基于問題解決 指向關鍵能力
——“軸對稱與軸對稱圖形”復習課設計與教學思考

徐成祥 (江蘇省淮安市洪澤實驗中學 223100)

1 基本情況

1.1 授課對象

授課對象為八年級學生，其思維水平正處由具體形象思維轉向抽象邏輯思維的關鍵階段.此前已有相關活動的知識技能與活動經驗作鋪墊，對于探索直線的有關知識已有一定的能力儲備，已具備了一定的觀察判斷和分組討論的方法和經驗．

1.2 學情透視

我校八年級學生普遍具有較好的數學素養，已能形成一些數學探究的基本習慣，初步掌握了一些科學的學習方法，學會了獨立思考以及與人溝通、協商、合作、交流的能力，學會了探究問題，并能根據具體情況提出合理的問題，還能較為正確地解決問題．無論是提出和理解問題的能力，還是分析、解決問題的能力均有提高，基礎知識和基本技能也都較為扎實，對于數學學習普遍有著濃厚的興趣，樂于參與數學活動，對一些動手操作、合作學習、實踐活動等學習內容的興趣尤為濃厚．大部分學生學習態度端正，基礎知識掌握得比較牢固，學習目的明確，上課專心聽講，遇到不懂問題可以生生交流和師生對話．但也有少部分學生數學基礎較差，部分學生在課堂只停留在認真聽講，缺少主動參與的意識和習慣．上課聽到的知識，課后又不會運用，作業的正確率較低，個別學生不肯及時完成，喜歡拖拉作業．因此，在本節數學課上，應以激活興趣，啟迪思維，適時激勵，強化合作，規范操作，作為本節數學學習的活動主線和終結目標．

1.3 教材分析

本節課所用教材為蘇科版《八年級數學(上冊)》．本節教學內容作為第二章《軸對稱圖形》復習課的第2課時．課標要求能通過具體實例進一步了解軸對稱圖形的概念，并能掌握它的基本性質：“成軸對稱的兩個圖形中，對應點的連線能夠被對稱軸垂直平分．”在研究圖形的性質和運動變化的過程中，進一步發展空間觀念；經歷借助圖形思考問題的過程，初步建立幾何直觀；在探究活動中，體會通過合情推理探索數學結論、運用演繹推理加以證明的過程，在多種形式的數學活動中發展合情推理與演繹推理的能力．

通過探索和應用軸對稱圖形的性質以及線段、角、等腰三角形的軸對稱性及其有關性質的活動，可以充分展現軸對稱在現實生活中的廣泛應用，有助于引導學生學會用數學的眼光和數學的思維方式去認識、欣賞自然界以及現實生活中的軸對稱圖形．在具體的教學活動中，教師應當注重引導學生在活動中進行討論交流、質疑說理和歸納證明．同時，教師還應結合本地區的生活實際，創設有利于學生自主學習的新的問題情境，實際教學中應當留給學生較為充裕的時間和空間，不應淡化和弱化這個活動過程．

1.4 教學目標

(1)進一步了解軸對稱和軸對稱圖形的概念，回顧與掌握軸對稱的性質，并能靈活用以解決有關最短距離問題.(2)通過自主思考、合作交流、相互質疑、反復嘗試等活動方式提升合乎邏輯地思考和有條理地表達的意識和能力.(3)經歷借助圖形思考問題的過程，初步建立幾何直觀；在多種形式的數學活動和問題解決過程中發展合情推理與演繹推理的能力．

1.5 教學重難點

教學重點 通過經歷探索和應用軸對稱圖形性質的過程，充分展現軸對稱在現實生活中的廣泛應用，學會運用數學的眼光，數學的思維方式去認識、欣賞和解決自然界和現實生活中的軸對稱圖形相關問題．

教學難點 利用軸對稱的性質，綜合解決有關最短距離問題；在多種形式的數學活動和問題解決過程中發展合情推理與演繹推理的能力．

1.6 評價建議

教學中，既要關注學生數學學習的結果，更要關注學生在學習過程中的變化和發展，注重評價學生發展的進程，強調學生個體過去與現在的比較，通過綜合評價促使學生真正體驗到自己的成長和進步．在探索活動中，應當關注學生參與數學活動的程度、自信心、合作交流的意識、獨立思考的習慣以及數學思考的發展水平等等，教師還應及時對學生的表現作出激勵性的評價和鼓勵，以此促進學生高質量地完成各個數學活動過程和任務．

通過思考、交流、嘗試等方式考查學生能否合乎邏輯地思考和有條理地表達，仔細傾聽學生的口頭表達，及時評價并糾正，力求能使學生的說理能力有較快的提高．至于證明題的格式問題，教材要求掌握綜合法的證明格式，但應注意把握證明的實質，淡化形式的記憶，避免把證明的過程變成形式化的操作，考查的時間和難度還應適時適當．

2 教學設計

2.1 設計理念

通過創設具有啟發性的問題情境，引導學生動手操作，結合多媒體的直觀演示，經歷“提出問題—探究討論—歸納發現—拓展延伸—遷移應用”的活動過程，給予學生相對充裕的時間和空間，促使學生積極參與“意義建構”和“問題解決”的探究性學習．

2.2 依據分析

數學教學應當注重學生對所學知識的理解，體會數學知識之間的相互聯系與相互轉化．學生掌握知識應以理解為基礎，并在知識的應用中不斷鞏固和深化．為了幫助學生真正理解數學知識，教師應當注重數學知識與學生生活經驗的聯系、與學生個體學科知識的聯系，組織學生開展實驗、操作、嘗試等活動，引導學生進行觀察、分析和抽象概括，運用知識進行判斷．教師還應注重引導學生在活動過程中以“問題”為載體，揭示數學知識的本質特征及其體現出來的數學思想，幫助學生厘清相關知識之間的區別與聯系．

學生對于“軸對稱與軸對稱圖形”的有關基礎知識以及利用這些知識進行簡單的實際應用，應該來說不是太大問題，而且此前此類知識的各種應用題型也都有所涉及，似乎沒有必要再去復習與強化了，但從學生課后作業的反饋情況來看，其實不然．那么，復習鞏固與遷移應用又應從何入手？如何選題，如何上出新意，如何更能使全體學生都能再有新的收獲？這些都是教者備課時應當思考的問題，也是必須做到的事情．經過反復思考，結合本班以及全校學生的學習實際，本人開始著手認真備課，精心選題，專心策劃教學流程，力求能使全體學生能夠以飽滿的熱情、濃厚的興趣和充足的干勁投入本節課的活動之中．

2.3 教學片段

2.3.1基本概念與性質的復習鞏固

數學教學中，每一知識的適時引入、靈活應用與拓展延伸，要想做得完美，甚至做到極致，就必須鼓勵和引導學生全面地梳理和系統地掌握解題所涉及和應用的知識點．本節課仍然采用通過復習提問，引入相關探究活動．

課堂上，教者首先出示一組有關軸對稱與軸對稱圖形的圖片，同時引導學生對照圖片提出問題：(1)請你舉例說明什么是軸對稱？關于某條直線成軸對稱的兩個圖形具有哪些性質？(2)什么叫軸對稱圖形？軸對稱與軸對稱圖形兩者之間有著怎樣的區別與聯系？請舉出具體的實例加以說明．

這一回顧和總結的過程既花不了多少時間，又能幫助學生便捷地掌握軸對稱與軸對稱圖形的相關概念和性質．此后教者又選配了一組基礎性的相關練習題予以鞏固和強化．這些題目涵蓋了“選擇題”“判斷題”和簡單的“作圖與計算題”．絕大多數學生都能自主快速地解決這些問題，而對于少數“學困生”，經過教師的點撥和同學的幫助，也都能夠較好地完成這一環節的各項訓練任務．

2.3.2基本概念及其性質的靈活運用與拓展延伸

對于軸對稱相關知識的復習，從先前的課堂反饋和教師已經掌握的情況看：學生對于一些基本的、簡單的畫圖已經不存在太大的問題．因此，單元復習應當重點關注日常生活中以及各地歷年中考題中出現的一些非常規題的應用價值．對此，教者在先期備好預案的基礎上又做了必要的調整、補充和完善．

·運用某些點關于已知直線的對稱點的問題

(1)已知在直線l的同側有兩點A,B，請在直線l上找一點P，使得PA+PB最?。?/p>

分析 此題屬于常規題，難度較小，只需作出點A關于直線l的對稱點A′，然后連結A′B，交直線l于點P，則點P就是所要求作的點(圖1)．

(這里的問題解決以后，課堂上又做了變式訓練：若點A與點B在直線l的異側呢？)

(2)已知直線MN，點A,B在直線MN的同側，在直線MN上求作點P，使得∠APM=∠BPN．

分析 對于這類問題的探究和解決，此前也曾作過相關訓練，不過從課堂上學生的活動情況來看，許多學生都是依照以下方法進行操作，即首先作出點A關于直線MN的對稱點A′，然后連結A′B交MN于點P，即求出了點P的位置(圖2)．

圖3

其實這樣的問題，全班學生在具體操作時都忽視了另一種情形：如圖3，同時經過A,B兩點作直線AB交直線MN于點P，此時的點P依然滿足∠APM=∠BPN．因此，此時點P亦為所求作的點.這樣，此題中符合條件的點P應有兩個，而學生在具體操作時普遍都只考慮了第一種情況而忽視了第二種情況，特別是第二種情形，全班并無一人畫出圖形．由此可見，我們的學生對此類問題缺乏深刻而全面的認知和理解．因此，今后的教學中，教者應在如何滲透相關數學思想、如何引導學生學會規范嚴謹地解決問題等方面給予高度的關注．

對待這樣的問題，我們需要仔細分析可能存在的各種情況，特別是第二種情況，未必在任何時候都能成立．倘若我們同時經過A,B兩點作直線與已知直線MN交于點P，而此時若點M在AB的左側、點N在AB右側，則這樣的情形就不能成立．因此，今后我們在引導和鼓勵學生進行相關分類時，仍需擦亮眼睛，在廣泛考慮可能存在各種情形的同時，還應注意通過觀察、思考、分析推理與科學判斷，細心排除那些不合題意或者不合實際的情形．此時，又要提醒學生解決這類問題的20字秘訣——“廣泛收集，大膽猜想，認真篩選，精心構思，規范操作”，最終確?！皢栴}”得以圓滿解決．

圖4

(3)已知A村與B村在公路l的同側，其中A村到公路的距離AC為2 km，B村到公路的距離BD為 4 km，CD=8 km(圖4)．現欲在公路上修建一座泵站向兩村供水．請問泵站選址應在何處，才能使送到兩村的管道長度之和最短？并求這個最短距離．

分析 依據學生已有的知識和經驗，求出點P的位置并不難，難的是求出這個最短距離，此前學生從未見過這樣的問題．于是在課堂上給學生相對充裕的時間進行自主思考與小組交流，但最終仍無學生能夠予以解答，于是教者只好逐步引導學生通過數學建?！獦嫿ㄖ苯侨切?，利用勾股定理予以解決．

·借助線段的垂直平分線和角平分線知識進行相關作圖

這一環節較為常見也較為典型的問題是：已知∠AOB和點M,N，通過畫圖找出一點P，使得點P到點M,N的距離相等，同時點P到OA,OB的距離相等(圖5)．事實上，這里就是為了鞏固和考查線段的垂直平分線和角平分線的性質．這一問題操作并不繁瑣，只需連結MN，然后分別作∠AOB的角平分線和線段MN的垂直平分線，其交點即為所求作的點P．本題較為常規，學生較易掌握，而對下面的實際應用題學生普遍出現的問題，不是畫圖不規范，就是漏掉一種可能的情況．

圖5 圖6

題目：已知兩條公路AB,CD相交于點O，公路外有兩個村莊P,Q．現要建一個加油站，使其到公路兩旁的距離相等，且到兩村莊的距離也相等，請根據已知條件，找出建造加油站的合適位置(圖6)．

分析 對于本題提出的問題，學生普遍覺得其作法應和上例相同，較為簡單，于是教師順勢指名兩位學生上黑板板演展示畫圖過程.課堂反饋顯示：兩位學生分別畫出了∠AOC的平分線所在的直線和∠AOD的角平分線所在直線與線段PQ的垂直平分線交于點K，還都各自認為自己已經正確找出了所要求作的點(即加油站的合適位置)．而這里在未作其他特殊要求的情況下，兩種情況都是可能存在的，因此必須同時作出∠AOC和∠AOD的角平分線所在的直線與線段PQ的垂直平分線的交點，可見這里符合條件的交點應有兩個，因此可供選擇的位置也應有兩處．

·利用軸對稱的有關知識進行遷移應用

(1)如圖7，村莊A,B位于一條小河的兩側，若河岸a,b彼此平行．現要建設一座與河岸垂直的橋梁CD，問橋址應如何選擇，才能使A村到B村的路程最近？

分析 此題要求所建橋梁應與河岸垂直．因此，可以過點A向直線a作垂線AE；在AE上取一點A′，使AA′等于河岸間的寬度；連結A′B交直線b于點D；然后過點D作DC⊥直線a于點C；連結AC，則AC+CD+DB的長即為所求最短路線的長．

圖7 圖8

(2)如圖8，點A,B是直線l同側的兩個定點，定長線段PQ=a在直線l上平行移動，當PQ移動到什么位置時，AP+PQ+QB的長最短？

分析 這樣的問題，學生也是較為鮮見．具體作法：①過點A作線段AC∥直線l，且使AC=a；②作點C關于直線l的對稱點C′；③連結C′B，交直線l于點Q；④以點Q為端點在直線l上，且在點Q的左側截取PQ=a(定長)，則此時AP+PQ+QB的長最短．

圖9

(3)如圖9，一輛汽車由A向B行駛，M,N分別是位于AB兩側的村莊．

①設一汽車行駛到AB上點P時，距M最近，行駛到Q時，距N最近，請在圖中標出點P,Q的位置．

分析 只需分別過點M,N向AB作垂線段．此時，兩個垂足分別為點P和點Q，則點P和點Q即為符合條件的點．

②當汽車從A向B行駛時，在AB的哪一段路上，離M,N兩村都越來越近？而在哪一段上距N越來越近，而距M越來越遠？

③在AB上是否存在一點P，能使汽車駛到該點時與村莊M,N的距離相等？說明理由．

(4)已知點D,E分別在△ABC的邊AB和BC上．請在AC邊上找一點P′，使△DEP的周長最小(圖10)．

分析 先作點D關于BC邊的對稱點D′，再過點D′和點E作直線，交AC邊于點P．此時點P就是所求△DEP的頂點．

圖10 圖11

變式訓練：如圖11，點P在正方形ABCD的對角線AC上，E是AB上的一個定點，當點P運動到何處時，△PBE的周長最??？

提示 作出點B關于AC的對稱點O，連EO交AC于點P，則點P即為所要求作的點(其實，在正方形中，頂點B關于對角線AC的對稱點就是頂點D．因此，我們可以根據正方形的對稱性，連結BD交AC于點P)．

圖12

(5)如圖12，△ABC和△A′B′C′關于直線MN對稱，△A′B′C′和△A″B″C″關于直線EF對稱．①畫出直線EF；②直線MN和EF相交于點O，試探究∠BOB″與直線MN,EF所夾銳角的數量關系．

分析 第①小題只需連結其中的一組對稱點，然后作出該連線的垂直平分線，即為所求直線EF．第②小題，首先需要通過分析和觀察，并適時引導學生進行觀察、猜想和推理得出∠BOB″=2∠MOE．而當學生熟練掌握了軸對稱的性質時，這一結論的證明并不困難．首先需要引導學生理解：點O既在線段B′B″的垂直平分線上，也在線段BB′的垂直平分線上，因此不難得到∠1=∠2,∠3=∠4，其中∠MOE=∠1+∠4，而∠BOB″=∠1+∠2+∠3+∠4=2∠1+2∠4=2(∠1+∠4)，故可得到∠BOB″=2∠MOE．

圖13

(6)①如圖13，A,B兩個化工廠位于一段直線形河堤的同側，A工廠到河堤的距離AC為1 km，B工廠到河堤的距離BD為2 km，經測量河堤上CD兩地間的距離為6 km，現準備在河堤上修建一個污水處理廠．為使A,B兩廠到污水處理廠的排污管道最短，請問污水處理廠P地到A,B兩工廠最短距離的和應是多少？

這一問題圓滿解決以后，課堂上又有學生提出：如何求出PC的長呢？經過一番較長時間的激烈討論，學生們又有新的發現：利用面積法解之較為簡便．因為由作圖可知：△BPD與△A′BE均為直角三角形，而四邊形A′EDP為直角梯形．

圖14

3 教后反思

本節課采用了“動手操作—演示推理—歸納總結—拓展延伸—遷移應用”的活動方式有序開展課堂探究活動．由于在學習本節內容之前，學生對于圖形的認識僅僅局限于直觀性的視圖，幾乎沒有涉及軸對稱和軸對稱圖形的概念、性質的幾何語言表述和說理，而從實際情境中抽象出圖形的概念和性質，并用幾何語言加以表述，對于學生來說探究和解決本節課所涉及的內容相對較為困難．因此，在具體教學中，教師應當重點突出讓學生通過親身實踐，感受和掌握“軸對稱”的概念，充分理解軸對稱的相關性質；同時在活動中懂得已知一點畫出關于已知直線對稱點的方法，并嘗試利用幾何語言進行相應的表述與推理，用以說明這樣畫圖的合理性，以便幫助學生逐步掌握正確的學習方法．

對于課堂上例題教學的設計與處理，教師努力嘗試引導和幫助學生采用類比聯想與逆向思維，有效實施課堂活動，著力建構數學模型．同時還需注意前后知識的適時鏈接，結合教學實際適當拓廣延伸．數學知識的教學需要注意知識的“生長點”與“延伸點”，應當關注問題解決，指向學生關鍵能力的意義建構和能力提升．實際操作中，要把每一堂課教學的知識置于整體知識的體系中，注重知識的結構和體系的認知和應用，處理好局部知識與整體知識的關系，引導學生感受數學的整體性和綜合性，體會對于某些數學知識可以從不同的角度加以分析、從不同的層次進行理解的意義和價值．

本節課相關問題的成功探究與完美解決，帶給我們太多有益的啟示和理性思考：

數學活動經驗的獲得與積累是提高學生數學素養的重要標志．幫助學生積累數學活動經驗是數學教學的重要目標，是學生不斷經歷、體驗各種數學活動過程的結果．數學活動經驗需要在“做”的過程和“思考”的過程中積淀，是在數學學習活動過程中逐步積累起來的．

數學教學活動中教師應當注重引導學生用心體驗如何發現問題，如何選擇適合自己完成的問題，如何把實際問題變成數學問題，如何設計解決問題的方案、環節和方式，如何呈現自己探究成果的價值，如何總結和運用獲得的經驗去解決實際問題等．教師應當鼓勵與倡導學生采用多樣化解決問題的思路和策略，恰當評價學生在解決問題過程中所表現出來的不同方式和水平；問題情境的設計、教學過程的展開、課堂練習的安排等都要盡可能地讓所有學生主動參與，激勵學生暢所欲言，踴躍提出各自解決問題的思維方式和策略技巧，并應積極引導學生在自主思考以及與他人的討論交流和小組合作中學會靈活選擇合適、精巧的解題策略，豐富數學活動的經驗，不斷提高思維水平．

由此筆者認為，在數學課堂教學中，只要我們注重立足問題解決，瞄準學生的生命成長和能力發展，善于及時思考和總結教學過程中出現的各種現象和問題，我們的數學教學就一定能夠取得令人驚喜的實效．