Lévy過程驅動的金融混沌系統的漸近穩定性

林 怡，黃在堂

(1.廣西建設職業技術學院 人文教育學院，廣西 南寧 530007； 2.南寧師范大學 數學與統計學院， 廣西 南寧 530100)

0 引言

非線性動力學性質在金融系統中的應用是近年來的一個研究熱點.如:B. LeBaron推測混沌和非線性對未來金融體系的影響；Zhang W., Wang J.等人研究金融動態的非線性復雜演化及Gunduz Caginalp, Mark DeSantis等人基于隨機數據分析金融市場的關鍵非線性動態([1-4]).對于金融混沌系統,本文首先通過定義一個函數,利用指數穩定性和Lévy-It公式,得到了系統解的P階有界性,以此得到系統的漸近性質; 其次利用非高斯理論、Kunita第二不等式以及Jensen不等式等相關知識,得到系統解的一致H?lder連續性;然后利用轉移概率和概率測度等相關知識,證明了系統解的轉移概率具有柯西性,最后給出了Lévy過程驅動的金融混沌系統漸近穩定的條件,從而進一步描述了隨機金融混沌系統的動力學性質.

1 預備知識

金融混沌系統是一個典型的復雜非線性演化系統，它由許多相互作用的因素構成,并且存在許多不確定性, 其波動和相應的波動常常表現為強非線性,因此用Lévy過程來研究金融混沌系統符合實際情況.Lévy過程的相關概念詳見[5].非線性確定金融模型最早由黃登仕和李后強提出([6]),具體模型如下：

(1.1)

其中x表示利率,y表示投資需求,z表示價格指數,a表示投資額,b為每項投資成本,c為商業市場的需求彈性,三個常數a,b,c≥0.

在本文中,假設模型中所有的參數都是被隨機擾動的,從而在模型(1.1)中通過置換參數a,b及c來引入隨機效果,即

a?a-(αy/x)dB(t),b?b-(βx/y)dB(t),c?c-γdB(t).

這是一種標準的隨機建模方法. 因此, 本文考慮以下模型:

其中B1(t),B2(t),B3(t)是相互獨立的布朗運動,α,β,γ是描述擾動的波動強度.引入Lévy過程后可得到帶Lévy跳躍的隨機金融混沌模型

(1.2)

初始值

2 Lévy跳躍驅動的系統的漸近穩定性

在本節中，我們研究Lévy跳躍驅動下系統(1.2)的漸近穩定性.

這里F:n×+×S→n,G:n×+×S→n,H:n×+×S×Y→n是測度函數.令V∈C2,1(n×+×S;+)，定義LV如下：

LV(x(t),y(t),z(t),t)=Vt(x(t),y(t),z(t),t)+

Vx(x(t),y(t),z(t),t)F(x(t),y(t),z(t),t)+

V(x(t),y(t),z(t),t)-Vx(x(t),y(t),z(t),t)}λ(dv),

其中

dV(x(t),y(t),z(t),t)=LV(x(t),y(t),z(t),t)dt+

Vx(x(t),y(t),z(t),t)G(x(t),y(t),z(t),t)dB(t)+

(2.1)

接下來給出模型(1.2)跳躍擴散系數的基本假設.

假設1對任意ξ∈S,i=1,…,n,令φi(ξ,v)>-1,那么

假設2假設存在常量C2,C3>0使

以及

引理2.1令假設1和假設2成立,則對任意p>0, 存在一個K(p)>0使(2.1)的解有性質

證明對任意x(0)

定義一個函數V1(x)=x(t)p+y(t)p+z(t)p, 對etV1(x)使用帶跳躍的廣義It公式(2.1),有

d(etV1(x))=et(V1(x)+LV1(x))dt-pet[σ1xp(t)dB1(t)+σ2yp(t)dB2(t)+

(2.2)

其中，

由假設2知,V1(x)+LV1(x)≤Ck(p), 對(2.2)從ηk到t取積分取期望得

這里K(p)=maxkCk(p), 因此, 由V1(x)的定義, 可得

證明完畢.

假設3對每個0≤i≤n,ξ∈S,假設

引理2.2令假設1～3成立,則對任意θ>0存在一個H(θ)>0使系統(1.2)的解具有以下性質:

對U(x)使用帶跳躍的廣義的It公式(2.1), 有

dU(x)={-U2(x)[z+(y-a)x+(1-by-x2)+(-x-cz)]+

U2(x)(x(t)φ1(ξ,v)+y(t)φ2(ξ,v)+z(t)φ3(ξ,v))]λ(dv)}dt-

U2(x)[σ(ξ)x(t)dB1(t)+σ(ξ)y(t)dB2(t)+σ(ξ)z(t)dB3(t)]+

其中，

M=x(t)(1+φ1(ξ,v))+y(t)(1+φ2(ξ,v))+z(t)(1+φ3(ξ,v)).

LW(x)=θUθ-2(X){-U3(z+(y-a)x+(1-by-x2)+(-x-cz))+

(2.3)

注意到

由假設3知, 當θ>0足夠小時, 有

(2.4)

由(2.3)和(2.4)得

我們取一個足夠小的常數ε使得

所以我們得出

(2.5)

對(2.5)兩邊求積分取期望得到

注意此時有

我們可得出

因此

證明完畢.

(2.6)

其中

為了證明(1.2)分布漸近穩定,首先證明以下幾個引理.

由前面的討論可得

引理2.3令X(t),Y(t),Z(t)是t≥0上的n維隨機過程, 假設存在正常數η,μ,?使

E|X(t)-X(s)|η≤?|t-s|1+μ,0≤s,t<∞，

E|Y(t)-Y(s)|η≤?|t-s|1+μ,0≤s,t<∞,

E|Z(t)-Z(s)|η≤?|t-s|1+μ,0≤s,t<∞.

證明利用積分得

由Kunita第二不等式以及Jensen不等式,存在C(p,t)>0使,

我們可以作出估計

其中

由以上所得有

引理2.5 假設(x(t),y(t),z(t))是定義在[0,∞)上的非負函數,使得(x(t),y(t),z(t))在[0,∞)一致連續,那么

假設4對每個ξ∈S和1≤i≤n,有

(2.7)

對于ζ,η∈S,定義停止時間

τζη=inf{t≥0:ξζ(t)=ξη(t)}，

則對任意ε1>0,有

(2.8)

|Ef(xx0,ζ(t+s),ξζ(t+s))-Ef(xx0,ζ(t),ξζ(t))|=

|E[E(f(xx0,ζ(t+s),ξζ(t+s)))|Fs]-Ef(xx0,ζ(t),ξζ(t))|≤

P(s,x0,ζ,dt0×{l}),

|Ef(yy0,ζ(t+s),ξζ(t+s))-Ef(yy0,ζ(t),ξζ(t))|=

|E[E(f(yy0,ζ(t+s),ξζ(t+s)))|Fs]-Ef(yy0,ζ(t),ξζ(t))|≤

P(s,y0,ζ,dt0×{l}),

|Ef(zz0,ζ(t+s),ξζ(t+s))-Ef(zz0,ζ(t),ξζ(t))|=

|E[E(f(zz0,ζ(t+s),ξζ(t+s)))|Fs]-Ef(zz0,ζ(t),ξζ(t))|≤

P(s,z0,ζ,dt0×{l}).

將(2.7)和(2.8)代入以上三式有

|Ef(xx0,ζ(t+s),ξζ(t+s))-f(xx0,ζ(t),ξζ(t))|<ε,?t≥T,s>0,

|Ef(yy0,ζ(t+s),ξζ(t+s))-f(yy0,ζ(t),ξζ(t))|<ε,?t≥T,s>0,

|Ef(zz0,ζ(t+s),ξζ(t+s))-f(zz0,ζ(t),ξζ(t))|<ε,?t≥T,s>0.

由f的任意性,前述三式一定成立.從而前述三式等價于

dL(P(t+s,x0,ζ,·×·),P(t,x0,ζ,·×·))≤ε,?S≥0,s>0,

dL(P(t+s,y0,ζ,·×·),P(t,y0,ζ,·×·))≤ε,?S≥0,s>0,

dL(P(t+s,z0,ζ,·×·),P(t,z0,ζ,·×·))≤ε,?S≥0,s>0.

定理2.2在定理2.1的條件下, 系統(1.2)解的分布是漸近穩定的.

(2.9)

dL(P(t,0,1,·×·),P(t,x0,ζ,·×·))],

dL(P(t,0,1,·×·),P(t,y0,ζ,·×·))],

dL(P(t,0,1,·×·),P(t,z0,ζ,·×·))].

由(2.8)和(2.9)，可得出

(2.10)

證明完畢.