圖的Aα-譜半徑與平均度之差的上(下)界*

陳鴻章，李建喜，涂東鑫

(閩南師范大學 數學與統計學院，福建 漳州 363000)

1 引言

設A(G)和D(G)分別為圖G的鄰接矩陣和度對角矩陣,圖的無符號拉普拉斯矩陣定義為Q(G)=D(G)+A(G).對于任意的α∈[0,1],Nikiforov在文獻[2]中給出了如下Aα-矩陣的定義：

Aα(G)=αD(G)+(1-α)A(G).

顯然,

由于Aα(G)是實對稱矩陣,故Aα(G)的所有特征值都是實數.把Aα(G)的特征值按非增順序排列為λ1(Aα(G))≥λ2(Aα(G))≥…≥λn(Aα(G)).同時,Aα(G)的最大特征值λ1(Aα(G))稱為圖G的Aα-譜半徑,記為ρα(G).

被稱為圖G的度數偏差.Nikiforov在文獻[4]中對ε(G)與s(G)之間的關系進行了研究，建立了兩者之間的關系式.更多關于圖的不正則性的度量方面的研究可參見文獻[6].值得注意的是Nikiforov在文獻[4]中建立了如下ε(G)與s(G)的關系不等式：

最近, Ji等人在文獻[7]中將上述結果推廣到圖的Aα-矩陣的譜上，得到了如下結論.

定理1.1 設G為G(n,m)中的一個圖, 那么對于α∈[0,1)，有

定理1.2 設G為G(n,m)中的一個圖,那么對于α∈[0,1),有

(2) 注意到, 在α∈[0,1)時,對比定理1.1和1.2上下界有以下情況.

上界：注意到當α∈[0,1)時，α2≤2α-α2，故定理1.2的上界優于定理1.1的上界.

下界：注意到當α∈[0,1)時,α2·2m△≤α2n△2≤(2α-α2)n△2,故定理1.2的下界要優于定理1.1的下界.

2 預備知識

在本節中，我們將列出下述引理，其對證明定理1.2有至關重要的作用.

對于n階的實對稱矩陣N,把其特征值按非增順序排列為λ1(N)≥…≥λn(N).以下引理中的第一個是Weyl矩陣譜理論的經典結果, 適用于更一般的Hermitian矩陣.

引理2.1([8]) 設A和B是兩個n階的實對稱矩陣,其特征值按非遞增順序排列，則對于任意的1≤i,j≤n,有λi+j-1(A+B)≤λi(A)+λj(B).等號成立當且僅當存在一個n維的非零向量, 使得其為這個不等式中的三個特征值中每一個的特征向量.

設矩陣M的第i行行和為Si(M).對于一個實對稱矩陣的行和與其特征值的關系, Ellingham和Zha給出了如下結論.

引理2.2([9]) 設M為n階的實對稱矩陣,并令μ為M的特征值且其對應的特征向量x非負，則有

進一步,若x為正向量，則當且僅當M的所有行和都相等時，其中的任意一個等號均成立.

3 定理1.2的證明

引理3.1 對于任意的圖G∈G(n,m)，n>1，以及α∈[0,1],有

α2·2m△+2(1-α)2m.

因而

(3.1)

于是

注意到

則有

即

證畢.

引理3.2設G1和G2是兩個擁有相同頂點集V的n階圖，令G'=(V,E(G1)E(G2)),則有

證明令G''=(V,E(G1)∪E(G2)).由引理2.1可得

ρα(G1)≤ρα(G'')≤ρα(G2)+ρα(G').

根據(3.1)可以得到

即

證畢.

引理3.3設G為G(n,m)中的一個圖,那么對于α∈[0,1)，有

證畢.

結合引理3.1和引理3.3, 我們可以得到本文的主要結論定理1.2.

致謝本論文得到數字福建氣象大數據研究所和福建省數據科學與統計重點實驗室的資助，在此表示感謝！