開管管口校正數與計溫律高計算公式驗證—基于黃鐘律管的三組實驗

□史凱敏、劉 勇

獲取律管音高的基本方法有二：一為利用聲學理論公式計算，二為制管驗聲。前者由于方便、簡潔而受到多數研究者的青睞。然而，由于所采用的公式和管口校正數的差異，往往結論也很不一致。制管驗聲之法得到的結果應較為可信，但不可否認的是：因吹奏角度、力度等主觀因素的差異的確會造成音高測定的不穩定。這種差異尤其在溫度較低或口唇位置不一致的情況下尤為突出，因而，研究管律需要取得較為可信的管口校正數和計算公式。要實現這一目的，唯有制管驗聲，雙向推導，算驗相合，方得真數。

一、學界常用的律管管口校正數

目前，經研究者推定、使用的管口校正量（簡稱管校數）約有十種說法。（1）P.M莫爾斯的《振動與聲》①〔美〕P．M莫爾斯：《振動與聲》，南京大學《振動與聲》翻譯組譯，科學出版社，1974年，第243頁。認為，開口管管口校正量為8a/3π（a為半徑）。（2）比利時聲學家馬容（V.Mahillon， 1841～1924）提出，開管管口校正量約等于管的直徑2r，閉管管口校正量約等于半徑r。②繆天瑞：《律學》，人民音樂出版社，1996年，第11頁。（3）音樂聲學家羅興認為，開管管口校正數=2×0.61r，閉管管口校正數為0.61r（r為管的半徑）③Thomas D． Rossing． The Science of Sound．Addison-Wesly． 1982, pp．52-53．轉引自韓寶強《音的歷程—現代音樂聲學導論》，人民音樂出版社，2016年，第129—130頁。。（4）馬大猷、沈?提出的開管校正量為1.7d，閉口校正量1.4d（d為管的直徑）①馬大猷、沈?：《聲學手冊》，科學出版社，1986年，第808—809頁。；在胡企平、夏季、劉存俠的研究中，均認為1.7d的開管校正量是可信的。②分別見胡企平：《中國傳統管律文化通論》，上海音樂出版社，2003年，第209頁；夏季：《中國古代早期管樂器及黃鐘律管研究》，中國科學技術大學2006年博士論文，第46頁；劉存俠：《朱載堉異徑管律的理論研究》，《中央音樂學院學報》2006年第1期。（5）王光祈曾做過實驗，得出長度23公分，內徑0.9公分的銅律管在15°時，閉管校正值為1.5公分。③王光祈：《中國音樂史》，音樂出版社，1957年，第52—55頁。以此反推管口校正數比值1.5=0.9×5/3，也就是說閉管校正量為5d/3。陳正生曾推算，楊蔭瀏在《中國音樂史綱》中計算律高所采用的閉管校正量為5d/3。度量衡學者丘光明、邱隆在研究中也使用了5d/3④分別見丘光明、邱隆、楊平：《中國科學技術史·度量衡卷》，科學出版社，2001年，第47頁。丘光明：《中國歷代度量衡考》，科學出版社，1992年，第2頁。但均未標明公式來源。。（6）徐飛認為閉管校正值為1.6667D（D為直徑，5d/3≈1.6667d），而開管為0.306D，但計算時，由于兩端均有管口校正，要取2×0.306D=0.612D⑤徐飛：《黃鐘律管管口校正考》，《中央音樂學院學報》1996年第3期。。陳正生運用公式的檢測驗證閉管律管，5d/3的管口校正值是可信的⑥陳正生：《黃鐘正律析》，《藝苑》1989年第2期。，但開管的管口校正量0.306D遠遠小于閉管的校正量，這顯然是不正確的⑦陳正生：《談談開管律管與閉管律管頻率計算公式—與徐飛同志商榷》，《中國音樂》1997年第1期。。在律管實證研究的基礎上，陳正生強調5d/3或0.6r（r為半徑）這兩個量只是律管和笛管管口校正量中的特例。5d/3這一管口校正量，只有用正確的吹律方法，吹奏兩端管徑完全相等的閉管律管時才具有的管端校正量，而且只適用于同徑管，不適用于異徑管，管徑差越大，誤差越明顯；0.6r（即0.3d）乃是兩端管徑完全相同之管的末端校正量。⑧陳正生：《我國歷代管口校正研究述評》，《交響》（西安音樂學院學報）1997年第3期。（7）吳南薰引用的物理學家瑞利的閉管管口校數為2.7R（R為半徑）⑨吳南薰：《律學會通》，科學出版社，1964年，第397頁。。但戴念祖所引用的瑞利的吹口校正數為5d/3，而開口校正數為0.29D⑩James Jeans, Science and Music． Dover 1986, pp．137—139． 轉引自戴念祖《朱載堉—明代的科學和藝術巨星》，人民出版社，1986年，第98頁。在閉吹狀態下，吹口校正數即閉管校正數。。（8）陳奇猷將開閉管的管口校正數均設為3.3r（r為半徑），隗芾也采用同樣的公式?分別見陳奇猷：《黃鐘管長考》，《中華文史論叢第一輯》，中華書局，1962年，第185—189頁；隗芾：《隋至宋樂律遞變考（上）》，《社會科學戰線》1985年第1期。。（9）劉勇、張謙在對頂端不開豁口的律管測音后，推算閉管校正量約等于0.9d，開管約等于1.45d?劉勇、張謙：《關于管口校正量的一個實驗》，《中國音樂學》1993年第4期。。（10）唐林認為對簡單的圓柱形管，閉口管校正值為0.425d，開口管為0.306d?唐林、張永德、陶純孝：《音樂物理學導論》，中國科學技術大學出版社，1991年，第107—108頁。。將以上管口校正數統一以管內直徑（d）換算后，整理為表1以代入公式計算并與實驗數據進行比較。

表1 閉管、開管管口校正數統計

二、開管管口校正數的驗證思路

需要注意的是一個似乎人所共知卻常被忽略的重要問題：隨著溫度的升高，聲波在空氣中傳播速度加快，多次吹奏后，隨著管內溫度的上升，管樂器發音會越來越高。陳奇猷《黃鐘管長考》設0℃音速為33200毫米/秒帶入溫度變化系數0.003665，代入15℃起算（N表示頻率，L為管長，t為溫度，a為管口校正數3.3，A=1+0.003665）①陳奇猷：《黃鐘管長考》，第185—189頁。，雖文中并未說明音速與溫度系數及管口校正數的來源，卻啟發了筆者對這一問題的思考。此前，盡管學者們或多或少均提及溫度影響，但計算時，一般以標準大氣壓下15℃的聲速440m/s為默認值。事實上，溫度的影響是管律研究中不可忽略的一個變量。周林生、陳正生認為氣溫每±1℃，笛簫的音高隨之±3音分②見周林生《笛簫的溫差與音差》，《樂器》1989年第4期；陳正生《也談溫差對笛簫頻率的影響》，《樂器》1990年第3期。。笛簫演奏與研究專家趙松庭認為：“溫度±10℃，將使一定管長的頻率升高或降低1/6—1/7個音（筆者注：約30音分），對于有訓練的耳朵來說，這是一個不能忍受的誤差?！瓝嶋H經驗，得出管內的實際溫度可近似地列為1/3（36℃-大氣溫度）+大氣溫度?，F將管內溫度設為t0，氣溫設為t，則溫度變量可用表示（公式①）?！雹圳w松庭：《溫度與樂器音準問題》，《樂器科技》1978年第1期。這一公式反映了笛簫在演奏時的溫度變化情況，但律管并非演奏樂器，形制也有差異，這個公式是否仍適用？溫度與律高的規律如何？這需要我們用實驗來推導和驗證。

學界公認0℃、15℃、25℃空氣中聲速分別為331m/s、340m/s、346m/s。一般認為聲音速度與溫度間的關系可簡略地表達為v=331.5+0.61t（公式②，0℃聲速約為331.5m/s，t為環境溫度）。2007年，新疆大學物理科學與技術學院研究團隊使用超聲波發生器，測量空氣中聲速與環境溫度關系的新公式計算結果與之相符合（相差1米以內）：“在室溫下，干燥空氣中的聲速公式為，其中v0表示0℃時音速331450mm/s，t為環境溫度?！雹苜I買提熱夏提·買買提、亞森江·吾普爾、復爾開提·夏爾?。骸逗喺効諝庵械穆曀倥c溫度關系》，《物理實驗》2007年第11期。（公式③）筆者將0～36℃環境溫度分別代入公式②和③進行計算，聲速最大差距僅為0.84米，但新疆大學的結果更接近0℃、15℃、25℃下的默認聲速⑤15℃、25℃、36℃時按公式②計算為340．6米/秒、346．75米/秒、353．46米/秒；按公式③計算為340．43米 /秒、346．28米 /秒、352．62米 /秒。溫度越高，二者差距越大。，因此，將之用于本文的聲速計算（見附錄）。驗證方式如下：

首先推算不同管口校正數的理論音高，即將溫度代入聲速公式③：算出實時環境聲速V（見附錄），再將V值和以上所統計的9種管口校正數分別代入開口管頻率公式④（k為管口校正數）計算音高。將計算音高與律管實測音高比較后，找出最符合實測的管口校正數。此外，將環境溫度代入趙松庭的管內溫度公式①，可推算管內溫度，再代入公式③和④，得到的音高就可以用于檢驗公式①（t0為管內溫度，t為氣溫）的適用性。

管樂器的發音特點是“聲無定高”。即便是同一人在完全不改變角度、位置條件下吹奏的同一個長音，也會隨著吹氣對管內溫度的增加而逐漸升高。因而，我們采用“音高區間”的統計方式，即從每次實驗的測音樣本中，分別選取吹律人吹奏的最高值和最低值構成實測的音高區間，作為驗證管口校正數的參照。⑥限于篇幅，實驗二、三中僅列音高區間，處于區間內的樣音不再一一列出。以下實驗歷時數月，是以同一套律管在不同溫度條件下的多次測音與理論推算為基礎進行統計與計算。

三、開管管口校正數及計溫公式的相關實驗

1.實驗一：18℃時開管吹律實驗

本次實驗所用的18支歷代黃鐘律管，形制數據依據文獻記載和歷代尺制變化來推導①推導過程另有專文討論，此處不贅。。由泉州市比鄰三維科技有限公司使用上海聯泰科技3D打印機（精度±0.1mm），光敏樹脂材料，制作壁厚2mm的18支頂端不開豁口的律管。用電子數顯卡尺（精度±0.02mm/0.001″）測量長度、內徑。實驗步驟：①吹律人不遮蔽律管底端開管吹奏，豎直持管，口唇遮蔽管口1/2并保持統一②經實驗，開管吹律時完全不遮蔽管口很難發聲，在內徑13mm以下的律管上遮蔽1/2管口較易成聲，振動較充分，但遮蔽超過1/2會使音偏低。。每次吹奏前報清律管名稱、編號、材料。②全部吹奏過程同步進行錄音采樣、視頻錄制。③選取錄音數據中的有效樣音進行測音。④對所測樣音數據進行音高頻譜分析。

2020年10月15日，在中國音樂學院半消聲聲學實驗室（本底噪聲：22dB），室內溫度18℃下，在劉勇教授的指導和監聽下，我們進行了黃鐘律管的首輪吹律實驗，吹律人是史凱敏、趙越。③吹律人趙越：雅樂傳習所指導教師。錄音及監控：中國音樂學院圖書館技術部負責人，音樂聲學碩士羅時歡 （錄音設備：麥克風：DPA 4015，聲卡：RME Fireface UC，工作站：Pro Tools HD，采樣率/采樣精度：48kHz/24bitt，錄像設備：SONY數碼攝錄一體機）。測音員：中國音樂學院音樂聲學碩士程馨瑤。測音軟件GMAS2．0。后面實驗中方法一致處不再重述。由于開管豎吹的律管吹奏方式，并非簫笛演奏員日常習慣的奏法，吹律人對此演奏法所要求的氣息與口型起初并不熟練，成聲率較低。在吹奏時，前段多為氣流聲，往往在中后段才發出有效音，我們在不能選出有效整段發音的情況下，退而選擇截取這部分發音的穩定部分作為測量樣本。取音標準是：①聽覺上有明顯音高；②音準比較穩定；③在視覺上，呈現出的波形較為穩定，振幅較大。結合測音員和助手的主觀耳測，每支律管取出2～3個質量最好的有效樣音。

音準判斷標準：由于“大多數音樂家的同一性音準感具有±10音分的寬容度，多數音樂家的和聲性音準感具有-38至+14音分的寬容性”④韓寶強：《音的歷程—現代音樂聲學導論》，第31頁。，因此，本文判斷±10音分以內為音高一致；±10～22音分以內為音高基本一致；±22～33音分為音高略有差異；±33～50音分為中立音。

兩位吹奏人氣息、嘴勁兒、口風等必有一定差異，但從吹律統計結果看，發音是比較穩定的，上下浮動音高區間在30音分以內，不影響律位的確定。從9種管口校正數分別代入18℃環境聲速342197mm/s（見附錄）的計算結果看，代入0.29d～1d管校數的計算結果全部偏離實測區間，因而首先排除；代入1.45d管校數僅有5個樣本處于實測區間；代入1.65d有13個樣本處于實測區間，占72.2%；只有1.7d和5d/3（約1.66667d）管校數的計算結果，始終處于“實測音高區間”以內，最符合實測音高。筆者將1.7d與5d/3管校的計算音高分別與最高吹奏音高相比較，計算偏離最高吹奏音的音分值（“偏離音分”中負值表示低于最高吹奏音高的音分數），二者的差數只有2音分（表2），可以忽略不計，1.7d可視為5d/3的約數。

表2 18℃開管測音與9種管校數計算音高（單位Hz）比較表

（續表）

2.實驗二：8℃開管吹律實驗:

2021年1月16日上午11:00，在亳州學院音樂系5樓回廊，環境溫度8℃時，筆者進行了第二輪吹律實驗。古代靈臺定律是在冬夏二至的正午，盡管很難確定古代精確的溫度情況，但以現代氣候作為參照，應相去不遠。我們查詢了近五年來開封、西安和北京的二至氣溫情況，亳州當日氣溫是-4°～4℃，放寒假時的校園十分安靜，我們使用電子溫度儀在窗口測得溫度為7℃，關閉回廊門窗后，溫度穩定在8℃，與中原冬至正午的平均氣溫大致相符。按照律管編號，在攝像機全程記錄下，筆者依次開管豎吹1～18號黃鐘律管。

表3 冬至、夏至氣溫統計表（單位：攝氏度℃）

實驗結果：

在8℃的環境聲速336269mm/s下，1.45d管校的計算結果，更符合實測音高，偏離值最大13.8音分。而5d/3管校計算值偏離則明顯偏大（表4），理論上，在角度、氣流速度穩定的情況下，管口和末端溢出氣流的長度應該是固定的，這一變化，應該是由于管內溫度高于環境溫度，管內聲速大于環境聲速的而產生的。陳正生先生曾按照每±1℃，聲速加減0.61米，多次驗證發現“計算出的頻率難同吹出的音高相合”，認為“律管中的聲速不該簡單地運用大氣聲速”①陳正生：《“黃鍾正律”析—兼議律管頻率公式中的物理量》，《南京藝術學院學報（音樂與表演版）》1989年第2期。。因而，有必要找出適合的管內速度計算公式來。

表4 8℃開管測音與計算音高比較表

趙松庭先生曾提出過管內溫度的公式：管內的實際溫度=1/3（36℃-大氣溫度）+大氣溫度，算出8℃時，管內溫度為17℃，聲速約為341609mm/s，代入5d/3管校數的計算值已經全部超出實際吹奏的音高浮動區間（見表5），這說明代入的聲音速度過高，管內溫度并沒有達到17度。于是，筆者按照附錄中的計算聲速，在EXCEL中從8℃開始逐一替換公式中的速度，當代入12℃的聲速338653mm/s后，這一偏離值與實測“吹奏音高浮動區間”已經極為貼近（見表5“12℃，5d/3管?！币粰冢??？磥?，律管上，管內溫度的變化幅度沒有笛簫上大。

表5 趙松庭管內溫度公式驗證表

首先，呼出氣體的溫度并非36℃。陳振華醫生曾用“德國耶格公司Master-Screen肺通氣功能檢測系統”觀察哮喘兒童呼出氣溫度（EBT）的變化，正常為（33.3±0.3）℃②陳振華：《呼出氣溫度在兒童哮喘急性發作時及發作后的監測意義》，《實用臨床醫藥雜志》2020年第19期。。因而筆者首先將趙先生公式中表示體溫的36替換為33，并嘗試將1/3的比值替換為1/4、1/5、1/6、1/7……進行驗算，當管內的實際溫度=1/7（筆者按：呼氣溫度+6倍大氣溫度），即t0=（6t+33）/7（公式⑤）時，算出的溫度改變值與實驗相符合（見附錄）。如果溫度改變，這個公式是否仍與實踐相符？于是，接下來我們進行了23℃環境下的測音實驗（表6）。

表6 23℃ 開管測音與計算音高比較表

3.實驗三：23℃開管吹律實驗

2021年1月17日下午，在亳州學院音樂系500工作室，環境溫度23℃時，筆者用同樣的方法與步驟再次進行了第三輪實驗。

實驗結果分析：

1.按照t0=（6t+33）/7計算出23℃環境下，管內溫度為24℃，將管內聲速345706mm/s代入公式④，算得每升高1℃，音高升高2.9音分。同時，計算值與測音音高區間基本符合（表6）。

2.代入23℃的環境聲速345123mm/s與代入345706mm/s管內聲速的計算值極為相近。原因是，在18℃以上，管內溫度與外界溫差在2℃以內，這意味著，體溫對管內的加溫作用在6音分以內，人耳難以分辨，越接近33℃，這一影響越??；在33℃以上，管內溫度低于外界溫度，原則上，會拉低音高，但40℃以下，這個影響不超過1℃也可以不用考慮。換言之，在19℃～40℃，可以用空氣速度與5d/3的管口校正值來計算音高。但在19℃以下，管內溫差的影響會越來越大，有必要使用管內聲速（見附錄）來推算音高。

3.從三次對同一套律管的測音來看，溫度對音高的影響是確定音高必須計入的一個變量。計算8～23℃是升高15℃的音高差（表7簡稱音差），8～18℃是升高10℃的音高差，據此，可算出每升高1℃，約發生1～3.3音分的變化，平均后最大為2.91音分，符合公式⑤的推算。

表7 三次黃鐘律實測音高對比表（單位：音分）

（續表）

從以上三次不同溫度環境下對同一套黃鐘律管的測音，可以看到，在計入管內溫度影響后，使用5d/3的開管管口校正數可以得出基本符合吹奏區間的理論音高（計算音高與實測偏差在20音分以內），這證明在開管吹律的情況下，管內溫度t0=（6t+33）/7（公式⑤，t表示環境溫度）是可以成立的。在19°以上，是否使用這一公式對音高計算影響很?。?音分以內），可直接用空氣溫度計算，但低于此溫度時，不代入管內溫度，則計算值會偏低于實測音高較多。為簡化計算步驟，可將公式⑤代入（其中v0表示0℃時音速331450mm/s，t為管內溫度），可得管內速度公式為：，接著代入公式④，則計溫開管音高公式可推算為（F為音高頻率，k為管口校正數5/3。l表示管長，d是管內徑，t為氣溫）。這個公式將計算管內溫度、管內速度、音高的三個步驟合而為一，使音高與氣溫直接關聯。

四、其他實驗樣本對公式有效性的驗證：

為檢驗公式的有效性，于2021年1月20號，室溫15℃時，對3D樹脂打印的一組同形管①同形管指長徑比相同的律管。表8中的律管長徑比全部為26∶1。再次開管豎吹測音，并與此前在2020年11月15號18℃環境溫度下對這組律管的測音音高加以比對，發現很難得出溫度變化與音高具體變化的數值，因為吹律人的狀態不可能完全一致，尤其是11號管以下，管口小于7mm，吹奏難度和口風的影響也越來越大。但總體上看，溫度對于音高的作用是很明顯的，僅有1例外，其余升高10.02～30.37音分不等，理論計算音高與吹奏測音音高大部分都是符合的。按理論值推算音高改變為7.6音分。

表8 18～15℃同形異徑無豁口律管吹奏測音與理論計算比對表

我們還與2020年11月25日在中國音樂學院聲學實驗室對一組不銹鋼無豁口律管的測音結果進行了比對（表9）。13℃環境下，管內溫度為15.9℃，算出管內聲速為340936mm/s。在管徑超過13mm的1A和2A管上，吹奏音高明顯偏低于公式的計算。這是由于管徑過粗，口唇必須保持在氣流可以抵達邊楞的位置—遮蔽管口2/3甚至更多，才能有效發聲。遮蔽管口越多，偏低于理論計算值就會越大。而在內徑小于13mm，長徑比大于23：1的3A～5A管上，實測與計算音高是可以吻合的，尤其是長徑比越大的管上，不同吹律人（趙越、史凱敏）間的吹奏差異也越小，越趨近于計算值。

表9 同長異徑無豁口不銹鋼律管A組測音與理論計算比對表

1991年劉勇先生復原制作的帶豁口銅制朱載堉律管，用開管豎吹測音，其中黃鐘律管長254.9mm，內徑8.96mm，在21℃時，測得開管吹奏音高分別為e2-29、e2-18、e2-37①劉勇：《朱載堉異徑管律的測音研究》，《中國音樂學》1992年第4期。。將21℃的溫度和管長、內徑代入本文推定的計溫開管音高公式，計算結果為637.35Hz，合341音分。經實驗驗證律管上寬、深均為4.5mm的豁口會造成音高升高30～43音分左右②實驗過程見史凱敏《中國古代律管造型的衍變—兼談豁口作用》，《中國音樂》2022年第4期。，如果加上豁口值，理論音高為371～384音分，即e2-16到e2-29，與實測結果高度吻合。

1996年胡企平先生復原制作的康熙銅律管，在15℃室溫下，開管豎吹管長233.28mm，內直徑8.768mm，不開豁口黃鐘律管音高為f2-34③胡企平：《中國傳統管律文化通論》，第198—199頁。（685Hz）。與本文公式推算值687.67Hz僅差6.7音分。內徑8.768mm，管長103.68mm，不開豁口的半太簇管音高測為?f3-35④胡企平：《中國傳統管律文化通論》，第195—199頁。（1450Hz），與公式推算值1445.33Hz僅差5.5音分，二者高度吻合。

結論

通過對同一組律管在不同溫度下的3次開管吹律測音實驗，我們檢驗了學界常用的9種開管管口校正數的音高推算值，發現直接使用該溫度下的空氣聲速計算時，沒有一種管口校正數能全部符合三種溫度下的測音結果。只有在計入管內溫度的影響算出管內聲速（見附錄）后，以5d/3的開管管口校正值進行音高計算的結果才與實測的音高區間最為符合。這一系列推算過程可精煉地簡化為一個開管計溫音高公式：。我們及其他學者更多的律管測音結果也驗證了使用這一公式進行律管音高的推算，可以得出與實際吹奏音高符合的結果?？梢哉f，在一定程度上解決了氣溫對律管音高影響難以估算的問題，提升了管律律高計算的準確性。但需要說明的是，管律研究的復雜性在于實際吹奏的音高除溫度外，還受到吹氣角度、氣流速度、口唇遮蔽管口的幅度的影響，本文所使用的實驗及驗證的樣本全部為長徑比在26∶1以上，內徑在11mm以下的無豁口的黃鐘律管，這種形制比例下，對氣流角度和速度的要求很高，變化幅度較小。但在長徑比小于20∶1，內徑更大的律管上，口唇位置變化導致的音高變化已超過小二度，這將使公式的計算值與實測值的差異加大。這也是目前所有管律聲學公式均未能完全解決的一個問題，也說明對于管律的研究僅靠數理推算有其自身的局限性，還需配合制管驗聲，算驗相合，方獲真知。