糾錯也是深度學習的好抓手

郭立祥 (廣東省中山市實驗中學 528400)

數學深度學習是指學生理解數學本質、提升數學邏輯思維能力、促進學科核心素養發展的學習過程.糾錯是深度學習的一種重要形式，它指的是以學習過程中出現的錯誤為探究出發點，學生運用自己所掌握的知識和技能，充分發揮學習的自主性和同學之間小組合作的優勢，逐步找出錯誤的原因，補充和完善知識和技能的短板，形成理解以后的知識和技能.皮亞杰說：“學習就是一個不斷犯錯誤的過程，同時也是一個不斷通過反復思考，挖掘錯誤緣由，逐漸消除錯誤的過程．”因此，在糾錯過程中分析錯誤的原因，針對性地補缺補差，并進一步探究原問題，可使糾錯效益達到最大化，促進深度學習質量的提高.

導數知識的學習對于學生數學綜合素養能力的要求較高，因此具有較大的挑戰性，筆者以高三年級普通班“導數的綜合應用”習題講評課為例，來探究糾錯在深度學習中的作用.

1 查找錯誤，進行原因分析

當學生給出一道題目的解答，而教師和其他學生又說解答有問題的時候，他自然而然地產生疑惑：錯在哪里？方法錯了？計算錯誤？審題不清？格式不規范？教師需要引導學生分析問題，找出錯誤的原因，從解答中分析出學生對于知識的掌握程度，針對性地進行補缺補差，并審視錯誤是個案還是普遍存在，以此作為提高教學效率的一個著眼點.

在學習“導數的綜合應用”之前筆者給學生布置了課前作業：若函數f(x)=ax-lnx在區間(0,1)內是減函數，求實數a的取值范圍.在作業中，很多學生的解法如下：

很明顯，這種解法有問題.如何讓學生對作業中出現的錯誤引起反思，以及掌握同類問題的處理方法，就成為教師教學的重點.

通過學生的小組合作討論和小組代表發言，最后大家找出了以上解法中存在的問題：

分析 通過自變量的取值范圍來確定函數的極大(小)值或者最大(小)值時，區間的端點恰好就是極值點，粗心往往導致學生出錯.

分析 解題過程的規范表達是邏輯思維的過程展示，讓讀者通過閱讀能夠知道問題是如何解決的，包括數學符號的書寫，公式、定理、公理的正確使用，邏輯推理的合理性等就顯得尤為重要.“[g(x)]min=g(1)=1”展示出來的信息是：“當x=1時，函數g(x)取得最小值”，而本題中函數g(x)的定義域為(0,1)，x取不到1，因此書寫表達錯誤恰好體現出格式規范化的重要性.

(3)思維嚴密性方面：a可以取到1.

分析 邏輯思維的嚴密性往往體現在細節的處理上，學生在給出“a∈(-∞,1)”時，自然而然會想到：可不可以取到1？這一點恰好反映出解決問題的過程與結果是否具備完備性.

由此可知，糾錯可以作為深度學習的好抓手.在實際教學過程中，發現學生給出的解答中存在問題的時候，要善待這些錯誤，它們是發現學生知識和技能短板的好機會，若能有針對性地進行補缺補差，最終解決問題，那么學生獲得的成就感和幸福感最明顯.在糾錯過程中尋找問題，然后想辦法解決問題，再進一步提出問題，既解決了原問題，也拓廣了問題的外延，學生在學習過程中獲得的知識和技能逐步實現精確化、最大化，甚至將糾錯過程中出現的問題轉化為自己的優勢.

2 以錯為源，開展初步拓展

雖然課前作業中出現的共性問題解決了，但教學決不能就題論題.糾錯也不能夠滿足于找出錯誤，要從原因入手進行問題的深度拓展，對原問題進行拓展來探究出同類問題的通解，進而使學生的數學思維、創新能力得到提升．為了避免學生對于同類問題再犯同樣的錯誤，教師需要在實際教學過程中以錯為源，開展初步拓展.為了解決“已知給定區間上的遞減函數，求參數的取值范圍”這類問題，教師繼續引導學生變化條件而保持結果不變.很多學生分別在函數的解析式和定義域方面進行改造，整理如下：

拓展1若函數f(x)=ax-lnx+b，其中b為常數，在區間(0,1)內是減函數，則實數a的取值范圍是.

拓展2若函數f(x)=ax-lnx+b，其中b為常數，在區間(c,1)內是減函數，0

分析 顯然拓展1和拓展2的題目難度比原問題有所增加，在“以錯為源”的基礎上，通過初步拓展，解決同類問題，而且強化學生不要再犯定義域與值域、格式規范化等的錯誤.

拓展3若函數f(x)=ax-lnx在區間(1,e)內是增函數，則實數a的取值范圍是.

在“以錯為源”的基礎上，繼續進行拓展，將解析式和定義域適度變化，學生們經過討論也給出“已知給定區間上的遞增函數，求參數的取值范圍”這類問題在條件變化、結果不變的要求下的一般拓展形式：

拓展4若函數f(x)=ax-lnx+b，其中b為常數，在區間(1,+∞)內是增函數，則實數a的取值范圍是.

分析 顯然拓展3和拓展4是對于拓展1和拓展2的進一步拓展，進一步強化了導數在函數極值中的應用，以及恒成立條件下的最大值與最小值問題.

3 適度引導，推進深度學習

為了進一步研究更加一般化的問題“已知給定區間上的遞增(減)函數，求參數的取值范圍”，教師引導學生深度探究下面兩個拓展問題：

拓展5若函數f(x)=ax-blnx+c(b>0且b，c為常數)在區間(d,e)上是減函數，其中0

分析 在教師適度引導下，深度學習不斷推進，使得大家解決表達形式更加一般化的問題：b,c,d,e是相應取值范圍內的任意一個常數，進一步拓廣了問題的維度.

拓展6若函數f(x)=ax-blnx+c(其中b>0且b，c為常數)在區間(d,+∞)上是增函數，其中d>0，則實數a的取值范圍是.

分析 通過對拓展6的研究，大家探究出“已知給定區間上的遞增函數，求參數的取值范圍”更加一般化的表達形式.類比拓展5，找出這兩類問題的異同點，進一步拓廣問題的維度.

基于糾錯過程的深度學習所產生的拓展5和拓展6，都是緊緊圍繞“已知給定區間上的遞增(減)函數，求參數的取值范圍”這個問題，把一個簡單的小問題拓廣到更加一般化的問題，在歸納總結的基礎上，學生對這類問題有了更清晰的認識.扭住錯誤不放手，不局限于簡單的糾錯，而是將錯誤的效益最大化,使得學生做到引以為戒，痛定思痛，進一步夯實基礎知識和基本技能.

4 糾錯后的反思

《普通高中數學課程標準(2017年版)》提出培養學生數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算、直觀想象和數據分析六大數學核心素養.深度學習是提升學生數學核心素養發展的重要途徑，深度學習的形式多種多樣.作為深度學習的一種形式，糾錯使教師、學生在教學中獲得較大發展，使學生能夠形成有助于未來可持續發展的核心素養.

4.1 “糾錯”有利于養成良好的思維習慣

數學問題的解決強調環環緊扣、言之有據.良好的思維習慣在解決問題的時候，都是建立在“分析問題、提出假設、檢驗假設”三個環節中.在查找錯誤進行原因分析時,實際上就是檢查哪個環節出了問題.前文提到的作業中存在的三個普遍錯誤都是出現在檢驗假設這個環節.糾錯過程實際上是增加新知識和技能的過程，通過糾錯能夠有效促進學生深度學習.具有良好思維習慣的學生清楚地知道自己思考問題的方向，運用自己所掌握的知識和技能去解決問題的過程中，也清楚哪些問題可以解決、哪些問題通過努力可以解決、哪些問題需要借助外力.良好的思維習慣能夠減少錯誤，也是完善自己的思維，從而避免陷入題海戰術.

4.2 “糾錯”有利于培養學生提出問題的能力

質疑是探究的方向標，而糾錯是帶著問題去學習，批判性思維使得問題越辨越明.從一個錯誤出發，學生自然而然關注于問題出在哪里.例如上述對于作業的糾錯過程中，六個拓展問題使得學生對于定義域、值域以及單調性概念更清楚，也意識到審題不清、以偏概全、忽視新舊知識聯系對于解決問題的影響.通過分析錯誤和初步拓展，不斷提出新問題，來推進深度學習，將一個問題拓廣到一類問題，進一步培養學生提出問題的能力.

4.3 “糾錯”拓展深度學習的維度

不局限于找出錯誤，通過糾錯以及以錯為源開展的初步拓展，在教師適度引導下，進一步推進學生的深度學習.實際上運用所掌握的數學知識和技能去解決拓展的新問題是克服一個又一個壁壘，最終將糾錯效益最大化的一種心理活動過程.例如作業所涉及的“已知給定區間上的遞增(減)函數，求參數的取值范圍”是高中數學中比較難的知識點，解決這類問題需要借助導數在單調性判定和恒成立問題中的應用，以及較高的運算能力和邏輯推理能力等綜合素養.從只涉及一個參數的問題，逐步探究到含四、五個參數的拓展5和拓展6，難度逐步增加，拓展深度學習的維度.

前蘇聯心理學家、教育家維果斯基的“最近發展區”理論認為學生的發展過程中有兩種水平：一種是學生的現有水平，指在沒有他人幫助的情況下獨自解決問題達到的水平，簡稱為“現有發展水平”.另一種是學生可能的發展水平，也就是在有幫助的情況下所達到的水平，稱之為“潛在發展水平”，這兩者存在差距，這個差距就是最近發展區.根據高中生的認知水平和課堂教育教學規律，在“最近發展區”內設計教學活動，有利于將學生的“潛在發展水平”轉化為“現有發展水平”.教師在教學過程中應著眼于學生的最近發展區，為學生逐步提供帶有難度的問題，然后在此基礎上進行下一個發展區的發展.“糾錯”就是在學生的“最近發展區”內開展的深度學習，課堂氣氛、參與程度等都能夠有效促進學生在最近發展區內深度學習.在這種喜聞樂見的深度學習過程中，將錯誤向正確轉化,進一步提升學生的元認知能力，達到彌補基礎知識和基本技能的短板的效果，形成新的知識和技能.與此同時，通過適度引導推進深度探究來實現深度學習，強化思維的深度和廣度，從而有利于學生邏輯思維能力、數學核心素養的發展.