加權退化橢圓方程非負解的Liouville型定理*

韋冬瑜

(廣西師范大學 數學與統計學院， 廣西 桂林 541006)

其中h(z)是非負C2函數，ΔGu=Δxu+|x|2αΔyu,α≥0.通過構造輔助函數,運用Green公式、散度定理和Young不等式等對輔助函數進行非線性能量估計,證明了當或或且h(z)滿足一定條件時,方程只有零解u(z)≡0.

1 引言和主要結果

本文研究以下退化橢圓方程非負C2解的Liouville型定理：

ΔGu+h(z)up=0,z∈N=N×m，

(1)

其中h(z)是非負C2函數，ΔGu=Δxu+|x|2αΔyu是Grushin 算子(α≥0).Liouville型性質是研究非線性偏微分方程邊值問題的一個有力工具,從Liouville型定理中可以獲得關于解的定性性質的各種結果,如局部解的逐點估計、先驗估計、奇異估計、衰減估計，以及非穩定問題解的爆破率等.相關信息可見文獻[1]及其中的參考文獻.Grushin算子由Grushin引入[2]，近年來關于含Grushin算子的Liouville型定理已有大量研究[3-7].

當α=0時Grushin算子即為N中的Laplacian算子,其中N=n+m,問題(1)即為以下的Laplacian方程：

Δu+h(x)up=0,x∈N.

(2)

ΔGu+h(z)up=0,z∈N.

(3)

本文的主要結果如下.

定理1設u(z)是方程(1)在N=1×m上的一個非負C2解,其中m>2,h(z)滿足ΔGh(z)≥0,且存在正數c使得當充分大時有

則u(z)≡0.

則u(z)≡0.

2 基本恒等式

本節先給出Grushin算子的定義,其基本性質可見于文獻[12]；然后通過構造輔助函數,并用求導公式、散度定理和Green公式對輔助函數進行計算,得到了一些初步結果.在下文中下標表示求偏導數.

對任意的z∈N×m,定義其范數為

記

Grushin 梯度為?G=(X1,X2,…,XN),Grushin 算子定義為

定義ΔG的自然伸縮族為

τδ(z)=(δx,δ1+αy),δ>0,z=(x,y)∈N×m，

則有dτδ(z)=δQdxdy=δQdz,其中Q=n+(α+1)m是關于伸縮τδ的齊次維數.

(4)

則易知方程(1)等價于方程(4)，即要證明定理1,只需證明方程(4)的滿足定理1中條件的非負C2解只有w(z)≡0.

則有

(5)

命題1設w是問題(10)的一個非負C2解,r∈,則

divy[wΛ?x(|x|2α)?xw?yw]-divx[wΛ?x(|x|2α)|?yw|2]，

(6)

其中

(7)

證明關于式(5)右邊的各項，有

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

再將式(8)～(13)代入式(5)，得

(14)

在式(14)的兩邊同乘以wΛ,再將式(4)代入，得

wΛdivy[?x(|x|2α)?xw?yw]-wΛdivx[?x(|x|2α)|?yw|2]+

α(3α-1)wΛ|x|2α-2|?yw|2+wΛdivy[?x(|x|2α)?xw?yw]-

wΛdivx[?x(|x|2α)|?yw|2].

(15)

再用求導公式計算式(15)的等號右邊各項，得

(16)

同理也可得到

(17)

(18)

wΛdivy[?x(|x|2α)?xw?yw]=divy[wΛ?x(|x|2α)?xw?yw]-

ΛwΛ-1?x(|x|2α)?xw|?yw|2，

(19)

-wΛdivx[?x(|x|2α)|?yw|2]=-divx[wΛ?x(|x|2α)|?yw|2]+

ΛwΛ-1?x(|x|2α)?xw|?yw|2.

(20)

最后將式(16)～(20)代入式(15),整理即得式(6).

命題2 設w是方程(4)的一個非負C2解,Ω是N=1×m中的一個有界開集(m>2),則對，有

(21)

其中J(z)和Λ由式(7)定義.

證明在式(6)的兩邊同乘以η，然后在Ω上積分，得

(22)

再由 Green第二公式得

(23)

接著由散度定理有

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

最后將式(23)～(28)代入式(22)即得式(21).

引理1設w是方程(4)的一個非負C2解,Ω是N=1×m中的一個有界開集(m>2),則對，有

(29)

(30)

再對式(30)左邊的項運用Green第一公式，得

(31)

最后將式(31)代入(30),整理即得式(29).

3 主要結果的證明

記Ω=Ω2R=(-2R,2R)×B(0,2R1+α)?1×m,其中(-2R,2R)?,B(0,2R1+α)是m中球心在原點、半徑為2R1+α的開球.考慮函數

令

ξ(x,y)=ξR(x,y)=ξ1,R(x)ξ2,R(y), (x,y)∈N=×m.

直接計算得

其中d1,d2,d3,d4均為正數.于是存在正數d5,d6,d7，使得對任意z=(x,y)∈Ω2RΩR都有

(32)

定理2設w是問題(4)的一個非負C2解,Ω2R=Ω是N=1×m中的一個有界開集(m>2),令

(33)

若p,r滿足

1

(34)

B

(35)

其中

(36)

則存在正數c3,c4,c5,c6,使得對足夠大的正數β有

(37)

其中J(z)和Λ由式(7)定義.

證明由Green公式得

(38)

同理可得

(39)

再將式(29)、(38)和(39)代入式(21)，則存在正數c7,c8,c9,使得

(40)

接著估計式(40)右邊的各項.令η=ξβ,由式(33),存在正數c10使得

(41)

令η=ξβ，由Young不等式，對充分小的正數ε，存在正數C1使得

(42)

同理,對充分小的正數ε，存在正數C2，C3，C4使得

(43)

(44)

(45)

將η=ξβ代入式(40)的左邊,再將式(41)～(45)代入式(40)的右邊,且令r滿足式(35),同時令ε充分小，則存在正數c11,c12使得

(46)

當β足夠大且p>1時,再對式(46)不等號右邊的項運用Young不等式，則對充分小的ε，存在正數C5使得

(47)

同理，對充分小的ε，存在正數C6使得

(48)

其中

易知當p>1時有q1>1且q2>1.

令ε充分小,將式(47)、(48)代入式(46)，可知存在正數c13使得

(49)

最后將式(31)代入(49)，再結合(36),即得(37).

(50)

(51)

結合式(50)和(51)，得