得AD的長為2．

若將△ABC形內一點D移到三角形外，還能不能快速求出線段AD的長呢？

變式2如圖4，在四邊形ABCD中，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，若BD=3，CD=1，請直接寫出線段AD的長．

圖4 圖5

簡析 將△ABD繞定點A逆時針旋轉90°至△ACE，可求得AD的長仍為2．或如圖5，將△ACD繞定點A順時針旋轉90°至△ABE，同樣可得AD的長為2，不過這種方法需先證明點C，D，E在同一直線上．

說明 雖然將點D從形內移至形外，但解題方法仍然與變式1相同，這就是“形”變而“理”不變．通過以上變式的訓練，使學生在舉一反三中洞查各題的本質，通過繞定點旋轉，構造出全等橋梁，在動態過程中找出不變的量，掌握以靜制動的解題策略，提升學生的思變能力．

2 拓展至“旋轉相似形”

全等與相似是一對“好兄弟”，常常形影不離，那么我們不禁會想，在繞定點旋轉時是不是需要拓展至構造“相似”這一橋梁呢？我們還是從特殊直角三角形的旋轉入手進行探究．

圖6

例2如圖6，在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，點D在BC邊上(不與點B，C重合)，且∠ABC=∠ADE=60°，連結CE．則線段BD和線段CE的數量關系為，位置關系為．

圖7

拓展1如圖7，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，D為BC邊上一動點，連結AD，以點A為直角頂點作Rt△ADE，并且使∠ADE=60°，連結CE．求線段CE長的最小值．

圖8 圖9

說明 由于已知的兩條線段與待求的線段BD是共端點D的三條線段，類比上面的變式2，通過旋轉構造三角形相似后，這三條線段的對應線段在同一個直角三角形上，再通過勾股定理進行計算，進而解決問題．通過以上題目的不斷演變、層層遞進，讓學生體會解決此類問題的核心方法沒有變：繞定點旋轉構造相似形．

3 延伸于“對圓的旋轉”

對于點的運動軌跡的問題，直線形運動和弧形運動時常是需要加以區分與辨別的.弧形運動這類題型較新穎，難度相對大一點，但其解題思路與之前兩類問題相較還是“萬變不離其宗”．為些，筆者以“弧形運動”為載體設置問題，不斷延伸，通過圖形的變化讓學生感悟問題本質未變，進一步優化動態問題如何靜態地解題的策略．

圖10

例3如圖10，AB=4，O為AB的中點，☉O的半徑為1，點D是☉O上一動點，連結BD，將線段BD繞點D逆時針旋轉90°，點B的對應點為C，連結AC．則線段AC的長的取值范圍為．

圖11 圖12

延伸1如圖11，已知點P是正方形ABCD外一點，點O為正方形ABCD的中心，且PA=3，PB=4，則PC的最大值為，PD的最小值為，PO長的取值范圍為．

將正方形變為正六邊形，還能不能通過旋轉相似找到解決問題的方法呢？

圖13

延伸2如圖13，已知點O是正六邊形ABCDEF的中心，點P是正六邊形外一點，且PA=3，PB=4，則PC的最大值為，PD的最小值為，PO長的取值范圍為．

說明 延伸2雖然改變了載體，但其核心思路沒有改變，可簡潔歸納為：理清圖中有哪些定點、動點所在的圓以及待求線段間的位置關系，通過觀察、聯系，確定是繞哪個定點進行旋轉構造相似三角形，挖掘出新圖形與特定條件之間隱藏的位置與數量關系(這里的旋轉角、縮放比例很關鍵),進而找出新動點所在的定圓．設置這樣的延伸題能讓學生在進一步理清解題思路的同時，感悟出在動態的過程中始終抓“定”的數學思維．

觀察上述幾類題目的演變進程，我們發現解決幾何問題的過程其實就是一系列的轉化過程，在拓展與延伸中，通過展示數學知識發生、發展過程，有意識、有目的地引導學生從“動”中發現“定”的本質，利用其規律，進一步從“定”的本質中探究出“變”的規律，引領學生從過程中提煉方法，從方法中感悟思想，真正提高數學思維的靈活性和創造性．這樣的初三專題復習正是我們日常教學中數學核心素養的落實與物化．