一類Ornstein-Uhlenbeck算子的狄利克雷問題*

王愉靖

(廣西師范大學 數學與統計學院，廣西 桂林 541006)

1 引言

偏微分方程自十八世紀發展至今，其內容在廣度和深度上不斷拓展，應用范圍日益廣泛.偏微分方程可以描述許多實際問題，在醫學、生物學、物理學、化學、環保、農業甚至是經濟等領域發揮著非常重要的作用. 偏微分方程中有三類典型的方程，橢圓型偏微分方程、拋物型偏微分方程以及雙曲型偏微分方程，其中的橢圓型偏微分方程的弱解的存在性問題一直是研究的熱門話題. 證明橢圓型偏微分方程的弱解的存在性的方法有很多，例如變分法、拓撲度法、Galerkin近似法、單調算子法等等.其中單調算子法是證明非線性橢圓型偏微分方程弱解的存在性的一種比較常用的方法，該方法主要運用于具有單調性結構的方程.單調算子理論起初由Browder F. E.[1]提出，隨后Leray J.和Lions J. L.在[1]的基礎上得到一個新的算子——Leray-Lious算子[2].

令Ω為N的有界開集,N≥2,考慮一類非線性橢圓方程

(1)

(1) 對于幾乎所有的x∈Ω,a(x, )在N上是連續的；

(2) 對于?ξ∈N，a(,ξ)在Ω上是可測的.

函數a(x,ξ)滿足Leray-Lious算子的假設，即滿足，對幾乎每個x∈Ω，?ξ,η∈N,ξ≠η有

上述假設也稱為單調性假設.

1965年Leray J.和Lions J. L.在文獻[2]中得到了方程

(2)

(3)

的解的問題被多個作者在不同的空間在f的多種形式下討論過[2-5].

1989年Boccardo[3]研究了具有低階項的狄利克雷問題

(4)

其中f∈L1(Ω),g是非線性的低階項, 且滿足g(x,?u)·u≥0,的弱解的存在性.該文主要是通過求解近似問題來完成證明的.它首先構造近似問題，然后得到近似解的估計，最后由極限過程得到結果.此外文章[7，8，9]也討論了此類方程的解的問題.

本文在前人工作的基礎上研究一類Ornstein-Uhlenbeck[10，11]算子的狄利克雷問題

(5)

其中f∈Lp(Ω)是給定的已知函數.

本章內容主要分為三步：首先利用Galerkin近似法構造近似解，其次根據Minty法和條件[2]得到弱解的存在性和唯一性，最后運用截斷函數證明弱解的連續性.

2 預備知識

本節主要介紹用到的定義、性質以及定理.在本文Ω為N的有界開區域，對于x=(x1,x2,…,xN)∈Ω，記函數u=u(x)和f=f(x)均為Ω到的實值函數；記?u=(?1u,?2u,…,?Nu).

定義2.1[13]設u為Ω?N上的可測函數，定義u的Lp范數為

un→u，在Lp(Ω)中.

則稱un在Lp(Ω)中弱收斂于u,記作

un?u，在Lp(Ω)中.

定義2.4[13]設m為正整數,1≤p≤∞,定義u的范數為

ab≤εap+c(ε)bq,

定理2.8[15]設Ω為N的有界開集，假設∞,則

其中C僅與p、N、Ω有關.

引理2.9[15]假設函數V∶N→N，滿足V(x)x≥0,|x|=r,對于一些r>0,則存在一個點x∈(0,r),使得V(x)=0.

引理2.10假設e1,e2,e3,…,eN∈，則有

此引理的不等式就是熟知的均值不等式.

3 弱解的存在性與唯一性

則稱u為方程(5)的弱解.

(6)

(7)

命題3.3[15]對于每個整數m=1,2,…，存在等式(6)的函數um滿足等式(7).

證明引入光滑函數V∶m→m,V=(v1,v2,…,vm)，

(8)

其中每個點d=(d1,d2,…,dm).現在

計算逼近均方根誤差(Root Mean Square Error or Approximation, RMSEA)[12]和卡方(卡方/自由度，Chi-Square/Degree of Freedom)[13]用于驗證所建立的結構化模型的適用性。RMSEA≤0.05則表明模型適用，而當其值近似為0.08或更少仍然意味著合理的逼近誤差。相應的CMIN/DF值<3表示模型適用。

V(d)d≥0,|d|=r.

運用引理2.9可得，存在一些d∈m使得V(d)=0成立.換言之，等式(8)意味著由等式(6)定義的um滿足等式(7).

命題3.4 存在一個常數c2,使得

成立.其中c2僅與函數a，Ω，bi,j有關.

經運算得

合并同類項有

我們將定理3.5分成兩個命題來證明.

證明分以下四個步驟證明這個命題.

(9)

接下來要證明u滿足等式

第二步.運用[1]有|a(x,?um)|≤β|?um|,所以在L2(Ω;N)中有界,從而可假設

a(x,?um)?ζ,在L2(Ω;N)中,

(10)

對于一些ζ∈L2(Ω;N)成立.

利用等式(7)

有m→∞時，

因此有

(11)

第三步.由[2]有

變形后得到

(12)

將式(12)代入上式有

其中m=1,2,….

運用式(9)、(10)，令m=mh→∞可得

(13)

令等式(11)中的v=u,有

(14)

將式(14)代入式(13)得到

即

約去λ,有

令λ→0,得到

令v=-v,有

因此

(15)

將式(11)代入式(15)，有

即

成立.

命題3.7方程(5)的弱解是唯一的.

兩式相減有

令v=u1-u2,可得

通過運算得

合并同類項得

即

由此得出u1-u2=0.因此定理3.5成立.

4 解的連續性

在第3節我們得到了方程(5)的弱解的存在唯一性，下面討論弱解的連續性.考慮如下非線性邊值問題：

(16)

和

(17)

定義4.1

由于Τk[un-v]在L2(Ω)中強收斂，故當nh→∞時有

當k→∞時有(由Τk(s)的定義)

約去t,得到

令t→0有

令ω=-ω,得到

因此可得出

由于u∞為方程(17)的弱解，即

5 結束語

偏微分方程是數學的一個重要組成部分，是自然科學與工程技術等領域銜接的一個不可或缺的橋梁，許多領域的問題都可以用偏微分方程來描述.本文用Galerkin近似法、Minty法以及單調性去解決非線性橢圓型偏微分方程的存在性問題.與本文有關的還有一些地方值得研究，例如p>2或1