Linex損失下Weibull分布參數的Bayes估計*

程 靜，周菊玲

(新疆師范大學 數學科學學院，新疆 烏魯木齊 830017)

0 引言

Weibull分布在可靠性分析或壽命檢驗中常被用到，在一些管理科學與工程領域中也有所應用，有不少學者對該分布有研究興趣.韋瑩瑩等[1]討論了Pareto分布參數在Linex損失下的Bayes估計問題，證明了所給估計是可容許的.王學敏[2]研究了Linex損失下先驗分布不同時Burr分布參數的Bayes估計問題.王理峰[3]在Linex損失下得到了多元正態分布熵的最優仿射同變估計，證明了其是Bayes估計.鄧立鳳等[4]對逆Gaussian分布參數倒數的Bayes估計進行了研究，給出了估計并證明了該估計是可容許的.李鳳等[5]在損失函數下取逐步增加的Ⅱ型截尾樣本研究Weibull分布的Bayes估計.崔群法等[6]討論了E-Weibull分布參數及可靠度在Linex 損失下的Bayes估計問題，并在該情況下對極大似然估計和Bayes估計做了對比.張麗[7]討論了在Linex損失下各分布參數的Bayes估計及其性質，證明了所得各分布參數的估計是可容許的.王敏[8]在復合Linex損失下，參數先驗分布不同時對參數的估計進行了對比，得到了參數的唯一Bayes估計.姚慧等[9，10]在Linex損失下對關于Lomax分布參數的一些Bayes估計進行了討論.邱燕[11]對Weibull分布參數及可靠度的Bayes估計進行了研究.本文基于以上研究對Weibull分布參數的Bayes估計在Linex 損失函數下進行了討論，給出了估計式并對其可容許性給出了證明，最后通過數值模擬驗證了所得Bayes估計的穩健性和精確度.

設X是服從Weibull分布的隨機變量，其密度函數為

上式中σ=ηβ,σ,β分別為尺度參數和形狀參數，且σ是未知的.記X～Weib(σ,β).

(1)

1 參數θ的Bayes估計及可容許性

定義1.1Linex損失函數的形式為

L(θ，δ)=eb(δ-θ)-b(δ-θ)-1,

(2)

式中δ,b分別為θ的估計值和該損失函數的尺度參數，b∈R且b≠0.

本文僅考慮b>0的情況，b<0情況的討論類似.該損失函數對于δ嚴格凸的，且當δ=θ時有最小值.

定理1.1在損失(2)下，對任一先驗分布π(θ),θ的Bayes估計為

證明設在式(2)下θ的任一估計為δ(X)，則δ(x)的Bayes風險為

E(L(θ,δ))=E{E[eb(δ-θ)-b(δ-θ)-1|X]}=

E[ebδE(e-bθ|X)-bδ+bE(θ|X)-1].

(3)

要使式(3)最小，只需極小化ebδE(e-bθ|X)-bδ+bE(θ|X)-1.令h(δ)=ebδE(e-bθ|X)-bδ+bE(θ|X)-1，對h(δ)關于δ求導并令所得導數等于零，得

因為δ是其最小值點且也是唯一的，所以θ的Bayes估計為

定理1.2在損失函數(2)下，設Gamma分布Γ(α，λ)為θ的先驗分布，則θ的Bayes估計為

證明若參數θ～Γ(α,λ)，則

(4)

從而θ的后驗分布

所以參數θ的Bayes估計為

引理1.1[13]在Bayes決策問題中，若對于給定的先驗分布π(θ),θ的Bayes估計δB(X)是唯一的，則它是可容許的.

由引理1.1可知，如果損失函數為嚴格凸的，那么它的Bayes估計定是唯一的，且也是可容許的.本文所討論的Linex損失函數與上述引理的相同，是嚴格凸的，因而它的Bayes估計定是唯一的，由此可得，Bayes估計是可容許的.

2 參數θ的多層Bayes估計

從上述定理1.1可以看出當參數θ的先驗分布為Γ(α,λ)時，Bayes估計δB(X)中仍有超參數α,λ.因為需要進一步討論θ的多層Bayes估計，所以此時把超參數看成相互獨立的隨機變量，再給出一個先驗，稱為超先驗，進而求得θ的多層Bayes估計.當Γ(α,λ)分布的超參數λ>0,0<α<1時，α,λ的先驗分布分別為均勻分布

πα=U(0,1),和πλ=U(0,c).

(5)

為了保證Bayes估計的穩健性，此時c是一個常數且不宜過大.

定理2.1當式(1)在Linex損失函數和兩層先驗式(4)、式(5)下時，參數θ的多層Bayes估計為

證明由式(4)和式(5)知，θ的先驗分布為

從而θ的后驗分布為

進而得

所以在損失函數(2)下，θ的多層Bayes估計為

利用數值積分可得θ的多層Bayes估計δB(X).

3 數值模擬

當尺度參數σ=0.45，形狀參數β=0.8，n=50時，使用Matlab生成Weibull分布的隨機數據，由這些數據計算得到，當n=50時，T=29.064 0，b=3.根據定理1.2中得出的參數θ的Bayes估計δB(X)，計算結果如表1所示.

表1 Linex損失函數下的Bayes估計

由表1可以看出，在Linex損失函數下，參數θ的Bayes估計δB(X)橫向極差不超過0.062 011,縱向極差不超過0.041 639.從統計決策中穩健性角度看，δB(X)是很穩健的.由偏差△δ=|δB-θ0|(其中δB為參數θ的估計量，θ0為參數θ的真值，θ0≈2.222 2)得到偏差區間為[0.525 1,0.628 7].偏差區間較小，所以參數θ的Bayes估計δB(X)的精確度比較高.與文獻[11]相比較可知，Weibull分布在Linex損失函數下與復合Linex損失函數下得到的參數的Bayes估計極差都較小，即穩健性均較好；但該分布在Linex損失函數下估計量更接近真值，偏差更小，即精確度更高.