關于Pell方程組

何宗友

(深圳市京田精密科技有限公司,廣東 深圳 518118)

設a,b是正整數且不是平方數.求Pell方程組

x2-ay2=1,y2-bz2=1

(1)

的正整數解(x,y,z)是一個基本而重要的數論問題.從Siegel[1]關于超橢圓曲線上整點個數的結果可知,Pell方程組(1)只有有限組正整數解(x,y,z).Baker和Davenport[2]運用Baker關于對數線性型的下界估計,給出了對于給定的a,b求解Pell方程組(1)的方法.本文作者在文獻[3]中給出了Pell方程組(1)的正整數解的上界.設N(a,b)表示Pell方程組(1)的正整數解(x,y,z)的個數.近年來,N(a,b)的研究結果如下：

若a,b是正整數且不是平方數,則N(a,b)≤3(Bennet[4]).

若a>3.31×1035,則N(a,b)≤2(袁平之[5]).

若a,b是正整數且不是平方數,則N(a,b)≤2(何波[6]).

若a=4m(m+1),則N(a,b)≤1(袁平之[7]).

若a=4m2-1,則N(a,b)≤1(Mihai Cipu[8]).

若a=2,則N(a,b)≤1(何波,吳文權,楊仕椿[9]).

袁平之在文獻[7]中提出如下猜想:

若a,b是正整數且不是平方數,則N(a,b)≤1.

1 定理及其推論

在定理中,取r=1和r=3時,可得到以下兩個推論：

2 定理1的證明

(2)

(3)

當n>2時,設n=±2+2·2cl,c≥2,2?l,則由文獻[10]得um+2·2cl≡(-1)lum(modu2c),故由式(3)得

(4)

故由式(4)得