[-1,n1]×[-l,n2]上的一類極小零和序列的結構*

程 鵬，鄧貴新

(南寧師范大學 數學與統計學院，廣西 南寧 530100)

1 引言

零和理論研究交換群上的零和序列，該理論的兩個主要研究課題是刻畫極小零和序列的結構和計算Davenport常數.零和理論與編碼理論、群論、整環的分解理論等有密切的聯系.例如，設Κ是代數數域，F(x)是K中模不超過x的互不相伴的不可約元的個數，則存在正數C使得

其中D是K的類群的Davenport常數(見文獻[1]，定理9.15).這是經典的素數定理在代數數域上的一個推廣.

有限交換群上的零和問題已有很長的研究歷史，詳見文獻[2].現在已經知道p-群和秩不大于2的群的Davenport常數，但秩大于等于3的有限交換群的Davenport常數的計算仍然非常困難.目前關于無限群上的零和問題的結果還比較少.文獻[5,6]得到了整數加群上的極小零和序列的一些基本信息.文獻[7]考察了整數區間的乘積上的極小零和序列的性質，給出了其Davenport常數的上、下界.文獻[8,9]確定了整數區間的Davenport常數(最多除去有限個例外).文獻[10,11]分別證明了平面整點區域[-1,1]×[-m,n]和[-1,m]×[-1,n]的Davenport常數分別為2(m+n)和(m+1)(n+1).本文對任意正整數n1,n2，l，刻畫了平面整點區域[-1,n1]×[-l,n2]上的長度至少為(n1+1)(l+n2)的極小零和序列的結構.

2 預備知識

其中vg(S)∈是g在S中出現的次數，稱為g在S中的重數.S的長度定義為的和定義為

序列S稱為零和的，如果σ(S)=0；稱為極小零和的，如果S是零和的，且它的所有非空真子列都不是零和的.集合X的Davenport常數，記作D(X)，定義為X上的極小零和序列的長度的上確界.

定義1設G是交換群，α∈G，S是G上的一個序列.若存在整數k使得σ(S)=kα，則稱S是一個模α的零和序列；若S是模α零和的且S的任意非空真子列都不是模α零和的，則稱S是模α極小零和的.

易知極小零和序列的長度為1當且僅當它只有一項0.以下總設所考慮的極小零和序列S是非平凡的，即|S|≥2.

引理3[7]設S是上的一個極小零和序列.設max{S}=n,min{S}=-m.那么有|S+|≤m,|S-|≤n，從而|S|≤m+n.特別地，|S|=m+n當且僅當m與n互素且S=(-m)[n]·(n)[m].

3 主要結論

本節主要考察[-1,n1]×[-l,n2]上的極小零和序列的結構，其中n1,n2,l都是正整數.文獻[10]刻畫了[-1,1]×[-l,n2]上長度至少為2(l+n2)的極小零和序列的結構，并由此得出D([-1,1]×[-l,n2])=2(l+n2);文獻[11]刻畫了[-1,n1]×[-1,n2]上長度至少為(n1+1)(n2+1)的極小零和序列的結構，并由此得出D([-1,n1]×[-1,n2])=(n1+1)(n2+1)，因此，以下我們總假設min{n1,n2,l}≥2.

例4下面的(1)～(5)都是[-1,n1]×[-l,n2]上的長度為(n1+1)(l+n2)的極小零和序列：

(2) (-1,-l)[n1n2-l+t]·(-1,n2)[n1l+l-t]·(n1,-l)[n2+l-t]·(n1,n2)[t],gcd(l,n2)=gcd(n1+1,l+n2)=1,max{0,l-n1n2}≤t≤min{l+n2,n1l+l}.

(3) (n1,d)[l+n2]·(-1,-l)[n1n2+d]·(-1,n2)[n1l-d],gcd(n1n2+d,l+n2)=1,-l≤d≤n2,-n1n2

(4) (0,-l)[(n1+1)n2]·(-1,n2)[n1l]·(n1,n2)[l],gcd(n1+1,l)=gcd(n2,l)=1.

(5) (0,n2)[(n1+1)l]·(-1,-l)[n1n2]·(n1,-l)[n2],gcd(n1+1,n2)=gcd(n2,l)=1.

驗證它們是極小零和序列是很容易的，我們以驗證(2)是極小零和的為例.設

T=(1,-l)[r1]·(-1,n2)[r2]·(n1,-l)[r3]·(n1,n2)[r4]

是(2)的一個零和子列，那么

由于gcd(l,n2)=1，可設r1+r3=kn2,r2+r4=kl,k∈.那么有

k(n2+l)=r1+r2+r3+r4=(n1+1)(r3+r4).

又因為gcd(l+n2,n1+1)=1，有n2+l|r3+r4.由于r3+r4≤l+n2，有r3+r4=0或l+n2.容易看出前者蘊涵T是空序列，而后者蘊涵T=S.所以S是極小零和的.

注意當gcd(n1,l,n2)>1時，(1)、(2)、(4)、(5)中的零和序列都不是極小的.但我們指出，在[-1,n1]×[-l,n2]必有形如(3)的極小零和序列.由對稱性不妨設n2≥l.當n1l>n2時恰好存在φ(l+n2)(φ是歐拉函數)個d∈[-l,n2-1]使得gcd(n1n2+d,l+n2)=1.如果n1l≤n2，那么取d=n1l-1∈[-l,n2],此時仍有

gcd(n1n2+d,l+n2)=gcd(n1(n2+l)-1,l+n2)=1.

故此類極小零和序列是存在的.

推論5D([-1,n1]×[-l,n2])≥(n1+1)(l+n2)，?n1,n2,l≥1.

由例 4，以下總設S是[-1,n1]×[-l,n2]上的一個長度至少為(n1+1)(l+n2)的極小零和序列.設ω:S=S1…Sq是S的一個模(0,1)的極小零和分解，σ(Si)=(0,si)，即其中每個Si都是模(0,1)的極小零和序列.對此分解我們定義Sω=s1…sq.易見Sω是一個整數極小零和序列.

我們的想法是考察一類特殊的分解ω，使得Sω滿足一些特殊性質，從而確定Sω的結構，進一步得到相應的S的結構的信息.

sj-si≤b-a.

證不妨設i=1,j=2.x=0的情形是顯然的，下設x≠0.令T1=S1·(x,a)[-1]·(x,b)，T2=S2·(x,b)[-1]·(x,a)，則

z∶S=T1·T2·S3·S4…Sq

是S的另一個模(0,1)的極小零和分解，且Sz=(s1-a+b)·(s2-b+a)·s3·s4…sq.

下面是本文的主要結論，它刻畫了一個極端情形.

ω:S=S1…Sl+n2,

其中s1≤s2≤…≤sl+n2.

我們斷言：對該分解ω必有h=max{Sω}-min{Sω}=sl+n2-s1=l+n2.

首先，由引理 3 有h≥|Sω|≥l+n2.令

與

其中a=min{a1,…,an1},b=max{b1,…,bn1}.

若b≤a,則有

因此，h=l+n2，并且此時有b0=n2,a0=-l且ai=bj對任意i,j∈{1,…,n1}成立.

若b>a,則由引理7得

sl+n2-si≤b-a≤l+n2.

因此

sl+n2-s1=b-a=l+n2,

并且b=n2,a=-l.此時再次由引理7，有ai,bi∈{-l,n2},i≥1.于是有

h=l+n2, max{Sω}-min{Sω}=|Sω|=l+n2.

令sl+n2=v,-u=s1,由引理 3,

Sω=v[u]·(-u)[v],

其中u,v>0,u+v=l+n2,gcd(u,v)=1.即

s1=s2=…=sv=-u,sv+1=sv+2=…=sl+n2=v.

以下分兩種情形討論.

情形1設對任意(-1,a)∈S1…Sv,(-1,b)∈Sv+1…Sl+n2都有a≥b.任取i≤v

并且

那么由斷言證明中第一個情形部分，可得b0=n2,a0=-l且所有ai=bi=c,i≥1,j≥1,v=n2+cn1,-u=-l+cn1,即

Si=(-1,c)[n1]·(n1,-l),Sj=(-1,c)[n1]·(n1,n2).

所以

S=(-1,c)[n1n2+n1l]·(n1,n2)[l-cn1]·(n1,-l)[n2+cn1],

并且gcd(l-cn1,l+n2)=gcd(n2+cn1,l+n2)=gcd(u,u+v)=gcd(u,v)=1.即此時S是例 4 中的序列(1).

情形2如果存在(-1,a)∈S1…Sv,(-1,b)∈Sv+1…Sl+n2并且a

Si=(n1,d)·(-1,n2)[pi]·(-1,-l)[n1-pi].

那么對任意1≤i,j≤l有

si-sj=di-dj+(pi-pj)(l+n2)∈{0,±(l+n2)}.

從而l+n2|di-dj,又因為di,dj∈[-l,n2]，我們有di=dj或者{di,dj}={-l,n2}.由此易得以下兩款之一成立：

(i)d1=d2=…=dl=d∈[-l,n2].

(ii)di∈{-l,n2},i=1,…,l.

若(i)成立，則可設

S=(n1,di)[l+n2]·(-1,-l)[P]·(-1,-n2)[Q]，

其中P+Q=n1(l+n2).因S是零和的，我們有lP-n2Q=d(l+n2).由以上兩式可得P=n1n2+d,Q=-d+n1l，并且此時有-u=d+p1n2-(n1-p1)l,v=d+(p1+1)n2-(n1-p1-1)l.所以

gcd(n1n2+d,l+n2)=gcd(n1n2+d-(n1-p1)(l+n2),l+n2)=gcd(-u,u+v)=1.

此時S是例 4 中的序列(3).

若(ii)成立，則可設

S=(1,-l)[t1]·(-1,n2)[t2]·(n1,-l)[t3]·(n1,n2)[t4]，

其中t1+t2=n1(l+n2),t3+t4=l+n2.結合S是零和的,我們有l(t1+t3)=n2(t2+t4).由這三個關于t1,t2,t3,t4的等式得到t1=n1n2-l+t4，t2=n1l+l-t4，t3=l+n2-t4.可見S形如例 4 中的序列(2).最后需要證明后半部分的互素條件成立.由于此時S中每一項的第二分量都是-l或n2，故存在整數p使得-u=pn2-(n1+1-p)l.我們有

gcd(l+n2,(n1+1)l)=gcd(l+n2,p(l+n2)+u)=gcd(u+v,u)=1

所以gcd(l,n2)=gcd(n1+1,l+n2)=1.定理證畢.

最后我們給出一個猜想：

猜想對任意的正整數n1,n2，l都有D([-1,n1]×[-l,n2])=(n1+1)(l+n2).進一步地，如果S是[-1,n1]×[-l,n2]上的長度為(n1+1)(l+n2)的極小零和序列，那么S是例4中的(1)～(5)之一.